現代信號處理教程-胡廣書(清華)

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現代信號處理教程-胡廣書(清華)

第12章雙正交小波及小波包

我們在上一章給出了正交小波的構造方法。正交小波有許多好的性質，如

j,k(t),φj,k(t)=δ(k?k')，j,k(t),ψj,k(t)=δ(k?k')，j,k(t),ψj,k(t)=0 ，此

外，尺度函數和小波函數都是緊支撐的，有著高的消失矩等等。Daubechies給出的正交小波的構造方法可以方便的構造出所需要的小波(如DBN，SymN，CoifN)。但是，正交小波也有不足之處，即φ(t)和ψ(t)都不是對稱的，盡管SymN和CoifN接近于對稱，但畢竟不是真正的對稱，因此，這在實際的信號處理中將不可避免地帶來相位失真。φ(t)和ψ(t)的不對稱性來自所使用的共軛正交濾波器組H0(z)和H1(z)的不對稱性。我們已在7.8節討論了具有線性相位的雙正交濾波器組的基本概念，給出了可準確重建的雙正交濾波器組的設計方法。本章，我們把這些內容引入到小波分析，給出適合小波變換的雙正交濾波器組準確重建的條件，給出雙正交條件下的多分辨率分析及雙正交小波的構造方法，最后簡要討論小波包的基本概念

12.1 雙正交濾波器組

現在，我們結合小波變換的需要來研究雙正交濾波器組的內在關系及實現準確重建

的條件。所謂“小波變換的需要”是指在用H0(z)對a0(z)分解時需要將H0(z)和H1(z)的或0(n)=h0(?n),1(n)=h1(?n)，系數作時間上的翻轉，即用的是H0(z?1)及H1(z?1)，見(10.6.1)式及圖10.6.2。將圖10.6.2的正變換和圖10.6.3的反變換結合起來，我們可得到如圖12.1.1所示的一級分解和重建的類似于兩通道濾波器組的信號流圖。注意，圖中用于

?0(z)和H?1(z)，它們分別是重建的濾波器不再是圖10.6.3中的H0(z)和H1(z)，而是H

H0(z)和H1(z)的對偶濾波器。有關“對偶”的概念見1.6節，在下面的討論中將涉及對

偶濾波器的作用。

現在我們來分析該圖中各信號之間的關系及實現PR的條件。由第七章關于兩通道濾波器組的理論，我們有

- 352 -

圖12.1.1 雙正交濾波器組

)

a1(n)=a0(n)?0(2n)

=∑a0(k)h0(k?2n)=a0(k),h0(k?2n) (12.1.1a)

d1(n)=a0(n)?1(2n) =

∑a(k)h(k?2n)=

a0(k),h1(k?2n) (12.1.1b)

?(n)+d'(n)?h?(n) ?0(n)=a1'(n)?ha011

?(n?2l)+d(l)h=∑a1(l)h∑1?1(n?2l) 0

(12.1.2)

將(12.1.1)式代入(12.1.2)式，有

?(n?2l) ?0(n)=∑a0(k),h0(k?2l)a0

∑

?(n?2l) 0(k),h1(k?2l)1

(12.1.3)

(12.1.1)式是用一組向量{h0(k?2n),h1(k?2n),n,k∈Z}對a0(n)作分析，(12.1.3)式是用

?(n?2l),h?(n?2l),n,l∈Z對a(n)作綜合。(12.1.3)式還可表為一組對偶向量h010

?(n?2l)(k) ?0(n)=∑h0(k?2l),ha00

{}

∑

?(n?2l)(k) h1(k?2l),h10

- 353 -

(12.1.4)

顯然，如果

?(n?2l)=δ(n?k) h0(k?2l),h0?(n?2l)=δ(n?k) h1(k?2l),h1

則

(12.1.5a) (12.1.5b)

