韋達

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韋達(韋達)

韋達最重要的貢獻是對代數學的推進，他最早系統地引入代數符號，推進了方程論的發展。韋達用“分析”這個詞來概括當時代數的內容和方法。他創設了大量的代數符號，用字母代替未知數，系統闡述并改良了三、四次方程的解法，指出了根與系數之間的關系。給出三次方程不可約情形的三角解法。主要著有《分析法入門》、《論方程的識別與修正》、《分析五章》、《應用于三角形的數學定律》。

弗朗索瓦·韋達（法語：Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere；1540年－1603年12月13日），法國數學家，十六世紀最有影響的數學家之一，被尊稱為“代數學之父”。他是第一個引進系統的代數符號，并對方程論做了改進的數學家。由于韋達做出了許多重要貢獻，成為十六世紀法國最杰出的數學家之一。 韋達1540年生于法國的普瓦圖[Poitou, 今旺代省的豐特奈 -勒孔特(Fontenay.-le-Comte)]。1603年12月13日卒于巴黎。年輕時學習法律并當過律師。后從事政治活動，當過議會的議員。在對西班牙的戰爭中，曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發現了方程根與系數之間的關系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數關系的結論稱為“韋達定理”）。 韋達從事數學研究只是出于愛好，然而他卻完成了代數和三角學方面的巨著。他的《應用于三角形的數學定律》（1579年）是韋達最早的數學專著之一，可能是西歐第一部論述6種三角形函數解平面和球面三角形方法的系統著作。他被稱為現代代數符號之父。韋達還專門寫了一篇論文"截角術"，初步討論了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代數變換應用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函數并給出當n≤11等于任意正整數的倍角表達式了。

《分析方法入門》

《分析方法入門》是韋達最重要的代數著作，也是最早的符號代數專著，書中第1章應用了兩種希臘文獻：帕波斯的《數學文集》第7篇和丟番圖著作中的解題步驟結合起來，認為代數是一種由已知結果求條件的邏輯分析技巧，并自信希臘數學家已經應用了這種分析術，他只不過將這種分析方法重新組織。韋達不滿足于丟番圖對每一問題都用特殊解法的思想，試圖創立一般的符號代數。他引入字母來表示量，用輔音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后來用過N）等表示未知量x，而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3 ，并將這種代數稱為本“類的運算”以此區別于用來確定數目的“數的運算”。當韋達提出類的運算與數的運算的區別時，就已規定了代數與算術的分界。這樣，代數就成為研究一般的類和方程的學問，這種革新被認為是數學史上的重要進步，它為代數學的發展開辟了道路，因此韋達被西方稱為"代數學之父"。

《分析五章》

1593年，韋達又出版了另一部代數學專著—《分析五篇》（5卷，約1591年完成）；《論方程的識別與訂正》是韋達逝世后由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在1591年業已完成。其中得到一系列有關方程變換的公式，給出了G.卡爾達諾三次方程和L.費拉里四次方程解法改進后的求解公式。 在《分析五篇》中韋達還說明怎樣用直尺和圓規作出導致某些二次方程的幾何問題的解。

《幾何補篇》

1593年他的《幾何補篇》（Supplementum geometriae）在圖爾出版了，其中給尺規作圖問題所涉及的一些代數方程知識。

此外，韋達最早明確給出有關圓周率π值的無窮運算式,而且創造了一套10進分數表示法，促進了記數法的改革。之后，韋達用代數方法解決幾何問題的思想由笛卡兒繼承，發展成為解析幾何學。韋達從某個方面講，又是幾何學方面的權威，他通過393416個邊的多邊形計算出圓周率，精確到小數點后9位，在相當長的時間里處于世界領先地位。 韋達還專門寫了一篇論文"截角術"，初步討論了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代數變換應用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的`函數并給出當n≤11等于任意正整數的倍角表達式了。 韋達還探討了代數方程數值解的問題，1600年以《冪的數值解法》為題出版。

韋達定理(Vieta's Theorem）的內容

（根與系數的關系） 一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且b^2-4ac≥0)中 設兩個實數根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1*X2=c/a 用韋達定理判斷方程的根 若b^2-4ac>0 則方程有兩個不相等的實數根 若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數根 若b^2-4ac<0 則方程沒有實數解

韋達定理的證明

一元二次方程求根公式為： 當方程有實數根時 x=(-b±√b^2-4ac)/2a 則x1=(-b+√b^2-4ac)/2a，x2=(-b-√b^2-4ac)/2a x1+x2=（-b+√b^2-4ac/2a）+（-b-√b^2-4ac/2a） x1+x2=-b/a x1*x2=（-b+√b^2-4ac/2a）*（-b-√b^2-4ac/2a） x1*x2=c/a 韋達定理 判別式、判別式與根的個數關系、判別式與根、韋達定理及其逆定理。

韋達定理的推廣

韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個一元n次方程∑AiX^i=0 它的根記作X1,X2…,Xn 我們有 ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) … ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求積。 如果一元二次方程 在復數集中的根是，那么 由代數基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在復數集中必有根。因此，該方程的左端可以在復數范圍內分解成一次因式的乘積： 其中是該方程的個根。兩端比較系數即得韋達定理。 法國數學家韋達最早發現代數方程的根與系數之間有這種關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。 韋達定理在方程論中有著廣泛的應用。

韋達定理推廣的證明

設x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。 則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0 所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i�。ㄔ诖蜷_(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理） 通過系數對比可得： A（n-1）=-An(∑xi) A（n-2）=An(∑xixj) … A0==(-1)^n*An*ΠXi 所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) … ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求積。

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