[薦]函數知識點15篇

　　上學的時候，是不是聽到知識點，就立刻清醒了？知識點是傳遞信息的基本單位，知識點對提高學習導航具有重要的作用。還在苦惱沒有知識點總結嗎？下面是小編精心整理的函數知識點，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

函數知識點1

　　一次函數的解析式

　�、冱c斜式：y-y1=k(x-x1)(k為直線斜率，(x1，y1)為該直線所過的一個點);

　�、趦牲c式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(已知直線上(x1,y1)與(x2,y2)兩點)，

　　③截距式：x/a+y/b=1 (a、b分別為直線在x、y軸上的截距)。

　　解析式表達的局限性：

　�、偎�需條件較多(2個點，因為使用待定系數法需要列一個二元一次方程組);

　�、鄄荒鼙磉_沒有斜率的直線(即垂直于x軸的直線;注意沒有斜率的直線平行于y軸表述不準，因為x=0與y軸重合);

　　④不能表達平行于坐標軸的直線和過原點的直線。

　　x軸的正半軸逆時針旋轉到直線所成的'角(直線與x軸正方向所成的角)稱為直線的傾斜角。設一直線的傾斜角為，則該直線的斜率k=tan。傾斜角的范圍為(0, )。

　　只要這樣踏踏實實完成每天的計劃和小目標，就可以自如地應對新學習，達到長遠目標。

函數知識點2

　　1 冪函數解析式的右端是個冪的形式。冪的底數是自變量，指數是常數，可以為任何實數；與指數函數的形式正好相反。

　　2 冪函數的圖像和性質比較復雜，高考只要求掌握指數為1、2、3、-1、時冪函數的圖像和性質。

　　3 了解其它冪函數的圖像和性質，主要有：

　�、佼斪宰兞繛檎龜禃r，冪函數的.圖像都在第一象限。指數為負數的冪函數都是過點(1，1)的減函數，以坐標軸為漸近線，指數越小越靠近

　　x軸。指數為正數的冪函數都是過原點和(1，1)的增函數；在 x=1的右側指數越大越遠離 x 軸。

　�、趦绾瘮档亩�義域可以根據冪的意義去求出：要么是x≥0，要么是關于原點對稱。前者只在第一象限有圖像；后者一定具有奇偶性，利用對稱性可以畫出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對不會有圖像。

　�、鄱�義域關于原點對稱的冪函數一定具有奇偶性。當指數是偶數或分子是偶數的分數時是偶函數；否則是奇函數。

　　4 冪函數奇偶性的一般規律：

　　⑴指數是偶數的冪函數是偶函數。

　�、浦笖凳瞧鏀档膬绾瘮凳瞧婧瘮�。

　　⑶指數是分母為偶數的分數時，定義域 x>0或 x≥0，沒有奇偶性。

　�、戎笖凳欠肿訛榕紨档姆謹禃r，冪函數是偶函數。

　�、芍笖凳欠肿臃帜笧槠鏀档姆謹禃r，冪函數是奇數函數。

函數知識點3

　　十七世紀函數概念

　　十七世紀伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變量關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1637年前后笛卡爾(Descartes，法，1596-1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，但因當時尚未意識到要提煉函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。

　　1673年，萊布尼茲首次使用function(函數)表示冪，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用流量來表示變量間的關系。

　　十八世紀函數概念

　　1718年約翰柏努利(JohannBernoulli，瑞士，1667-1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：由任一變量和常數的任一形式所構成的量。他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數，并強調函數要用公式來表示。1748年，柏努利的學生歐拉在《無窮分析引論》一書中說：一個變量的函數是由該變量的.一些數或常量與任何一種方式構成的解析表達式。

　　1755，歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)把函數定義為如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數。

　　18世紀中葉歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)給出了定義：一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。他把約翰貝努利給出的函數定義稱為解析函數，并進一步把它區分為代數函數和超越函數，還考慮了隨意函數。不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

　　十九世紀函數概念

　　1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857)從定義變量起給出了定義：在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數。在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞，同時指出對函數來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。

　　1822年傅里葉(Fourier，法國，17681830)發現某些函數也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新層次。

