在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法

在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法

南京東方數(shù)學教育科學研究所侯正海

《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》在"知識與技能"的目標中明確要求學生"掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能"。計算技能作為一種數(shù)學心智技能，其掌握并不是自然的，需要通過有效的學習才能獲得。但計算教學又不應(yīng)僅僅著眼于技能的形成，而應(yīng)探討并努力實踐如何將"基本技能"變成發(fā)展學生各種"過程能力"(如探究、推理、交流等)的基礎(chǔ)。因此，我們必須重視學生在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法的過程。相關(guān)的研究表明，算法是自動化的，即使在不知道其背后原理的情況下，仍可以掌握和使用。這就十分清楚地揭示了曾經(jīng)的計算教學中，我們并不十分重視學生對算理的理解，而學生仍然可以經(jīng)過反復(fù)操練掌握和使用算法的原因。對這一問題的認識提供給我們的啟示是：學生需要掌握算法，但更需要經(jīng)歷構(gòu)建算法的過程，實現(xiàn)算理和算法的內(nèi)在統(tǒng)一。

算理是計算的理論依據(jù)，其內(nèi)涵包括數(shù)和運算的意義，運算的規(guī)律和性質(zhì)，解決的是為什么這樣算的問題。算法是計算的方法，其內(nèi)涵是由已知推出未知的程序，解決的是怎樣算的問題。算法是一種經(jīng)過壓縮的、一般化的計算程序。算理為計算提供了正確可靠的思維過程，而算法則為計算提供了方便快捷的操作方法，是計算經(jīng)驗的積累。因此，在計算過程中，算理和算法是內(nèi)在地聯(lián)系在一起的。

在小學階段，學生對于算理和算法的學習，主要體現(xiàn)在整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的口算和筆算中。口算由運算的意義便可以直接得到原始的算法。如，3×4表示的意義是3個4或4個3相加，因此其結(jié)果就可以通過加法算出來。筆算的算理和口算基本一致，但算法往往需要經(jīng)歷由"原始"到簡潔的規(guī)范過程，并且稍復(fù)雜的筆算的算理與算法都是在簡單筆算基礎(chǔ)上的延伸與發(fā)展。小數(shù)四則計算與整數(shù)聯(lián)系緊密，其中加減法的算理和算法可以由整數(shù)類推得到，而乘除法則需要利用運算的規(guī)律轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘除法。分數(shù)加減法的算理與算法可以由整小數(shù)加減法類推；分數(shù)乘除法的算理即是分數(shù)乘除法的意義，但其算法的構(gòu)建卻不能直接由整小數(shù)的算法遷移而來，因此更具創(chuàng)造性，而且分數(shù)除法的算法是需要轉(zhuǎn)化成分數(shù)乘法的。江蘇教育版小學數(shù)學課程標準教材著眼于數(shù)學知識本身的結(jié)構(gòu)和學生的認知規(guī)律，精心設(shè)計了引導學生理解算理、構(gòu)建算法的活動線索，有意識地突出了"過程能力"的培養(yǎng)。

一、觀察情境圖，理解算理，構(gòu)建基礎(chǔ)性的算法

小學階段學生的思維特點以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡。因此，在計算教學中要十分重視引導學生觀察情境圖中具體的學習對象，發(fā)現(xiàn)有價值的信息，為理解算理、構(gòu)建算法提供直觀的幫助。

20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法是學生學習計算算理和算法的開始。教材注意結(jié)合直觀的情景圖引導學生理解算理，構(gòu)建基礎(chǔ)性的算法。以"9加幾"的教學為例，教材結(jié)合解決簡單的實際問題呈現(xiàn)了如下情境：

情境中的主體部分是盒子里放著9個桃，盒子外面放著4個桃。學生在觀察情境圖的基礎(chǔ)上可以收集有價值的信息，并列出算式9+4。之所以把9個桃和4個桃清晰地呈現(xiàn)出來，是為了啟發(fā)學生想到要求9+4得多少，可以采用數(shù)一數(shù)的方法。既可以從盒子里的第一個桃開始數(shù)起，把13個桃全部數(shù)完，這一數(shù)法對應(yīng)了加法的基數(shù)意義，也可以從9開始，依次數(shù)完盒子外面的4個桃，數(shù)到13，這一數(shù)法對應(yīng)了加法的序數(shù)意義。數(shù)一數(shù)的方法實質(zhì)上與加法的意義是密切聯(lián)系在一起的，而加法的意義正揭示了9+4的算理。

