證明等比數列

證明等比數列

記Cn=an*a(n+1)

cn/c(n-1)=an*a(n+1)/an*a(n-1)=a(n+1)/a(n-1)=3

a(2n-1)=3*a(2n-3)

a(2n)=3*a(2n-2)

bn=a(2n-1)+a(2n)=3*a(2n-3)+3*a(2n-2)=3(bn-1)

因此bn/b(n-1)=3，所以bn為等比數列，公比為3。

2

設數列{a的第n項}的前n項和Sn=1/3(a的第n項-1)，n屬于自然數

求證：數列{a的第n項}為等比數列

Sn=1/3(an-1)

S(n-1)=1/3(a(n-1)-1)

Sn-S(n-1)=an=1/3(an-1-a(n-1)+1)=(an-a(n-1)/3

3an=an-a(n-1)

2an=-a(n-1)

an/a(n-1)=-1/2

所以數列{an}為等比數列

3

已知前三項是2，4,8，數列滿足a(n+1)=a(n)+2n(就是第n+1項等于第n項加上2n)，求數列的通項公式。這兒沒有告訴你數列是等比數列，求通項公式之前必須證明它是等比數列，請問怎么證明?

因為：

a(n+1)-an=2n

所以：

a2-a1=2

a3-a2=4

a4-a3=6

a5-a4=8

.....

a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數列，且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+2

4、

已知數列{3*2的N此方}，求證是等比數列

根據題意，數列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...

為了驗證它是等比數列只需要比較任何一項和它相鄰項的比值是一個不依賴項次的固定比值就可以了.

所以第n項和第n+1項分別是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

[3*2^(n+1)]/(3*2^n)=2

因為比值是2,不依賴n的選擇,所以得到結論.

5

數列an前n項和為Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......) 證明

(1)(Sn/n)是等比數列

(2) S(n+1)=4an

1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2

S1/1=A1=1

所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=[2n-(n-1)]*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^2

=(n+1)2^n/4

=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

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