　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德國，1805-1859)突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數。這個定義避免了函數定義中對依賴關系的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數定義。

　　等到康托(Cantor，德國，1845-1918)創立的集合論在數學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880-1960)用集合和對應的概念給出了近代函數定義，通過集合概念把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了變量是數的極限，變量可以是數，也可以是其它對象。

　　現代函數概念

　　1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念序偶來定義函數，其避開了意義不明確的變量、對應概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義序偶使豪斯道夫的定義很嚴謹了。

　　1930年新的現代函數定義為若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。

函數知識點4

　　一、指數函數

　　(一)指數與指數冪的運算

　　1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且*.

　　當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.此時，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(radicalexponent)，叫做被開方數(radicand).

　　當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成(0).由此可得：負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。

　　注意：當是奇數時，，當是偶數時，

　　2.分數指數冪

　　正數的分數指數冪的意義，規定：

　　0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義

　　指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的`運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.

　　3.實數指數冪的運算性質

　　(二)指數函數及其性質

　　1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential)，其中x是自變量，函數的定義域為R.

　　注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

　　2、指數函數的圖象和性質

　　a1

　　圖象特征

　　函數性質

　　向x、y軸正負方向無限延伸

　　函數的定義域為R

　　圖象關于原點和y軸不對稱

　　非奇非偶函數

　　函數圖象都在x軸上方

　　函數的值域為R+

　　函數圖象都過定點(0，1)

　　自左向右看，

　　圖象逐漸上升

　　自左向右看，

　　圖象逐漸下降

　　增函數

　　減函數

　　在第一象限內的圖象縱坐標都大于1

　　在第一象限內的圖象縱坐標都小于1

　　在第二象限內的圖象縱坐標都小于1

　　在第二象限內的圖象縱坐標都大于1

　　圖象上升趨勢是越來越陡

　　圖象上升趨勢是越來越緩

　　函數值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快;

　　函數值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢;

　　注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

　　(1)在[a，b]上，值域是或;

　　(2)若，則;取遍所有正數當且僅當;

　　(3)對于指數函數，總有;

　　(4)當時，若，則;

　　二、對數函數

　　(一)對數

　　1.對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：(底數，真數，對數式)

　　說明：1注意底數的限制，且;

　　2;

　　3注意對數的書寫格式.

　　兩個重要對數：

　　1常用對數：以10為底的對數;

　　2自然對數：以無理數為底的對數的對數.

　　對數式與指數式的互化

　　對數式指數式

　　對數底數冪底數

　　對數指數

　　真數冪

　　(二)對數函數

　　1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是(0，+).

　　注意：1對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。

　　如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數.

　　2對數函數對底數的限制：，且.

　　2、對數函數的性質：

　　a1

　　圖象特征

　　函數性質

　　函數圖象都在y軸右側

　　函數的定義域為(0，+)

　　圖象關于原點和y軸不對稱

　　非奇非偶函數

　　向y軸正負方向無限延伸

　　函數的值域為R

　　函數圖象都過定點(1，0)

　　自左向右看，

　　圖象逐漸上升

　　自左向右看，

　　圖象逐漸下降

　　增函數

　　減函數

　　第一象限的圖象縱坐標都大于0

　　第一象限的圖象縱坐標都大于0

　　第二象限的圖象縱坐標都小于0

　　第二象限的圖象縱坐標都小于0

　　(三)冪函數

　　1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數.

　　2、冪函數性質歸納.

　　(1)所有的冪函數在(0，+)都有定義，并且圖象都過點(1，1);

　　(2)時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數.特別地，當時，冪函數的圖象下凸;當時，冪函數的圖象上凸;

　　(3)時，冪函數的圖象在區間上是減函數.在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.

