§1-3無窮小量和無窮大量

§1-3 無窮小量和無窮大量

牛頓-萊布尼茨的微積分中說的“無窮小數”

同我們現在說的“無窮小量”是不同的。當時說的由于理論基礎上的缺陷, 所以當時就陷入了沒有結果的爭論之中。這也是當時像羅爾（Rolle,M. 1652--1719）這樣的一些數學家們不接受微積分的原因之一。近代微積分的奠基人柯西從嚴處理了微積分的基本概念, 并把“無窮小量”說成是極限為，即稱變量y為無窮小量，若它在無限變化過程中，總有那么一個時．．．0的變量．．．

刻，在這個時刻以后，能夠使絕對值

y小于預先給出的任何正數。例如，

數列

1,n?

?)和當x?0時的函數xn,nsinx,tanx等

都是無窮小量。無窮小量在微積分中起的作用相當于常量數學中的“零”。可是，它不是常量[?(x)?0是一個特例]，所以又不同于“零”。在某個極限過程（n??或x??）中的無窮小量就簡記成o(1)[讀作“小歐”，不能讀作零]。小歐“o”是牛頓當初用過的記號.

定理1-1 limf(x)?C??f(x)?C?o(1)(x??).

x??

(充分必要條件)

特別，

函數f(x)在點c連續??f(x)?f(c)?o(1)(x?c) （※）

證 若limf(x)?C，則lim[f(x)?C]?0，即

x??

x??

f(x)?C?o(1)(x??) 或 f(x)?C?o(1)(x??)

反之，若f(x)?C?o(1)(x??)，則

limf(x)?lim?C?o(1)??C?0?C

x??

x??

特別，當函數f(x)在點c連續時，因為limf(x)?f(c)，所以有結論(※).例如，當x?c

x?c

時，

xn?cn?o(1)， sinx?sinc?o(1)， cosx?cosc?o(1)

1.無窮小量的運算規則 利用極限的運算規則，容易證明無窮小量的下述運算規則：若o(1)是某一個極限過程(n??或x??)中的無窮小量，根據極限的運算規則，則有 ⑴ O?o(1)

o(1)[其中O是有界變量（*），特別它可以是常數]；

⑵ o(1)?o(1)?o(1)，o(1)?o(1)?o(1). 它們與常量的運算規則是不同的！ ．．．．．．．．．．．．．．

2.無窮小量的比較 在某一個極限過程中，把某一個不取0值的無窮小量?看作“基本無窮小量”，而把另一個無窮小量?與基本無窮小量?相比較.若有極限

lim

?

?l(0?|l|???) ?

（*）

記號O讀作“大歐”，也不能讀作“零”。

48

§1-3 無窮小量和無窮大量

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則在這個極限過程中，

⑴當l?0時，稱?與?.特別，當l?1時，稱?與?記成???或???.例如sinx?x(x?0)，tanx?x(x?0)，因為

sinxtanx

?1,lim?1

x?0xx?0x

⑵當l?0時，?與?相比較，稱?為高階無窮小量，并記成??o(?).例如，當x?0時，

lim

x?o(x),x2?o(x).

?lim例8

x?1x?1

?1?x?1

1?x?1

??

x?1

注意，其中當x?

1時，??定理1-2 設?和??0在某一個極限過程中是等價無窮小量，則在這個極限過程中，

lim(???)?lim(???)（等價無窮小量替換）

[和或差的極限lim(???)不能用等價無窮小量替換！]

證 lim??????lim?

??

?1?lim??????lim?????. ??????????

x2x2

?,sinx2?x2，所以 例如，當x?0時，因為sin22

2

x??x222sin?2?1?cosx2???1 lim2?lim?lim

x?0xsinx2x?0x2sinx2x?0x2?x22

2

2

再如，當x?

1時，因為

8就可以簡單地做成

x?1

?x??x?1

??x?1定理1-3 若??0在某一個極限過程中是基本無窮小量，則在這個極限過程中，有高階無窮小量的運算規則:

⑴ O?o(?)?o(?)（O為有界變量，特別可以是常數）; ⑵ o(1)???o(?)，其中o(1)是無窮小量; ⑶ o(?)?o(?)?o(?)；o(?)?o(?)?o(?). 證明是簡單的，譬如證⑶.根據極限的運算規則，因為

2

lim

o(?)?o(?)