?0(n)=2a0(n) a

從而實現了準確重建。(12.1.5)式的含意是，在圖12.1.1中，同一條支路上的兩個濾波器

?(n)或h(n),h?(n)的偶序號位移之間是正交的。但是該式沒有涉及上下支路兩個h0(n),h011

濾波器之間的關系。我們更關心的是這些濾波器系數的移位可否構成小波分析中的基函數。下面的兩個定理清楚地回答了該問題。

定理12.1

對圖12.1.1所示的兩通道濾波器組，對任意的輸入信號a0(n)，其準確

重建的充要條件是：

*?0(ω)+H1*(ω+π)H?1(ω)=0 H0(ω+π)H

(12.1.6a) (12.1.6b)

及

?0(ω)+H1(ω)H?1(ω)=2 H0(ω)H

證明：仿照(7.1.5)式的導出，有

?(z)=1H(z?1)H?0(z)+H1(z?1)H?1(z)A0(z) A00

[]

1?(z)A(?z) ?(z)+H(?z?1)HH0(?z?1)H01102

[]

(12.1.7)

?(z)分別是a(n)和a?0(n)的z變換，A0(?z)是混迭分量。因此，為消除式中A0(z)、A00

混迭失真，應有

?(z)+H(?z?1)H?(z)=0 H0(?z?1)H011

(12.1.8a)

為保證系統的準確重建，應有

?(z)+H(z?1)H?(z)=2cz?k H0(z?1)H011

(12.1.8b)

式中c和k均為常數。令c=1，k=0，(12.1.8)式對應的頻率表示是：

*?0(ω)+H1*(ω+π)H?1(ω)=0 H0(ω+π)H

- 354 -

*?0(ω)+H1*(ω)H?1(ω)=2 H0(ω)H

于是定理得證。

對比圖7.1.1的兩通道濾波器組，其對應的PR條件是（見(7.1.5)式）：

H0(?z)G0(z)+H1(?z)G1(z)=0

H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)=2

(12.1.9a) (12.1.9b)

將(12.1.9)和(12.1.8)式相比較可以看出，在雙正交濾波器組的情況下，我們分別用

?0(z)、H?(z)代替了G0(z)和G1(z)，并在分析濾波器組中，用H0(z?1)、H1(z?1)分H1

別代替了H0(z)和H1(z)。其實，(12.1.8)式導出的原理和(12.1.9)式是完全一樣的。由(12.1.6a)式，有

??(ω)??2?H1(ω)??H?H0(ω)0

?????=?? ?

?H0(ω+π)H1(ω+π)??H1(ω)??0?

(12.1.10)

可求出

??(ω)??H?H1(ω+π)?20????=??H(ω+π)?

det()ωH0???H1(ω)?

(12.1.11)

式中

detH(ω)=H0(ω)H1(ω+π)?H1(ω)H0(ω+π)

(12.1.12)

?(z)和H?1(z)是穩定的，detH(ω)在ω=?π~π的范圍內顯然，為了保證對偶濾波器H0?0(z)和H?(z)是FIR的，detH(ω)應取純延遲的形式。應該非零。為了保證H1

仿照(7.2.16)式對G0(z)和G1(z)的定義，我們可給出在雙正交條件下對偶濾波器和分析濾波器之間的關系：或

??(ω+π) H1(ω)=e?j(2l+1)ωH0?(ω)=e?j(2l+1)ωH?(ω+π) H10

(12.1.13a) (12.1.13b)

?0(?z?1) H1(z)=z?(2l+1)H

- 355 -

(12.1.14a)

?1(z)=z?(2l+1)H0(?z?1) H

(12.1.14b)

假定l=0，它們對應的時域關系是

?(1?n) h1(n)=(?1)n+1h0?(n)=(?1)n+1h(1?n) h10

(12.1.15a) (12.1.15b)

注意，上述時域、頻域關系均是在圖12.1.1中的交叉方向上給出的，它正好反映了雙正交濾波器組的特點。

將(12.1.13)式代入(12.1.6)式，我們可得到如下的關系：

??(ω)+H?(ω+π)H?(ω+π)=2 H0(ω)H000

(12.1.16a)

或及

??1(ω)+H1?(ω+π)H?1(ω+π)=2 H1(ω)H

(12.1.16b)