函數知識點5

　　銳角三角函數的定義

　　銳角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的銳角三角函數。

　　正弦等于對邊比斜邊

　　余弦等于鄰邊比斜邊

　　正切等于對邊比鄰邊

　　余切等于鄰邊比對邊

　　正割等于斜邊比鄰邊

　　余割等于斜邊比對邊

　　正切與余切互為倒數

　　它的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數系。

　　由于三角函數的周期性，它并不具有單值函數意義上的反函數。

　　它有六種基本函數(初等基本表示)：

　　函數名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

　　在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為θ，設OP=r，P點的坐標為(x，y)有

　　正弦函數 sinθ=y/r

　　余弦函數 cosθ=x/r

　　正切函數 tanθ=y/x

　　余切函數 cotθ=x/y

　　正割函數 secθ=r/x

　　余割函數 cscθ=r/y

　　(斜邊為r，對邊為y，鄰邊為x。)

　　以及兩個不常用，已趨于被淘汰的函數：

　　正矢函數 versinθ =1-cosθ

　　余矢函數 coversθ =1-sinθ

　　銳角三角函數的性質

　　1、銳角三角函數定義

　　銳角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的銳角三角函數

　　2、互余角的三角函數間的關系。

　　sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

　　tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

　　3、同角三角函數間的關系

　　平方關系：sin2α+cos2α=1

　　倒數關系：cotα=(或tanα·cotα=1)

　　商的關系：tanα= , cotα=.

　　(這三個關系的證明均可由定義得出)

　　4、三角函數值

　　(1)特殊角三角函數值

　　(2)0°～90°的任意角的三角函數值，查三角函數表。

　　(3)銳角三角函數值的變化情況

　　(i)銳角三角函數值都是正值

　　(ii)當角度在0°～90°間變化時，

　　正弦值隨著角度的'增大(或減小)而增大(或減小)

　　余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)

　　正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)

　　余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)

　　(iii)當角度在0°≤α≤90°間變化時，

　　0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,

　　當角度在0°<α<90°間變化時，

　　tanα>0, cotα>0.

　　數學的學習思維方法

　　1比較法

　　通過對比數學條件及問題的異同點，研究產生異同點的原因，從而發現解決問題的方法，叫比較法。

　　比較法要注意：

　　(1)找相同點必找相異點，找相異點必找相同點，不可或缺，也就是說，比較要完整。

　　(2)找聯系與區別，這是比較的實質。

　　(3)必須在同一種關系下(同一種標準)進行比較，這是“比較”的基本條件。

　　(4)要抓住主要內容進行比較，盡量少用“窮舉法”進行比較，那樣會使重點不突出。

　　(5)因為數學的嚴密性，決定了比較必須要精細，往往一個字，一個符號就決定了比較結論的對或錯。

　　2公式法

　　運用定律、公式、規則、法則來解決問題的方法。它體現的是由一般到特殊的演繹思維。公式法簡便、有效，也是孩子學習數學必須學會和掌握的一種方法。但一定要讓孩子對公式、定律、規則、法則有一個正確而深刻的理解，并能準確運用。

　　數學勾股定理知識點

　　1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。

　　2.勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。

　　3.經過證明被確認正確的命題叫做定理。

　　我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。(例：勾股定理與勾股定理逆定理)

函數知識點6

　　三角函數

　　正角:按逆時針方向旋轉形成的角

　　1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角

　　零角:不作任何旋轉形成的角

　　2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角.

　　第二象限角的集合為k36090k360180,k

　　第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

　　終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k

　　第一象限角的集合為k360k36090,k

　　3、與角終邊相同的角的.集合為k360,k

　　4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

　　5、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數的絕對值是

　　l.r

　　180

　　6、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3.180

　　7、若扇形的圓心角為

　　為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl

　　數學判定與性質區別

　　1數學中的判定

　　判定多用于數學的證明概念，通過事物的本質屬性反映出的本質性質，以此作為依據推知下一步結論，這個行為叫做判定。

　　例如：兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形，這個作為已證明的定理，揭示了本質，可以說是“永遠成立”。

　　以此作為判定依據，這個依據叫判定定理，我發現一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么可以斷定此四邊形就是平行四邊形，這個行為叫判定

　　2數學性質

　　數學性質是數學表觀和內在所具有的特征，一種事物區別于其他事物的屬性。如：平行四邊形的性質：對邊平行，對邊相等，對角線互相平分，中心對稱圖形。

　　垂直平分線定理

　　性質定理：在垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等;