基礎(chǔ)性的算法一般可以看作"通法"，但有些情況下卻需要對這樣的算法進行必要的改造和提升。就拿9加幾來說，雖然每道題都可以用數(shù)一數(shù)的方法算出答案，但顯然這一算法速度比較慢，因此，需要對這一算法進行優(yōu)化。教師可以引導學生進一步觀察情境圖中的盒子一共有10格，放滿的話正好有10個桃，從而想到可以從4個桃中拿1個放入盒子中，把9個桃湊成10個，再加上外面的3個桃，一共有13個桃。這里，情境圖中的盒子又是一個非常有效的原型，啟發(fā)學生想到更簡捷、更具一般意義的"湊十法"。因為"湊十法"體現(xiàn)了"滿十進一"的計數(shù)規(guī)則，所以它又成為后繼相關(guān)計算中的重要策略。從這一計算內(nèi)容的學習中，學生也能初步感受到算法是多樣的、靈活的。

二、激活已有知識，理解算理，構(gòu)建一般性的算法

數(shù)學學習總是循序漸進、螺旋上升的。先前的學習是后繼學習的基礎(chǔ)。教師在教學新的計算內(nèi)容時，應(yīng)注意激活學生已有的知識，并靈活運用這些知識幫助理解算理，實現(xiàn)對算法的構(gòu)建。

在口算學習的基礎(chǔ)上，學生逐步學習簡單筆算的算理與算法。而簡單筆算的算法往往需要經(jīng)歷由"原始"走向簡潔的規(guī)范過程，在已有知識的基礎(chǔ)上構(gòu)建一般性的算法。教學兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算，教材呈現(xiàn)了如下解決簡單實際問題的情境：

要求2只猴一共采了多少個桃，算式是14×2。情境圖中直觀地呈現(xiàn)了每只猴采的桃10個放在一筐，4個放在另一筐。這樣的呈現(xiàn)方式能夠啟發(fā)學生利用已有的知識理解算理。學生在觀察情境圖后容易想到，要求14×2得多少，可以用14+14，也可以先算2個10是20，2個4是8，再把20和8合起來。這兩種算法本質(zhì)上是相同的，而后面的思考過程更具體地揭示了14×2的算理。在此基礎(chǔ)上，學生聯(lián)系豎式的寫法和已有的計算過程，容易得到并理解以下"原始"的算法(如左下圖)：

方框里的兩個箭頭顯示了計算14×2的兩個步驟，用2依次去乘14個位上的4和十位上的1；省略號及紅色部分的算式則具體地解釋每一步的結(jié)果是如何算得的。特別是2乘十位上的1所得的結(jié)果是20，以暗紅色的0突出2寫在十位的意義。在引導學生明確計算的步驟和每一步所得的結(jié)果后，可以允許學生用這一"原始"的方法進行適當?shù)撵柟叹毩暎�以幫助學生真正掌握兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理與算法。在此基礎(chǔ)上，再簡化成規(guī)范的豎式(如右上圖)。事實上，在這一計算內(nèi)容的教學中，算理的理解對算法的構(gòu)建起到了支撐性的作用。

三、遷移運用經(jīng)驗，理解算理，構(gòu)建發(fā)展性的算法

計算內(nèi)容之間的聯(lián)系十分緊密，一般因為數(shù)位增加、進位或退位等情況的出現(xiàn)而逐漸增加復(fù)雜程度。但基本的算理和算法卻可以由數(shù)位較少的計算遷移到數(shù)位較多的計算中，由不進位、不退位等的計算遷移到需要進位、退位等的計算中。教師應(yīng)注意把握教材計算內(nèi)容的結(jié)構(gòu)序列，找準新的計算內(nèi)容的發(fā)展點，有效地促進已有計算經(jīng)驗的遷移，構(gòu)建發(fā)展性的算法。

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算是在兩位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進行教學的。教材提供的問題情境是：訂一份牛奶(每天一瓶)，全月28元，訂一份牛奶一年要花多少元?教材先鼓勵學生進行估算，或?qū)⑦@一新的計算轉(zhuǎn)化成已有的計算解決問題，然后給出豎式計算的第一步，讓學生試一試如何用豎式計算。

因為兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算是學生已有的經(jīng)驗，因此，大多數(shù)學生是可以完成第一步計算的。這一新知的發(fā)展點在于接下來該算什么，算得的積是多少，寫在哪里。而這也是教學的著力點。

兩位數(shù)除以一位數(shù)首位除后有余數(shù)是在首位除后沒有余數(shù)的基礎(chǔ)上學習的。教材在學生把5筒帶2個羽毛球平均分成2份的操作之后，引導學生完成豎式計算：

學生按照已有的計算經(jīng)驗嘗試筆算，一般會遇到的困難是商2后余下1怎么辦。教材用紅色方框提示學生要把個位的2移下來，和十位余下的1合起來繼續(xù)除。結(jié)合操作和提示，學生就容易跨越新的計算的發(fā)展點。