或

??1(ω)+H0?(ω+π)H?1(ω+π)=0 H0(ω)H

(12.1.17a) (12.1.17b)

??0(ω)+H1?(ω+π)H?0(ω+π)=0 H1(ω)H

至此，我們給出了在雙正交濾波器組中的若干基本關系，即

(1) 去除混迭條件：(12.1.6a)式； (2) PR條件

：(12.1.6b)式；

(3) 保證PR條件和濾波器均為FIR的情況下，四個濾波器在時域和頻域的關系：

(12.1.13)式～(12.1.17)式。

回顧在共軛正交濾波器組的情況下，我們經常用到的功率互補關系，即

H0(ω)+H0(ω+π)=2，

或

H0(ω)H0(ω)+H0(ω+π)H0(ω+π)=2

(12.1.18)

?0(z)=H0(z)，則(12.1.16a)式即變成(12.1.18)式，也即雙正交濾波器組變成了顯然，若H

正交濾波器組。

有了以上討論的基礎，我們可給出在小波分析中要用到的“基”的概念。

- 356 -

?0(z)和H?1(z)滿足準定理12.2[8] 如果圖12.1.1中的四個濾波器H0(z)，H1(z)，H

確重建條件，且它們的傅里葉變換均是有界的，則

?(n?2l),h?(n?2l)},l∈Z 和 {h(n?2l),h(n?2l)},l∈Z {h0101

是L2(R)中的雙正交Riesz基。

?及h?的偶序號項移位是雙正交的，我們需要證明如下三個證明：為證明h0、h1、h01

關系成立：及

?(k),h(k?2n)=δ(n) h00?(k),h(k?2n)=δ(n) h11

(12.1.19a) (12.1.19b)

?(k),h(k?2n)=h?(k),h(k?2n)=0 h0110

(12.1.19c)

由(12.1.16a)式，有

1??0(ω)+H0?(ω+π)H?0(ω+π)=1 H0(ω)H

該式對應的時域關系是

∞

[]

??(2n)=h00

k=?∞

?(k)h(k?2n)=δ(n)

∑h

(12.1.20)

于是(12.1.19a)式得證。同理，由(12.1.16b)式可證明(12.1.19b)式，而(12.1.17)式對應的時域關系即是(12.1.19c)式。這樣，(12.1.19)式給出了三組正交關系。

?，h，h?的偶序號位移能夠構成L2(R)中的雙正交Riesz基，它們還需滿足若h0，h011

如下的條件：

∞

?ω∈[?π,π]，有≤∑?(ω+2kπ)≤

Bk=?∞A

(12.1.21)

?，h?(ω)是θ的傅里葉變換，此處θ代表h，h此即(10.2.11)式。式中A>0，B>0，θ001

?。由本定理所給的條件，即它們的傅里葉變換都是有界的，所以(12.1.21)式滿足，因或h1

- 357 -

?，h及h?的偶序號移位構成L(R)中的雙正交Riesz基。于是定理得證。此h0，h011

我們之所以說這些序列為“雙正交”基，是因為在圖12.1.21中的濾波器組中，上下支

?正交，h和其對偶h?正交；同時，上下支路交叉正交，路各自是正交的，即h0和其對偶h011?。?，h正交于h即h0正交于 h在雙正交濾波器中，我們并沒有強調H0(z)和H1(z)0注意，11

之間的正交關系，而這一正交關系是共軛正交濾波器組中的基本關系。由此讀者可搞清正交和雙正交的區別。總之，在小波的多分辨率分析中，使用正交濾波器組時，分解濾波器和重建濾波器是相同的，而在雙正交小波分析中，分析濾波器是H0和H1，而綜合濾波器

?0和H?。是它們的對偶，即H1

此外，(12.1.19a)和 (12.1.19b)的雙正交關系與本章開頭所給出的(12.1.5)式的關系是一致的，只不過(12.1.19)式更簡潔。

12.2 雙正交小波

上一節我們討論了雙正交濾波器的基本概念、PR條件及各濾波器時域、頻域的關系。本節，我們將把雙正交濾波器組的概念引入雙正交小波變換，給出類似第十章的多分辨率分析。

由(9.8.18)和 (9.8.19)式，信號x(t)的離散小波變換是：

WTx(j,k)=∫x(t)ψj,k(t)dt=x(t),ψj,k(t)j,k∈Z

(12.2.1)

