不確定理論教學中學生科研能力的培養論文

　　【摘要】如何培養學生的科研能力，是當前高校教學改革所面臨的重要問題。本文基于不確定理論教學和科研的實踐，闡述了課堂教學過程中，如何結合講授的基本內容，逐步讓學生了解科學研究過程中的基本方法，以達到提高科研能力的目的。

　　【關鍵詞】不確定理論概率論可信性理論公理化方法類比方法

　　一、不確定理論簡介

　　在運籌學、管理科學、信息科學、計算機科學及工程等領域存在諸多客觀或人為的不確定性，如隨機性、模糊性等。隨著社會的發展和人們對改造自然要求的提高，在處理實際問題時，必然也會遇到某些不確定因素的出現。人們用科學的方法研究不確定信息是從研究隨機現象開始的。到現在為止，研究隨機現象的理論，即概率論已經發展為處理此類不確定性的強大理論工具，并在許多問題的解決過程中發揮著重要的作用。

　　模糊集的概念是上世紀六十年代由Zadeh［4］首次提出的，到現在為止，模糊集理論已經發展成處理模糊信息的重要方法，它的理論也越來越受到人們的青睞。長期以來，由于人們應用隸屬度函數描述模糊集合，而隸屬度函數的選取具有很大的主觀性，故大部分學者認為模糊集是經驗的集合，缺乏嚴謹性。實際上，人們之所以對模糊集理論存在片面的理解，主要原因是模糊集理論本身沒有形成一個完整的理論體系。盡管Nahmias［3］定義了可能性空間和模糊變量的概念，并試圖建立模糊集理論的公理體系，但由于公理基礎不完善，以致于隨后的理論框架一直沒有很好的搭建起來。直到最近Liu［1］［2］在Nahmias可能性空間的三條公理的基礎上，又提出了可能性空間的第四條公理，并成功的建立了模糊集的公理體系：可信性理論。

　　我們知道，現實世界是不確定的，而不確定現象的發生也具有不確定性。某些時候會出現雙重或多重不確定性同時發生的現象，一種典型的情況就是隨機性和模糊性同時發生。例如，在測量湖水深度時，一般的測量方法是隨機的在湖中選取一點，測量的結果可能為“很深”、“較深”、“大約5米”等比較模糊的數據。實際上，這些數據的產生既涉及隨機性，也伴有模糊性，顯然若想單獨用概率論或模糊集理論來處理這個問題就顯得力不從心。雙重不確定性問題的出現，促使了模糊隨機理論和隨機模糊理論的發展。［1］［2］

　　總的來說，作為數學科學的一個分支，不確定理論是研究不確定現象及其內在規律的學科，是概率論、可信性理論、隨機模糊理論和模糊隨機理論的統稱。

　　二、不確定理論教學中學生科研能力培養的必要性

　　近年來，隨著不確定理論的逐步發展及其應用領域的不斷擴大，很多高校逐漸意識到為高年級學生和研究生開設該類課程的必要性。一些關于不確定理論的課程，如概率論、模糊集理論、可信性理論的課程相繼開設。但在教學的過程中，由于一些教師對不確定理論的了解和研究不夠深入，因此往往忽略了對不確定理論發展和研究方法的介紹，不能有效的培養學生的科研能力和創新思想。雖然學生通過系統學習能夠掌握教科書上相關的理論知識和應用方法，但書本知識畢竟是過去研究結果的總結，對學科的前沿不能有系統的掌握。

　　實際上，不確定理論課程中的一些學科，如可信性理論、模糊隨機理論，都是近年來才開始逐步發展完善的，因此在充分了解發展過程和領域前沿的基礎上，向學生介紹重要結論的由來和科研方法是十分必要的。這對于擴展學生的知識面，增加其學習積累，培養其學術思維具有重要的作用。鑒于此，我們通過多年的教學和科研實踐，逐步探索將學生科研能力的培養納入課堂教學中，使學生通過對不確定理論的學習逐步掌握一般的科研方法和技巧，為將來的進一步學習和深造打下良好的基礎。