四、借助直觀操作，理解算理，構(gòu)建創(chuàng)造性的算法

直觀操作是數(shù)學教學的有效手段。在計算教學中，直觀操作不僅能有效地改變教師講解、學生接受的教與學的方式，而且能將抽象的算理形象地顯現(xiàn)出來，為算法的構(gòu)建提供原型支撐，對學生理解算理、構(gòu)建創(chuàng)造性的算法具有重要的意義。

分數(shù)乘除法的教學需要聯(lián)系乘除運算的意義進行算法的"再創(chuàng)造"，其算法探索的過程更具探索性和挑戰(zhàn)性。以整數(shù)除以分數(shù)的教學為例，教材安排了2道例題引導學生經(jīng)歷理解算理、探索算法的過程。例2的問題情境是，幼兒園李老師把4個同樣大的橙子分給小朋友。依次讓學生解決三個問題：

學生對整數(shù)除以分數(shù)的算理的學習是從第(1)個問題開始的，在由問題(1)向問題(2)、(3)的過渡中，可以自然實現(xiàn)整數(shù)除法的意義向整數(shù)除以分數(shù)的遷移，而這正是整數(shù)除以分數(shù)的算理。問題(2)開始了對整數(shù)除以分數(shù)的算法探索。教材的設(shè)計注意以直觀的操作結(jié)果啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)4÷1/2和4×2之間的聯(lián)系。在學生初步感悟分數(shù)除以整數(shù)與乘法之間的聯(lián)系后，教材引導學生在圖形中分一分，經(jīng)歷平均分的操作活動，利用直觀的操作結(jié)果發(fā)現(xiàn)4÷1/3=4×3，4÷1/4=4×4。在此，教材又非常明確地提示學生思考"所乘的數(shù)與除數(shù)有什么關(guān)系"，進一步明確整數(shù)除以分數(shù)的算法。由于這里涉及的分數(shù)都是單位分數(shù)，因此，教材又通過例3呈現(xiàn)除數(shù)是2/3的非分數(shù)單位的除法，啟發(fā)學生聯(lián)系上面的計算經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)仍然可以把除以2/3轉(zhuǎn)化成乘3/2來計算。至此，教材引導學生觀察上面幾道算式的計算過程，水到渠成地歸納整數(shù)除以分數(shù)的一般計算方法。上述內(nèi)容的安排，體現(xiàn)了算理的遷移過程，突出了如何順應(yīng)學生的認知規(guī)律，引導學生在理解算理的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)算法的過程。

在引導學生理解算理、構(gòu)建算法的過程中，教師還應(yīng)該注意以下幾個問題：

第一，夯實數(shù)的意義和運算意義的教學。數(shù)和運算的意義構(gòu)成了算理的重要內(nèi)容，其中數(shù)的位值概念對算理的教學尤其重要。比如，學生都知道400×2的結(jié)果等于800，但有的學生只是從形式上看到400后面有2個0，所以8后面也要寫2個0，而數(shù)的位值概念清晰的學生則很清楚地知道400表示的是4個百，乘2后當然得到8個百。

第二，發(fā)揮表象操作在算法構(gòu)建過程的作用。一般來說，學生的認知需要經(jīng)歷行為表征-表象表征-符號表征這三個階段。在由直觀操作過渡到一般算法的過程中，需要重視表象操作這一中間環(huán)節(jié)。所謂表象操作，就是在具體實物操作的基礎(chǔ)上，教師引導學生聯(lián)系實物操作的方法和過程，在頭腦中進行類似的操作。這樣可以幫助學生擺脫具體實物的束縛，更好地構(gòu)建比較抽象的算法。如果跳過這一環(huán)節(jié)，學生的算法構(gòu)建容易與直觀操作相脫節(jié)。同時，在算法構(gòu)建的過程中，一方面要以表象操作的經(jīng)驗推進算法的建構(gòu)；另一方面，也要重視由抽象的算法向表象操作的"反攻"，以幫助學生真正在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法。

第三，逐步實現(xiàn)算法的結(jié)構(gòu)化。重視某一類型知識的結(jié)構(gòu)能夠使我們把握其中的關(guān)鍵原理，便于記憶和有效地遷移，而且能夠縮短知識層次間的距離。在教學時，教師要重視引導學生通過交流，把握具體算理和算法的本質(zhì)內(nèi)容。教師應(yīng)具備對學生語言表達"模糊性"的承受力，并允許學生一開始結(jié)合實例進行描述，在把握要點的基礎(chǔ)上逐步實現(xiàn)表達的準確、簡練。在某一類型的計算教學完成之后，教師還應(yīng)注意引導學生對相關(guān)的計算進行整理，提取關(guān)鍵原理，溝通聯(lián)系，以幫助學生完善相應(yīng)的認知結(jié)構(gòu)。

參考文獻

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