令dj(k)=WTx(j,k)，則dj(k)稱為小波系數，也即x(t)的DWT。我們可由dj(k)重建

x(t)。由(9.8.20)式，有

x(t)=∑

∞

j=0k=?∞

∑d

∞

?j,k(t)=∑(k)ψ

∞

j=0k=?∞

∑

∞

?j,k(t) x(t),ψj,k(t)(12.2.2)

?j,k(t)是ψj,k(t)的對偶小波。由以上兩式可以看出，小波ψj,k(t)用于信號的分析，式中ψ

?j,k(t)用于信號的綜合。在正交小波的情況下，ψ?j,k(t)=ψj,k(t)。對偶小波ψ

我們在第十章詳細討論了離散小波變換的多分辨率分析，引出了尺度函數φ(t)，證明

- 358 -

了在L2(R)中存在正交基φj,k(t)和ψj,k(t)，給出了φj,k(t)、ψj,k(t)和正交濾波器組的關系，即二尺度差分方程和(10.4.7)和(10.4.8)式的頻域關系。在雙正交濾波器組的情況下，分

?)和兩個小波函數?，H?1)將產生兩個尺度函數(φ，φ解濾波器(H0，H1)和重建濾波器(H0

?和ψ?0，H?)。其中φ和ψ對應信號的分解，而φ?對應信號的重建。它們和H0，H(ψ，ψ1?1相應的時域和頻域的關系是：及H

及

φ(t)=2∑h0(n)φ(2t?n)

n=?∞∞

∞

(12.2.3a) (12.2.3b) (12.2.4a) (12.2.4b)

?(t)=2hφ∑?0(n)φ?(2t?n)

n=?∞∞

ψ(t)=2∑h1(n)φ(2t?n)

n=?∞∞

?(n)φ?(2t?n) ?(t)=∑hψ1

n=?∞

Φ(2ω)=

H0(ω)Φ(ω) 2

(12.2.5a)

?(2ω)=1H?0(ω)Φ?(ω) Φ

Ψ(2ω)=

H1(ω)Φ(ω) 2

(12.2.5b) (12.2.6a) (12.2.6b)

?(2ω)=1H?1(ω)Φ?(ω) Ψ

定理10.3給出了在正交濾波器組情況下H0(ω)和H1(ω)的關系，即(10.5.1)式。對應雙正交濾波器組，這一關系變成：

*?0(ω)+H0*(ω+π)H?0(ω+π)=2 H0(ω)H

(12.2.7)

此即(12.1.6a)式。由(12.1.13)式，令l=0，則分解和重建濾波器之間有如下關系：

?0(?z?1)，或H1(ω)=e?jωH?0?(ω+π) H1(z)=z?1H

- 359 -

(12.2.8a)

?1(z)=z?1H0(?z?1)，或H?1(ω)=e?jωH0?(ω+π) H

(12.2.8b)

?(t)都是低通的，ψ(t)和ψ?(t)都是帶通的。對同正交小波時一樣，我們要求φ(t)和φ

?(z)是低通的，H(z)和H?(z)是高通的，即應的，要求H0(z)和H011

?0(ω)ω=π=0 H0(ω)=H

?1(ω)ω=0=0 H1(ω)=H

(12.2.9a)

(12.2.9b) (12.2.10a) (12.2.10b)

∫φ(t)dt=∫φ?(t)dt=1 ∫ψ(t)dt=∫ψ?(t)dt=0

由(12.1.16)式，有

?0(ω)ω=0=2，及 H0(ω)=H?0(ω)ω=0=2 H0(ω)H

?1(ω)ω=π=2，及 H1(ω)=H?1(ω)ω=π= H1(ω)H

(12.2.11a) (12.2.11b)

類似(10.4.14)式，可由(12.2.5)式導出

H0(ω2j)

