初中數學證明

2

證明 設E,F分別邊AB,CD的中點，連ME,MF,NE,NF。

則ME∥BC,MF∥AD,NE∥AD,NF∥BC，所以四邊形EMFN為平行四邊形。

由于NF∥BC，所以得:

S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)

同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)

由于有

S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2.(3)

所以只需證明:

S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)

延長EM，NF分別交AP于G,H。平行四邊形ENHG的`底EN=AD/2，EN上高[即EN與AB的距離]等于三角形ABD的邊AB上的高的一半，所以

S(ENHG)=S(ABD)/2.

同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。

故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.

所以(4)式成立，將(4)式代入(3)式即得所得結論.

3

證明：

分別取AE，CE的中點P和Q，連接FP,PH,HQ,QG，

下面證明三角形FPH 全等于 三角形 HQG

易知 FP = 1/2 AD = 1/2 AE = HQ

HP = 1/2 CE = 1/2 CB = GQ

易知 角DEA = 角BEC = 角ADE = 角CBE

易證 角DAE = 角BCE

角FPH = 角FPE +角EPH = 角DAE + 角BEC

角HQG = 角HQE +角EQG = 角DEA + 角CBE

于是 角FPH = 角HQG

由SAS定理，三角形FPH全等于三角形HQG

于是 FH = HG

4

分析：(1)由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE.第二問分AD=AE(ⅰ)當AD=AE時，∠ADE=∠AED=45°時，得到∠DAE=90°，點D、E分別與B、C重合、(ⅱ)當AD=DE時，由①知△ABD∽△DCE，、(ⅲ)當AE=DE時，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，故∠ADC=∠AED=90°.三種情況討論.(2)存在，可證△ADC∽△AE′D，得到CD=AC=2.解：(1)①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°.由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC.推出△ABD∽△DCE.②分三種情況：(ⅰ)當AD=AE時，∠ADE=∠AED=45°時，得到∠DAE=90°，點D、E分別與B、C重合，所以AE=AC=2.(ⅱ)當AD=DE時，由①知△ABD∽△DCE，又AD=DE，知△ABD≌△DCE.所以AB=CD=2，故BD=CE=2 根號 2-2，所以AE=AC-CE=4-2根號 2.(ⅲ)當AE=DE時，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，故∠ADC=∠AED=90°.所以AE=DE= 1/2AC=1.(2)①存在(只有一種情況).由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°.由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°.從而推出∠ADC=∠DE′A.證得△ADC∽△AE′D.所以 AC/CD= AD/DE′，又AD=DE′，所以CD=AC=2.考查相似三角形的判定和性質，相似三角形和全等三角形的轉化.分情況討論等腰三角形的可能性.

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