用分析法證明 已知

要證明(b+c-a)/a+(a+c-b)/b+(a+b-c)/c>3

即是證明(b+c)/a-1+(a+c)/b-1+(a+b)/c-1>3

b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6

因為a，b，c>0，且不全等，所以b/a+a/b≥2

a/c+c/a≥2

b/c+c/b≥2

上式相加的時候，等號不能取到，因為不全等。故b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6

命題獲證

a-b=tanα+2tanαsinα+sinα-tanα+2tanαsinα-sinα

=4tanαsinα

左邊=16tanαsinα

=16tanα(1-cosα)

=16tanα-16tanαcosα

=16tanα-16sinα/cosα*cosα

=16tanα-16sinα

右邊=16(tanα-sinα)

所以左邊=右邊

命題得證

要證|(a+b)/(1+ab)|<1

就是要證|a+b|<|1+ab|

就是要證(a+b)^2<(1+ab)^2

就是要證a^2+2ab^2+b^2<1+a^2b^2+2ab

就是要證a^2b^2-a^2-b^2+1>0

就是要證(a^2-1)(b^2-1)>0

而已知|a|<1 |b|<1

所以(a^2-1)(b^2-1)>0成立

|(a+b)/(1+ab)|<1成立

左邊通分整理

即證|(b-a)(b+a)/(a+1)(b+1)|<|a-b|

把|a-b|約分

|(b+a)/(a+1)(b+1)|<1

即證|a+b|<(a+1)(b+1)

顯然a和b同號時|a+b|較大

所以不妨設a>0,b>0

a+b a-a+1/4=(a-1/2)

b-b+1/4=(b-1/2)

所以a-a+b-b+1>0

ab>=0

所以a>0,b>0時

a+b 若都小于0，絕對值一樣

把以上倒推回去即可

證明：由a>0,b>0，ln x是增函數，要證：a^a b^b>= a^b b^a,

即證：aln a + bln b>= aln b + bln a

即證：a(ln a - ln b)+b(ln b-ln a)>=0

即證：(a-b)(ln a -ln b)>=0.

由于，ln x是增函數，因此，a-b與lna -lnb符號相同。

則(a-b)(ln a - ln b)>=0成立。

于是：原不等式成立。

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