　　三、不確定理論課堂教學中培養學生科研方法的嘗試

　　對于高年級的學生來說，在課堂教學中講授相關知識的同時，最重要的是向他們傳授相關的科研方法，以打破科研神秘感，培養他們的科研興趣。在不確定理論實際教學的過程中，可以向學生介紹兩類科研方法的應用，即公理化方法和類比方法。

　　1．公理化方法：公理化方法是建立數學體系的主要方法之一。它對現代數學和某些自然科學產生了重要的影響。公理化的趨勢是現代數學區別于以往數學的重要特征之一。它在公理基礎上將其它所有概念、命題組成嚴密的邏輯體系，從而條理清楚、簡明扼要，使人們便于學習、繼承和應用。［5］［6］所以，一門數學如果公理化了，則被認為是成熟的學科。建立在公理基礎上的學科一定是嚴謹的學科，在發展過程中不會出現悖論。在介紹公理化方法的時候，一定要先以淺顯易懂的實例告訴學生什么是公理基礎及其作用。例如，初中學習的平面幾何就是建立在公理基礎上的，其中涉及的公理包括平行直線永不相交、同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補等。通過這樣的介紹，學生首先會對公理基礎有一個較清楚的認識，之后對不確定理論中公理基礎的理解有一個較好的開端。

　　現代概率論完全是在公理化體系的基礎上發展起來的，其公理基礎包含三個方面的內容：設Ω為非空集合，A是由Ω的一些子集構成的代數，若非負集函數Pr滿足：

　　公理1：Pr｛Ω｝＝1；

　　公理2：對任意B∈A，有Pr｛B｝≥0；

　　公理3：對任意可列互不相交的集合列A，有，則集函數Pr稱為概率測度，（Ω，A，

　　Pr）稱為概率空間。隨機變量是定義為從概率空間（Ω，A，Pr）到實數集合的一個可測映射。

　　在介紹上面公理時，一定要向學生介紹概率測度是測度的一種特殊形式，因此，在概率空間和隨機變量的概念提出后，人們就可以從測度論的角度來研究概率論，從而有力地推動了概率論的公理化理論體系的形成。概率論中相關定理的推導都是基于公理基礎上的，故不會出現悖論，缺乏了公理基礎，悖論不可避免。在概率論的講授過程中，一定要時刻以公理為主線，讓學生體會到公理化方法在概率論發展中的重要地位和作用。可信性理論的發展也是基于公理基礎的。它包括如下四條公理：即設Θ為非空集合，P（Θ）是由Θ的所有子集構成集合。若非負集函數Pos滿足：

　　公理1：Pos｛Θ｝＝1；

　　公理2：Pos｛｝＝0；

　　公理3：對任意的集合列｛Bi｝，有Pos｛UiBi｝＝ViPos｛Bi｝，則集函數Pos稱為可能性測度，（Θ，P（Θ），Pos）稱為是一個可能性空間。模糊變量是定義為從可能性空間到實數集合的映射。

　　此外，為了定義乘積可能性空間和乘積可能性測度，Liu［1］［2］提出了可能性理論的第四條公理。設（Θi，P（Θi），Posi），i＝1，2，…n是可能性空間，而Θ＝Θ1×Θ2×…×Θn。設集函數Pos滿足：

　　公理4：對任意B∈P（Θ），有：

　　此時，記Pos＝Pos1∧Pos2∧…∧Posn，則Pos是一個可能性測度，從而（Θ，P（Θ），Pos）是一個可能性空間，稱為是（Θi，P（Θi），Posi），i＝1，2，…n的乘積可能性空間。

　　可信性測度（Cr）是基于可能性測度而定義的，即對任意B∈P（Θ），有Cr｛B｝＝Pos｛B｝＋1－Pos｛Bc｝。三元組（Θ，P（Θ），Cr）稱為可信性空間。可信性理論是基于上述公理和可信性側度的基礎上發展而來的。它與傳統模糊集理論相比，其優勢在于它是建立在公理化體系基礎之上的，從而可以消除模糊集中的主觀因素，而且不會出現悖論。