Φ(ω)=∏j=1

∞?(ω2j)H?(ω)=∏0 Φ

2j=1

∞

(12.2.12a)

(12.2.12b)

類似(10.4.15)式，可由(12.2.6)式導出

H1(ω/2)∞H0(ω2j)

Ψ(ω)=∏22j=2

?(ω2j)?(ω/2)∞HH0?(ω)=1 Ψ∏22j=2

(12.2.13a)

(12.2.13b)

由上面的討論可知，在“雙正交”的情況下，我們在第七章及第十章所討論的濾波器

?；H，H?1；φ，φ和ψ，ψ?。組及兩尺度差分方程各增加了一套“對偶”，即H0，H01

上面各節給出了它們所應滿足的時域及頻域關系。下面的定理將給出雙正交小波基的存在

- 360 -

性。

?(ω)，使得定理12.3[42,5,8] 假定存在兩個恒正的三角多項式p(ω)和p

H0()p()+H0(+π)p(+π)=2p(ω)

2222

ωω

(12.2.14a) (12.2.14b)

ω?(ωp(ω)+H?(ω+π)p??(ω) H(+π)=2p00

?0(ω)在?π~π內非零，則 H0(ω)、H

并假定

?(t)屬于L(R)，且滿足雙正交關系 1．由(12.2.12)式定義的φ(t)和φ

?(t?n)=δ(n) (t),φ

(12.2.15)

?j,k(t)是L2(R)中的雙正交Riesz基，即 2．兩個小波函數序列ψj,k(t)和ψ

?j,k(t)=δ(j?j')δ(k?k') j,k(t),ψ

(12.2.16)

該定理的證明見文獻[42]。有了L2(R)中的雙正交基，我們可對x(t)作如下的分解：

x(t)=∑

∞

j=0k=?∞

∑

∞

?j,k(t) x(t),ψj,k(t)?j,k(t)j,k(t) x(t),ψ

(12.2.17)

=∑

∞

j=0k=?∞

∑

?j,k(t)是L(R)中的Riesz基，則必然存在常數A>0，B>0，使得既然ψj,k(t)，ψ

Ax(t)≤∑x(t),ψj,k(t)

j,k

≤Bx(t)

(12.2.18a)

?j,k(t)x(t)≤∑x(t),ψ

Bj,k

≤

x(t) A

(12.2.18b)

由上面的討論可知，在雙正交的情況下，我們并不要求{ψj,k}和{ψj,k'}之間是正交的，

?}和{ψ?j',k}之間是正交的，僅要求也不要求{φj,k}和{ψj,k}之間，以及其對偶函數{φj,k

?'}之間以及{ψ}和{ψ?j',k'}之間是正交的，也即(12.2.15)和(12.2.16)式。正交{φj,k}和{φj,kj,k

- 361 -

性的放寬是使H0(z)及H1(z)具有線性相位，從而使φ(t)和ψ(t)更具有對稱性，從而減小了相位失真。

在第十章的多分辨率分析中，我們假定

Vj=close{φj,k,j,k∈Z} Wj=close{ψj,k,j,k∈Z} Vj=Vj+1⊕Wj+1，Wj⊥Vj

(12.2.19a) (12.2.19b)

并有 (12.2.19c)

?將產生兩個空間。除了(12.2.19a)和(12.2.19b)在雙正交情況下，尺度函數φj,k及其對偶φj,k

式的關系外，還有

?,j,k∈Z} ?j=close{φ Vj,k?j=close{ψ?j,k,j,k∈Z} W

(12.2.20a) (12.2.20b)

及

?j的嵌套關系是 Vj和V

V?1?V0?V1???Vj?Vj+1?