　　判定定理：到線段2端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上

　　角平分線：把一個角平分的射線叫該角的角平分線。

　　定義中有幾個要點要注意一下的，就是角的角平分線是一條射線，不是線段也不是直線，很多時，在題目中會出現直線，這是角平分線的對稱軸才會用直線的，這也涉及到軌跡的問題，一個角個角平分線就是到角兩邊距離相等的點

　　性質定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等

　　判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上

函數知識點7

　　它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x這些函數的統稱，各自表示其正弦、余弦、正切、余切為x的角。

　　三角函數的反函數不是單值函數，因為它并不滿足一個自變量對應一個函數值的要求，其圖像與其原函數關于函數y=x對稱。歐拉提出反三角函數的概念，并且首先使用了“arc+函數名”的形式表示反三角函數，而不是。

　　為限制反三角函數為單值函數，將反正弦函數的值y限在-π/2≤y≤π/2，將y作為反正弦函數的主值，記為y=arcsin x;相應地，反余弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函數y=arctan x的.主值限在-π/2

　　反正弦函數

　　y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函數，叫做反正弦函數。記作arcsinx，表示一個正弦值為x的角，該角的范圍在[-π/2，π/2]區間內。定義域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

　　反余弦函數y=cos x在[0，π]上的反函數，叫做反余弦函數。記作arccosx，表示一個余弦值為x的角，該角的范圍在[0，π]區間內。定義域[-1，1] ， 值域[0，π]。

　　反正切函數

　　y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函數，叫做反正切函數。記作arctanx，表示一個正切值為x的角，該角的范圍在(-π/2，π/2)區間內。定義域R，值域(-π/2，π/2)。

　　反余切函數

　　y=cot x在(0，π)上的反函數，叫做反余切函數。記作arccotx，表示一個余切值為x的角，該角的范圍在(0，π)區間內。定義域R，值域(0，π)。

函數知識點8

　　一.常量、變量：

　　在一個變化過程中,數值發生變化的量叫做變量;數值始終不變的量叫做常量。

　　二、函數的概念：

　　函數的定義：一般的，在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.

　　三、函數中自變量取值范圍的求法：

　　(1)用整式表示的函數，自變量的取值范圍是全體實數。

　　(2)用分式表示的函數，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實數。

　　(3)用寄次根式表示的函數，自變量的取值范圍是全體實數。

　　用偶次根式表示的函數，自變量的取值范圍是使被開方數為非負數的一切實數。

　　(4)若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分的取值范圍，然后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。

　　(5)對于與實際問題有關系的，自變量的取值范圍應使實際問題有意義。

　　四、函數圖象的定義：一般的，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么在坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.

　　五、用描點法畫函數的圖象的一般步驟

　　1、列表(表中給出一些自變量的值及其對應的函數值。)

　　注意：列表時自變量由小到大，相差一樣，有時需對稱。

　　2、描點：(在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點。

　　3、連線：(按照橫坐標由小到大的順序把所描的各點用平滑的曲線連接起來)。

　　六、函數有三種表示形式：

　　(1)列表法(2)圖像法(3)解析式法

　　七、正比例函數與一次函數的概念：

　　一般地，形如y=kx(k為常數，且k≠0)的函數叫做正比例函數.其中k叫做比例系數。

　　一般地，形如y=kx+b(k,b為常數，且k≠0)的函數叫做一次函數.

　　當b=0時,y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數，是一次函數的特例.

　　八、正比例函數的圖象與性質：

　　(1)圖象:正比例函數y=kx(k是常數，k≠0))的圖象是經過原點的一條直線，我們稱它為直線y=kx。

　　(2)性質:當k>0時,直線y=kx經過第三，一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大;當k<0時,直線y=kx經過二,四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小。

　　單項式的乘法法則：

　　單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式;對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.

　　單項式與多項式的乘法法則：

　　單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.

　　多項式與多項式的乘法法則：

　　多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.

　　單項式的除法法則：

　　單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.

　　多項式除以單項式的法則：

　　多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.