?

?lim

o(?)

?

?lim

o(?)

?

?0?0?0

49

所以；而因為

lim

所以o(?)?o(?)?o(?2).

o(?)?o(?)

?2

?o(?)o(?)??lim???0?0?0

?????

定理1- 4 若?和??0都是同一個極限過程中的無窮小量，則在這個極限過程中，

?????????o(?) [兩個等價無窮小量相差一個高階無窮小量]

證 (?)因為lim

??

?1，根據定理1-1，?1?o(1)，所以????o(1)????o(?). ??

???o(?)?lim?1?0?1，所以???. ??

例如，因為sinx?x(x?0)，所以可把它等價地寫成sinx?x?o(x)(x?0)；同理，tanx?x?o(x)(x?0).

(?)因為lim

3.無窮大量(無窮極限) 稱一個變量yy在無限變化過程中，總有那么一個時刻，在這個時刻以后，能夠使絕對值y大于預先給出的任何正數，簡記成“y??”. 特別，若能夠使y大于預先給出的任何正數，則稱變量y為正無窮大量，簡記成“y???”；若能夠使y小于預先給出的任何負數，則稱變量y為負無窮大量，簡記成“y???”.

“無窮大量”與“無窮小量”是兩個對偶的概念，因此有下面對偶的結論.設變量y在某一個極限過程中不取數值0.

若變量y是無窮大量，則倒數是無窮大量.

具體到函數y?f(x)，當自變量x在某個極限過程x??中，若函數f(x)是無窮大量或正無窮大量或負無窮大量，就依次記成

就是無窮小量；反之，若變量y是無窮小量，則倒數就yy

limf(x)??,

x??

limf(x)???,

x??

limf(x)???

x??

請讀者注意，這些都是記號，有時口語上也說“極限是無窮大”，但它們沒有前面說的那種有窮極．．．．．

限的含義和運算規則！

a0?a1x???anxn

例9 求lim(an?0,bm?0).

x??b?bx???bxm

01m

解 當n?m時，分子分母同除以xn?xm，則有

a0a1an?1

?????annn?1a0?a1x???anx lim?lim

x??b?bx???bxmx??b0bb01m?m1?1???m?1?bm

mxxx

n

50

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an?1a1?a?

lim?0?????an?ax??xnxn?1x???n

?

bm?1b1?b?bm

lim?0?????bm?x??xmxm?1x??

當n?m時，分子分母同除以xm，則

a0a1an?1an

?????nmm?1m?n?1m?na0?a1x???anx lim?lim

x??b?bx???bxmx??001m?m1?1???m?1?bm

mxxx

a?1an?a?a0

lim?m?m1?1???mn??x??xxx?n?1xm?n?0???0 ?

bm?1b1bm?b0?

lim?m?m?1????bm?x??xxx??

b0?b1x???bmxm

當n?m時，因為lim?0，所以(倒數的極限)

x??a?ax???axn

01n

a0?a1x???anxn

lim?? x??b?bx???bxm

01m

根據提示做習題

1.求下面的極限（或者用例9的結果直接寫出答案，或者像例9那樣重新計算）：

4x3?3x2?2x?1? ⑴ lim

x??5x3?7x2?10

3x2?2x?1

? ⑵ lim3

x??4x?3x2?10

6x5?5x3?x?1

? ⑶ lim

x??7x2?8x?9

答案：⑴

4

；⑵0；⑶?. 5

3x?52?3x2?52?2.limsin?????lim???? x??5x?3x??x?5x?3x?

答案：

3.設函數

2

?22?

?sin???xx?

6. 5

1?2

3sinx?xcos?,x?0

f(x)??

?(1?cosx)tanx

x?0?a,

問a為何值時，f(x)在點0連續？

51

1

(tanx?x)????? 提示 f(0)?limf(x)?lim

x?0x?0(1?cosx)tanx

3sinx?x2cos

答案：a?

3

. 2

52

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