(12.2.21a)

???V??V????V?j?V?j+? V1011

(12.2.21b)

?j，W和W?j之間有如下關系：此時，Wj不再是Vj的正交補空間，但Vj，Vj

?j， V?j⊥Wj Vj⊥W

(12.2.22a) (12.2.22b)

?j?1=V?j⊕W?j Vj?1=Vj⊕Wj，V

由1.7節關于正交基的性質，有

k=?∞∞

?(ω+2kπ)=0

∑Φ(ω+2kπ)Φ

∞

(12.2.23a)

k=?∞

?(ω+2kπ)=0

∑Ψ(ω+2kπ)Ψ

- 362 -

(12.2.23b)

雙正交小波下的快速算法和正交基小波下的快速算法基本相同，區別是在重建時使用的是

?(z)和H?1(z)。具體的分解方程和重建方程是：對偶濾波器H0

aj(n)=aj?1(n)?0(2n)= dj(n)=aj?1(n)?1(2n)=

k=?∞

∑a

∞

j?1

(k)h0(k?2n) （12.2.24a）

k=?∞

∑a

∞

j?1

(k)h1(k?2n) (12.2.24b)

'?(n)+d'(n)?h?(n) aj?1(n)=aj(n)?h0j1

∞

k=?∞

∑a

?(n?2k)+(k)h0

k=?∞

∑d

?(n?2k) (12.2.25) (k)h1

式中aj(n)，dj(n)分別是aj(n)，dj(n)作二插值得到的序列，見圖12.1.1。

12.3 雙正交小波的構造

?(t)的構造，而它們又都源于分解濾波?(t)，φ(t)及φ雙正交小波的構造包括ψ(t)，ψ

?0(z)和H?(z)。(12.1.14)式給出了H1(z)、器H0(z)、H1(z)及用于重建的對偶濾波器H1?0(z)及H(z)的關系，因此，雙正交小波構造的核心問題是H(z)和H?(z)的?(z)和HH0001

構造，這和正交小波的構造過程是一樣的。如同第十一章關于正交小波的討論，在具體給出雙正交小波的構造方法之前，先討論一下有關支撐范圍、消失矩等有關的有關問題。

1．支撐范圍

?(n)都是FIR濾波器，?(t)，?(t)如果h0(n)和h由(12.2.3)和(12.2.4)式，φψ(t)及ψφ(t)，0?(n)的支撐范圍分別是N≤n≤N，N?≤n≤N?，則將都具有有限支撐。若h0(n)和h01212

?(t)的支撐范圍分別是[N,N]和N?,N?，而小波函數ψ(t)和ψ?(t)的支撐范圍φ(t)和φ1212

分別是[8]

[]

- 363 -

?+1N?N?+1??N??N+1N??N+1??N1?N221121

,,2?和??

2222????

??N?)/2 它們的長度都是(N2?N1+N21

2．消失矩

?(ω)在ω=π處零點的數目。由定理?(t)消失矩的數目取決于H0(ω)和Hψ(t)和ψ0?(ω)在ω=π則ψ(t)有p階消失矩。同理，若H11.1，若H0(ω)在ω=π處有p階零點，0?(z)時，應盡量讓它們?(t)有p?階零點，則ψ?階消失矩。因此，在構造H0(z)和H處有p0

在ω=π處有高階的重零點。

3．規則性

此處不再詳細討論，其一般結論是：

a) 由(12.2.4a)式，φ(t)和ψ(t)有著相同的規則性；

b) φ(t)和ψ(t)的規則性隨著H0(ω)在ω=π處零點數的增加而增加； c)

?(t)和ψ?0(ω)在ω=π處零點數的增加而增加； ?(t)的規則性也是隨著Hφ

?0(ω)在ω=π處有不同的零點數，?(t)的規則性則ψ(t)和ψd) 如果H0(ω)和H

也不相同。

4．對稱性

之所以使用雙正交小波，其目的是使H0(z)，H1(z)及其對偶濾波器具有線性相位，同時也使φ(t)和ψ(t)都具有對稱性。除Haar小波外，在正交小波的情況下，上述對稱性

?(n)具有奇數長且以n=0為對稱，則φ(t)和φ?(t)是以是不可能實現的。如果h0(n)，h0?(n)具有偶?(t)是相對位移位中心為對稱的。如果h0(n)，ht=0為對稱的，而ψ(t)和ψ0