　　2、乘法公式：

　�、倨椒讲罟�式：(a+b)(a-b)=a2-b2

　　文字語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差.

　�、谕耆�平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a2-2ab+b2

　　文字語言敘述：兩個數的和(或差)的平方等于這兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍.

　　3、因式分解：

　　因式分解的定義.

　　把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.

　　掌握其定義應注意以下幾點：

　　(1)分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可;

　　(2)因式分解必須是恒等變形;

　　(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.

　　弄清因式分解與整式乘法的內在的關系.

　　因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.

　　九、求函數解析式的方法:

　　待定系數法：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而具體寫出這個式子的方法。

　　1.一次函數與一元一次方程：從“數”的.角度看x為何值時函數y=ax+b的值為0.

　　2.求ax+b=0(a,b是常數，a≠0)的解，從“形”的角度看，求直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標

　　3.一次函數與一元一次不等式：

　　解不等式ax+b>0(a，b是常數，a≠0).從“數”的角度看，x為何值時函數y=ax+b的值大于0.

　　4.解不等式ax+b>0(a，b是常數，a≠0).從“形”的角度看，求直線y=ax+b在x軸上方的部分(射線)所對應的的橫坐標的取值范圍.

　　十、一次函數與正比例函數的圖象與性質

　　1.勾股定理的內容：如果直角三角形的兩直角邊分別是a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

　　注：勾——最短的邊、股——較長的直角邊、弦——斜邊。

　　勾股定理又叫畢達哥拉斯定理

　　2.勾股定理的逆定理：

　　如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。即

　　3.勾股數：

　　滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.勾股數擴大相同倍數后，仍為勾股數.常用勾股數：3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17。

　　4.勾股定理常常用來算線段長度，對于初中階段的線段的計算起到很大的作用

　　例題精講：

　　例1：若一個直角三角形三邊的長分別是三個連續的自然數，則這個三角形的周長為

　　解析：可知三邊長度為3，4，5，因此周長為12

　　(變式)一個直角三角形的三邊為三個連續偶數，則它的三邊長分別為

　　解析：可知三邊長度為6，8，10，則周長為24

　　例2：已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長.

　　解析：第一種情況：當直角邊為3和4時，則斜邊為5

　　第二種情況：當斜邊長度為4時，一條直角邊為3，則另一邊為根號7

　　《點評》此題是一道易錯題目，同學們應該認真審題!

　　例3：一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是()

　　A.斜邊長為25

　　B.三角形周長為25

　　C.斜邊長為5

　　D.三角形面積為20

　　解析：根據勾股定理，可知斜邊長度為5，選擇C

函數知識點9

　　I、定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大、)

　　則稱y為x的二次函數。

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II、二次函數的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

　　頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]

　　交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

　　注：在3種形式的'互相轉化中，有如下關系：

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III、二次函數的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，

　　可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

　　IV、拋物線的性質

　　1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

　　x=-b/2a。

　　對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

　　2、拋物線有一個頂點P，坐標為

　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3、二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4、一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

　　當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

　　5、常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　6、拋物線與x軸交點個數

　　Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

函數知識點10

　　反比例函數y=k/x的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限。

　　它們關于原點對稱、反比例函數的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交。

　　畫反比例函數的圖象時要注意的`問題：

　�。�1）畫反比例函數圖象的方法是描點法;

　�。�2）畫反比例函數圖象要注意自變量的取值范圍是k≠0，因此不能把兩個分支連接起來。

　　k≠0

　�。�3）由于在反比例函數中，x和y的值都不能為0，所以畫出的雙曲線的兩個分支要分別體現出無限的接近坐標軸，但永遠不能達到x軸和y軸的變化趨勢。

　　反比例函數的性質：

　　y=k/x（k≠0）的變形形式為xy=k（常數）所以：

　�。�1）其圖象的位置是：

　　當k﹥0時，x、y同號，圖象在第一、三象限;

　　當k﹤0時，x、y異號，圖象在第二、四象限。

　�。�2）若點（m，n）在反比例函數y=k/x（k≠0）的圖象上，則點（—m，—n）也在此圖象上，故反比例函數的圖象關于原點對稱。

　�。�3）當k﹥0時，在每個象限內，y隨x的增大而減小;

　　當k﹤0時，在每個象限內，y隨x的增大而增大;

函數知識點11

　　一.定義

　　1.全等形：形狀大小相同，能完全重合的兩個圖形.

