初中數(shù)學證明題解答

1.若x1,x2 ∈|-1，1

且x1*x2+x2*x3+……+xn*x1=0

求證： 4|n

(x1,x2,x3,xn中的數(shù)字和n均下標)

2.在n平方(n≥4)的空白方格內填入+1和-1，

每兩個不同行且不同列的方格內數(shù)字的和稱為基本項。

求證：4|所有基本項的和

1.

y1=x1*x2,y2=x2*x3,……,yn=xn*x1

==>

y1,y2,..,yn∈{-1，1},

且y1+..+yn=0.

設y1,y2,..,yn有k個-1,則有n-k個1,所以

y1+..+yn=n-k+(-k)=n-2k=0

==>n=2k.

而y1*y2*..*yn=(-1)^k=[x1*x2*..*xn]^2=1

==>k=2u

==>n=4u.

2.

設添的數(shù)為x(i,j),1≤i,j≤n.

基本項=x(i,j)+x(u,v),i≠u,j≠v.

這時=x(i,j)和x(u,v)組成兩個基本項

x(i,j)+x(u,v),x(u,v)+x(i,j),

和x(i,j)不同行且不同列的x(u,v)有(n-1)^2個,

所以每個x(i,j)出現(xiàn)在2(n-1)^2個基本項中.

因此所有基本項的和 =2(n-1)^2[所有x(i,j)的和].

設x(i,j)有k個-1,則

所有基本項的和 =2(n-1)^2[所有x(i,j)的和]=

=2(n-1)^2[n^2-2k]

顯然4|2(n-1)^2[n^2-2k],

所以4|所有基本項的和 .

命題：多項式f(x)滿足以下兩個條件：

(1)多項式f(X)除以X^4+X^2+1所得余式為X^3+2X^2+3X+4

(2)多項式f(X)除以X^4+X^2+1所得余式為X^3+X+2

證明：f(X)除以X^2+X+1所得的余式為X+3

X^4+X^2+1=(X^2+X+1)·(X^2-X+1)

X^3+2X^2+3X+4=(X^2+X+1)·(X+1)+X+3

X^3+X+2=(X^2+X+1)·(X-1)+X+3

====>f(X) 除以X^2+X+1所得的余式為X+3

各數(shù)平方的和能被7整除.”“證明”也稱“論證”，是根據已知真實白勺判斷來確某一判斷的直實性的思維形式.只有正確的證明，才能使一個真判斷的真實性、必然性得到確定.這是過去同學們較少涉足的新內容、新形式.本刊的“有獎問題征解”中就有不少是證明題(證明題有代數(shù)證明題和幾何證明題等)，從來稿看，很多同學不會證明.譬如上題就是代數(shù)證明題，不少同學會取出一組或幾組連續(xù)的自然數(shù)，如O+1+2+3+4+5+6z一91—7×13，1+2+3+4+5+6+7z一140—7×2O后，便依此類推，說明原題是正確的，以為完成了證明.其實，這叫做“驗證”，不叫做證明.你只能說明所取的數(shù)組符合要求，而不能說明其他的數(shù)組就一定符合要求，“驗證”不具備一般性、必然性.這道題的正確做法是：證明設有一組數(shù)n、n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6(n為自然數(shù))，‘.‘+(n+1)+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)2+(n+6)2一n2+(n2+2n，4-1)+(n2+4n+4)+(n2+6n+9)+(n2+8n+16)+(n2+10n+25)+(n+12n+36)一7nz+42n+91—7(nz+6n+13)，.‘.n+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)+(n+6)能被7整除.即對任意連續(xù)7個自然數(shù)，它們平方之和都能被7整除.(證畢)顯然，因為n可取任意自然數(shù)，因此n，n+1，n+2，n+3，n+4，n+5，n+6便具有一般性，所得結論也因此具有然性.上面的證明要用到整式的乘法(或和的平方公式)去展開括號，還要逆用乘法對加法的分配律進行推理.一般來說，代數(shù)證明的推理，常要借助計算來完成.證明中的假設，應根據具體情況靈活處理，如上例露勤鴦中也可設這7個數(shù)是n一3、n一2、n一1、n、n+1、n+2、n+3(n為自然數(shù)，且n≥3).這時，它們的平方和就會簡便得多.證明由論題.論據和論證方式組成.常用的論證方式有直接證明和間接證明、演繹證明和歸納證明.上例中的題目便是論題，證明中“‘.”’之后是論據，“.‘.”之后是結論，采用的論證方式是直接證明.以后還要學習幾何的證明，就會對證明題及其解法有更全面、更深入的了解.幾何題的證明則較多采用演繹證明.證明是對概念、判斷和推理的綜合運用，是富有創(chuàng)造性的思維活動，在發(fā)現(xiàn)真理、確認真理、宣傳真理上有重要的作用.當你學習并掌握了“證明”的方法及其精髓以后，數(shù)學向你展示的美妙與精彩，將使你受到更大的激勵，享有更多成功的喜悅。

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