等比數列的證明

數列an前n項和為Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......) 證明

(1)(Sn/n)是等比數列

(2) S(n+1)=4an

1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2

S1/1=A1=1

所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=[2n-(n-1)]*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^2

=(n+1)2^n/4

=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數列，且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+2

4、

已知數列{3*2的N此方}，求證是等比數列

根據題意，數列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...

為了驗證它是等比數列只需要比較任何一項和它相鄰項的比值是一個不依賴項次的固定比值就可以了.

所以第n項和第n+1項分別是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

[3*2^(n+1)]/(3*2^n)=2

因為比值是2,不依賴n的選擇,所以得到結論.

5

數列an前n項和為Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......) 證明

(1)(Sn/n)是等比數列

(2) S(n+1)=4an

1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2

S1/1=A1=1

所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

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