　　2.全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形.

　　二.重點

　　1.平移，翻折，旋轉前后的圖形全等.

　　2.全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等.

　　3.全等三角形的判定：

　　SSS三邊對應相等的兩個三角形全等[邊邊邊]

　　SAS兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等[邊角邊]

　　ASA兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等[角邊角]

　　AAS兩個角和其中一個角的對邊開業相等的兩個三角形全等[邊角邊]

　　HL斜邊和一條直角邊對應相等的兩個三角形全等[斜邊，直角邊]

　　4.角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的'距離相等.

　　5.角平分線的判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

函數知識點12

　　目標設計

　　1.知識與技能：通過本節學習，鞏固二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質，理解頂點與最值的關系，會用頂點的性質求解最值問題。

　　能力訓練要求

　　1、能夠分析實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大（小）值發展學生解決問題的能力， 學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題。

　　2、通過觀察圖象，理解頂點的特殊性，會把實際問題中的最值轉化為二次函數的最值問題，通過動手動腦，提高分析解決問題的能力，并體會一般與特殊的關系，培養數形結合思想，函數思想。

　　情感與價值觀要求

　　1、在進行探索的活動過程中發展學生的探究意識，逐步養成合作交流的習慣。

　　2、培養學生學以致用的習慣，體會體會數學在生活中廣泛的應用價值，激發學生學習數學的興趣、增強自信心。

　　方法設計

　　由于本節課是應用問題，重在通過學習總結解決問題的方法，故而本節課以“啟發探究式”為主線開展教學活動，解決問題以學生動手動腦探究為主，必要時加以小組合作討論，充分調動學生學習積極性和主動性，突出學生的主體地位，達到“不但使學生學會，而且使學生會學”的目的。為了提高課堂效率，展示學生的學習效果，適當地輔以電腦多媒體技術。

　　導學提綱

　　設計思路：最值問題又是生活中利用二次函數知識解決最常見、最有實際應用價值的問題之一，它生活背景豐富 ，學生比較感興趣，對九年級學生來說，在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后，對函數的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，而面積問題學生易于理解和接受 ，故而在這兒作此調整，為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。目的'在于讓學生通過掌握求面積最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題，此部分內容既是學習一次函數及其應用后的鞏固與延伸，又為高中乃至以后學習更多函數打下堅實的理論和思想方法基礎。

　　（一）前情回顧：

　　1.復習二次函數y＝ax2+bx＋c（a≠0）的圖象、頂點坐標、對稱軸和最值

　　2.（1）求函數y＝x2+ 2x－3的最值。

　　（2）求函數y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

　　3、拋物線在什么位置取最值？

　　（二）適當點撥，自主探究

　　請你畫一個周長為40厘米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學比比，發現了什么？誰的面積最大？

函數知識點13

　　一、集合有關概念

　　1.集合的含義

　　2.集合的中元素的三個特性：

　　(1)元素的確定性如：世界上的山

　　(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

　　3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意：常用數集及其記法：

　　非負整數集(即自然數集)記作：N

　　正整數集：N_或N+

　　整數集：Z

　　有理數集：Q

　　實數集：R

　　1)列舉法：{a,b,c……}

　　2)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

　　3)語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4)Venn圖:

　　4、集合的分類：

　　(1)有限集含有有限個元素的集合

　　(2)無限集含有無限個元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　　二、集合間的基本關系

　　1.“包含”關系—子集

　　注意：有兩種可能

　　(1)A是B的一部分，;

　　(2)A與B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

　　2.“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5) 實

　　例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

　　即：

　　①任何一個集合是它本身的子集。AíA

　�、谡孀蛹�:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

　　③如果AíB,BíC,那么AíC

　　④如果AíB同時BíA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　4.子集個數：

　　有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集，含有2n-1個非空子集，含有2n-1個非空真子集

　　三、集合的運算

　　運算類型交集并集補集

　　定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

　　由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作：AB(讀作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).

