用分析法證明

證明：分析法

要證明1/(√2+√3)>√5-2成立

即證√3-√2>√5-2

也就是√3+2>√5+√2

(√3+2) >(√5+√2)

7+4√3>7+2√10

即證4√3>2√10

2√3>√10

√12>√10

由于12>10，則易知上式成立，

所以1/(√2+√3)>√5-2

若|x|<1,|y|<1,

試用分析法證明|(x- y)/(1-xy)|<1

證明：要證|(x- y)/(1-xy)|<1

需證|x- y|<|1-xy|

需證|x- y|^2<|1-xy|^2

需證(x-y)^2<(1-xy)^2

需證x^2-2xy+y^2<1-2xy+(xy)^2

需證x^2+y^2<1+(xy)^2

需證1+(xy)^2-(x^2+y^2)>0

需證(1-x^2)-y^2(1-x^)>0

需證(1-x^2)(1-y^2)>0

|x|<1,|y|<1得到 |x|^2<1,|y|^2<1

得到x^2<1,y^2<1

1-x^2>0 1-y^2>0

所以(1-x^2)(1-y^2)>0

所以|(x- y)/(1-xy)|<1成立

2

要使√ac-√bd>√(a-b)(c-d)

必使ac-2√acbd+bd>(a-b)(c-d)

化簡得-2√acbd>-ad-bc

即ad+bc>2√acbd

又因為a>b>0, c>b>0,

由均值不等式得

3

a-b=tanα+2tanαsinα+sinα-tanα+2tanαsinα-sinα

=4tanαsinα

左邊=16tanαsinα

=16tanα(1-cosα)

=16tanα-16tanαcosα

=16tanα-16sinα/cosα*cosα

=16tanα-16sinα

右邊=16(tanα-sinα)

所以左邊=右邊

命題得證

4、

】

(根6+根7)平方=13+2*根42

2倍的`跟2=根8

(根8+根5)平方=13+2根40

2*根42-2*根40大于0

故成立。

補充上次的題。(根3+根2)(根5-根3)不等于1就行了，不必繁瑣求大于1.前提是0 (1/a)+1/(1-a)>=4

1/[a(1-a)]>=4

0 0=0

0=0

0=0成立

其上均可逆

證畢

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