　　通過對不確定理論公理基礎的介紹，不僅可以使學生了解公理基礎在學科發展中的地位和作用，也使他們掌握一項重要的科研方法——公理化方法。

　　2．類比的方法：類比法是數學方法論的基本方法之一，它根據兩種數學對象之間在某些方面相似或相同，從而推出它們在其他方面也可能相似或相同的推理方法。它是以比較為基礎的一種從特殊到特殊的推理方法，它在數學的發展中起著非常重要的作用。［5、6］從整體而言，可信性理論的迅速發展得益于類比了概率論的知識。事實上，模糊變量、可信性測度，以及期望值算子的概念都能夠在概率論中找到原型，它們分別對應于隨機變量、概率測度，以及隨機變量的期望值算子。在不確定理論的其他學科，如模糊隨機理論和隨機模糊理論的豐富過程中，類比的方法仍然起著非常重要的作用。

　　在教學過程中，教師一定要介紹類比方法如何應用的。就概率論而言，對概率測度的研究極大豐富和發展了概率論的理論體系。同樣的，要發展模糊集理論，就必須要研究可能性測度、必要性測度和可信性測度的數學性質。具體來說，如何研究這些測度的數學性質呢？要解決這個問題，我們必須要回到概率論，對照概率測度的研究方法，研究可能性測度、必要性測度以及可信性測度的數學性質。這就是類比方法的應用。所謂“站在巨人的肩膀上”也就是這個道理。對模糊集理論來講，它的巨人就是概率論，它的發展也必須參考概率論。例如，概率測度有一些數學性質：設（Ω，A，Pr）為一個概率空間，則有

　　（1）（自對偶）對任意的B∈A，有Pr｛B｝＋Pr｛Bc｝＝1；

　　（2）（有界性）對任意的B∈A，有0≤Pr｛B｝≤1；

　　（3）（單調性）對任意的B

　　C，有Pr｛B｝≤Pr｛C｝。

　　在可信性理論中，由于可信性測度對應于概率論中的概率側度，在研究可信性側度性質時，我們應該首先考慮它是否具有與概率側度相似的性質。有了這種想法，經過嚴格的理論推導也可證明可信性側度具有自對偶性、有界性和單調性。設（Θ，P（Θ），Cr）是一個可信性空間，則：

　　（1）（自對偶）對任意的B∈P（Θ），有Cr｛B｝＋Cr｛Bc｝＝1。

　　（2）（有界性）對任意的B∈P（Θ），有0≤Cr｛B｝≤1。

　　（3）（單調性）對任意的B C，有Cr｛B｝≤Cr｛C｝。

　　實際上，可信性理論的很多結論都是類比了概率論中的結論而得到的，再如，概率期望值算子具有線性性質，我們同樣也可以證明，在某些條件下可信性期望值算子也具有線性性質。

　　在課堂教學的過程中，教師一定要注意介紹類比方法的應用，它是科學研究方法論中的一項重要方法。這樣的授課方式不僅能讓學生在理解概率論的基礎上更加容易理解其他理論，還能讓學生掌握科研過程的另一基本方法——類比法。

　　四、結束語

　　在教學過程中，除了講授課本上基本理論和基礎知識外，還應逐步培養學生的科研能力和科研方法。具體來說，就是在課堂教學過程中注意用實例的方式注重科研方法的灌輸，這樣不僅有利于學生對課本知識的理解，對于提高他們科研能力和擴充知識面都有很大的幫助，從而達到教學的目的。

　　參考文獻

　　1 Liu B.Uncertainty Theory: An Introduction to its Axiomatic Foundations. Berlin: Springer-Verlag，2004

　　2 Liu B. Theory and Practice of Uncertain Programming. Heidelberg: Physica-Verlag，2002

　　3 Nahmias S. Fuzzy variables. Fuzzy Sets and Systems，1978.1：97～110

　　4 Zadeh L A. Fuzzy sets. Information and Control，1965.8：338～353

　　5 周述歧.數學思想和數學哲學.中國人民大學出版社，1993

　　6 吳炯圻、林培榕.數學思想方法.廈門大學出版社，2001

　　7 鄭毓信.數學哲學新論.江蘇教育出版社，1990

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