用導數證明不等式

用導數證明不等式

最基本的方法就是 將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數 f(x). 對這個函數求導，判斷這個函數這各個區間的單調性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于 0. 這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設函數f(x)=x-ln(x+1)

求導，f(x)\'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..證明：a-a^2>0 其中0

F(a)=a-a^2

F\'(a)=1-2a

當00;當1/2

因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時，sinx-x=0

如果當函數sinx-x在x>0是減函數，那么它一定<在0點的值0，

求導數有sinx-x的導數是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數，它在0點有最大值0，

知sinx

再證x-x/6

對于函數x-x/6-sinx

當x=0時，它的值為0

對它求導數得

1-x/2-cosx如果它<0那么這個函數就是減函數，它在0點的值是最大值了。

要證x/2+cosx-1>0 x>0

再次用到函數關系，令x=0時，x/2+cosx-1值為0

再次對它求導數得x-sinx

根據剛才證明的當x>0 sinx

x/2-cosx-1是減函數，在0點有最大值0

x/2-cosx-1<0 x>0

所以x-x/6-sinx是減函數，在0點有最大值0

得x-x/6

利用函數導數單調性證明不等式X-X>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x x∈[0,1]

則f\'(x)=1-2x

當x∈[0,1/2]時,f\'(x)>0,f(x)單調遞增

當x∈[1/2,1]時,f\'(x)<0,f(x)單調遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x>0。

i、m、n為正整數，且1

求證(1+m)^n > (1+n)^m

方法一：利用均值不等式

對于m+1個數，其中m個(2+m)，1個1,它們的算術平均數大于幾何平均數，即

[(2+m)+(2+m)+...+(2+m)+1]/(m+1)>[(2+m)^m]^[1/(1+m)]

即1+m>(2+m)^[m/(1+m)]

即(1+m)^(1/m)>[1+(m+1)]^[1/(1+m)]

由此說明數列{(1+m)^(1/m)}是單調遞減的。

方法二：導數方法

令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0

求導數

f\'(x)=(1+x)^(1/x)*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2

為了考察f\'(x)的正負

令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0

g\'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0

因此g(x)0,亦即f\'(x)<0

因此f(x)在(0,+∞)上單調遞減。

令A*B*C=K的3次方

求證(1+A)的-(1/2)次方 加(1+B)的-(1/2)次方 加(1+C)的-(1/2)次方 >=(1+K)的-(1/2)次方

化成函數，f(x)，求導，可知其單調區間，然后求最大最小值即可。

理論上所有題目都可以用導數做，但有些技巧要求很高。

(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2

=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)

對A求導，f'(A,B)A=0，可得一個方程，解出即得。

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