　　如何養成良好的解題習慣

　　要想學好數學，多做題目是難免的，熟悉掌握各種題型的解題思路。剛開始要從基礎題入手，以課本上的習題為準，反復練習打好基礎，再找一些課外的習題，以幫助開拓思路，提高自己的.分析、解決能力，掌握一般的解題規律。對于一些易錯題，可備有錯題集，寫出自己的解題思路和正確的解題過程兩者一起比較找出自己的錯誤所在，以便及時更正。

　　在平時要養成良好的解題習慣。讓自己的精力高度集中，使大腦興奮，思維敏捷，能夠進入最佳狀態，在考試中能運用自如。實踐證明：越到關鍵時候，你所表現的解題習慣與平時練習無異。如果平時解題時隨便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平 dW 時養成良好的解題習慣是非常重要的。

　　數學性質

　　數學性質是數學表觀和內在所具有的特征，一種事物區別于其他事物的屬性。如：平行四邊形的性質：對邊平行，對邊相等，對角線互相平分，中心對稱圖形。

　　高等數學知識點

函數知識點14

　　中考數學三角函數知識點資料1：同角互余角的三角函數間的關系

　　平方關系：

　　sin^2(α)+cos^2(α)=1

　　tan^2(α)+1=sec^2(α)

　　cot^2(α)+1=csc^2(α)

　　·積的關系：

　　sinα=tanα·cosα

　　cosα=cotα·sinα

　　tanα=sinα·secα

　　cotα=cosα·cscα

　　secα=tanα·cscα

　　cscα=secα·cotα

　　·倒數關系：

　　tanα·cotα=1

　　sinα·cscα=1

　　cosα·secα=1

　　直角三角形ABC中,

　　角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,

　　余弦等于角A的鄰邊比斜邊

　　正切等于對邊比鄰邊,

　　余切等于鄰邊比對邊

　　互余角的三角函數間的關系：

　　sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

　　tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

　　中考數學三角函數知識點資料2：銳角三角函數

　　銳角三角函數的.定義

　　銳角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的銳角三角函數。

　　正弦等于對邊比斜邊

　　余弦等于鄰邊比斜邊

　　正切等于對邊比鄰邊

　　余切等于鄰邊比對邊

　　正割等于斜邊比鄰邊

　　余割等于斜邊比對邊

　　正切與余切互為倒數

　　它的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全�，F代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數系。

　　由于三角函數的周期性，它并不具有單值函數意義上的反函數。

　　它有六種基本函數(初等基本表示)：

　　函數名正弦余弦正切余切正割余割

　　在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為θ，設OP=r，P點的坐標為(x，y)有

　　正弦函數sinθ=y/r

　　余弦函數cosθ=x/r

　　正切函數tanθ=y/x

　　余切函數cotθ=x/y

　　正割函數secθ=r/x

　　余割函數cscθ=r/y

　　(斜邊為r，對邊為y，鄰邊為x。)

　　以及兩個不常用，已趨于被淘汰的函數：

　　正矢函數versinθ =1-cosθ

　　余矢函數coversθ =1-sinθ

函數知識點15

　　(1)高中函數公式的變量：因變量，自變量。

　　在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。

　　(2)一次函數：①若兩個變量,間的關系式可以表示成(為常數，不等于0)的`形式，則稱是的一次函數。②當=0時，稱是的正比例函數。

　　(3)高中函數的一次函數的圖象及性質

　　①把一個函數的自變量與對應的因變量的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。

　　②正比例函數=的圖象是經過原點的一條直線。

　�、墼谝淮魏瘮抵�，當0，O，則經2、3、4象限;當0，0時，則經1、2、4象限;當0，0時，則經1、3、4象限;當0，0時，則經1、2、3象限。

　　④當0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而減少。

　　(4)高中函數的二次函數：

　　①一般式：

　　，對稱軸是頂點是;

　�、陧旤c式：，對稱軸是頂點是;

　　③交點式：，其中，是拋物線與x軸的交點

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