下學期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切1

二倍角的正弦、余弦、正切（第一課時）

（一）教學具準備

投影儀或多媒體設備

（二）教學目標 

1．掌握 、 、 公式的推導，明確 的取值范圍．

2．運用二倍角公式求三角函數值．

（三）教學過程 

1．設置情境

師：我們已經學習了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，請大家回憶一下這組公式的來龍去脈，并請一個同學把這六個公式寫在黑板上，

生：

師：很好，對于這些公式大家一方面要從公式的推導上去理解它，另一方面要從公式的結構特點上去記憶，還要注意公式的正用、逆用和變用．今天，我們繼續學習二倍角的正弦、余弦和正切公式

2．探索研究

師：請大家想一想，在公式 、 、 中對 、 如何合理賦值，才能出現 、 、 的表達式，并請同學把對應的等式寫在黑板上．

生：可在 、 、 中，令 ，就能出現 、 、 ，對應表達式為：

即：

師：很好，看來本節課的主要任務，已經被大家輕松完成了．對于公式 ，我們似乎要注意些什么？大家想一想要關注什么？

生：要使 有意義及 ， 有意義．

師： 有意義即 ， ．

，即 ，也就是 ，可變為 ．

要使 有意義，則須 ．

綜合起來就是 ，且 ， ．當 時，雖然 的值不存在，但 的值是存在的，這時求 的值可利用誘導公式，即 ．

師：對于 ，還有沒有其他的形式？

生：有（板書）

∵    ∴ 或

∴

師：（板書三個公式，并告訴學生公式記號分別為 、 、 ）對二倍角公式大家要注意以下問題．（1）用 和 表示 、 ，用 表示 ，即用單角的三角函數表示復角的三角函數．（2） 有三種形式， 是有條件的．

3．例題分析

【例1】已知 ， ．求 ， ， 的值．

解：因為 ， ．所以

于是

說明：本題也可按下列程序來做，請大家比較方法之優劣．

∵ ，

∴ ，且 ，

【例2】不查表求值：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） ．

解：（1）

  

  

  

（2）

（3）

（4）

說明：逆用公式的先決條件是認識公式的本質，要善于把表象的東西拿開，正確捕捉公式原形以便合理運用公式．

【例3】 求證：

引導學生觀察式子兩邊的結構，提出證題的方向．

生：左邊都是單角的三角函數，右邊是二倍角．又因左邊比右邊明顯復雜得多，所以應由左邊證向右邊，注意把單角的三角函數變為二倍角．

師：（板書）

證明：左邊

右邊

所以原式成立

【例4】化簡： ．

師：這道題給我們的感覺是有些無從下手，很難看出有什么公式可以直接使用．兩個角 與 似乎還有一線希望，但由于受函數名稱限制難以發揮它的作用，大家都來想想看，有什么辦法可以打破這一僵局（請同學們討論）？

生：在同角三角函數的化簡中，如果一個式子有弦、有切，我們可以把切化成弦．

師：好的，我們來嘗試（板書）

解：

說明：本題在嘗試把正切化為弦（正、余弦）后果然獲得成功，其實把正切化為弦就是一條重要思想，請同學們切記“遇切、割化弦”這一規律．另外本題的解答過程還反映了逆用和角公式的重要性．希望大家一并記下．

練習（投影）

（1）化簡

（2）

（3）若 ，則

答案：（1） ；（2） ；（3）8

4．總結提煉

（1）在兩角和的三角函數公式 、 、 中，當 時，就可以得到二倍角的三角函數公式 、 、 ，說明后者是前者的特例．

（2） 、 中角 沒有限制條件，而 中，只有 和 時，才成立．

（3）二倍角公式不僅限于 是 的二倍形式，其他如 是 的2倍， 是 的二倍， 是 的二倍等等都是適用的，要熟悉這些多種形式的兩個角的倍數關系，才能熟練地應用好二倍角公式，這是靈活運用公式的關鍵．

有三種形式 ，要依據條件，靈活選用公式．另外，逆用此公式時，更要注意結構形式．

（四）板書設計 

二倍角公式

應注意幾個問題：

例1

例2

例3

例4

演練反饋

總結提煉

下學期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切1

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