?(t)是以t=1/2為中心作對稱，而ψ(t)和數長且以n=1/2為中心作對稱，則φ(t)和φ?(t)以其位移中心作反對稱。 ψ

- 364 -

顯然，若h0(n)，則圖12.1.1中的H0(z)，h1(n)是對稱的，H1(z)都可改記為H0(z)和H1(z)，也即在對aj(n)作分解時無需再將h0(n)和h1(n)翻轉。

?1?1

?(z)的構造 H0(z)及H0

?(z)具有線性相位，因此，它們的頻率響應可表為：由于要求H0(z)及H0

H0(ω)=ejkωH0(ω) ?0(ω)=ejk?ωH?0(ω) H

(12.3.1a) (12.3.1b)

?(n)為這是和Daubechies正交小波的一個主要區別。在實際工作中，我們總選取h0(n)和h0

實值序列。因此，又有

?(ω)=H?(?ω) H0(ω)=H0(?ω)，H00

(12.3.2)

由(12.2.12)式，必有Φ(ω)=Φ(?ω)。同理，我們總是選擇φ(t)為實函數，因此又有

?(t)。 φ(t)=φ(?t)，即尺度函數φ(t)以t=0為對稱。同樣的結論適用于φ

?(t)以t=1/2為對稱，例如，Haar小波的尺度函數即是如此。此時要求若φ(t)和φ

?0(ω)仍是偶對稱，但要增加一個移位因子，即 H0(ω)、H

?0(?ω)=ejωH?0(ω) H0(?ω)=ejωH0(ω)，H

(12.3.3)

?(z)，使其所形成的濾波器組為雙正交濾波器現在的問題是，如何找到合適的H0(z)及H0

?(t)及ψ(t)，ψ?(t)的雙正交條件，即滿足：組，也即保證φ(t)、φ

??0(ω)+H0?(ω+π)H?0(ω+π)=2 H0(ω)H

也即(12.1.16a)式。習慣上將該式兩邊取共軛，即

- 365 -

?0?(ω)+H0(ω+π)H?0?(ω+π)=2 H0(ω)H

(12.3.4)

Cohen，Daubechies給出了不同類型的雙正交小波的結構方法[42, 5]，其要點是：

?(ω)是(12.3.4)式的解，若H(ω)=H(?ω)，則 (1). 令H0(ω)固定，假定H000

1?′?H0(ω)=H0(ω)+H0(?ω)

也是(12.3.4)式的解。將該式代入(12.3.4)式即可驗證。

[]

?(n)是實序列，H(ω)、H?(ω)滿足(12.3.2)式，所以H(ω)、(2). 因為h0(n)、h0000?(ω)均應是實系數的三角多項式，它們可分別寫成 H0

ω??

H0(ω)=2?cos?P0(cosω)

2??

(12.3.5a)

和

ω???0(ω)=2?H?cos?P0(cosω) 2??

2l?

(12.3.5b)

的形式。

?0(ω)按(12.3.3)式的形式對稱，則它們可表為若H0(ω)、H

H0(ω)=2e

?jω/2

ω??cos??

2??

2l+1

P0(cosω)

2l?+1

(12.3.6a)

?0(ω)=2e?jω/2?H?cos?2??

ω?

?0(cosω) P

(12.3.6b)

的形式。

(3). 將(12.3.5)和(12.3.6)式分別代入(12.3.4)式，有

ω?ω???0(cosω)+??0(?cosω)=2 ?cos?P0(cosω)P?sin?P0(?cosω)P

2?2???

(12.3.7)

?；對應(12.3.6)式，k=l+l?+1。對應(12.3.5)式，k=l+l

由于?sin

ω?

?0(cosω)均可以表示為sin2ω的?=(1?cosω)/2，所以P0(cosω)，P

22?

- 366 -

函數，再令

ω?ω???2ω???

P?sin2?=P0?sin2?P? 0?sin

2?2??2???

(12.3.8)

則(12.3.7)式可表示為：

ω?ω?ω?ω?

?cos?P(sin2)+?sin?P(cos2)=2

2?22?2??

(4). 令y=sin

(12.3.9)

，則(12.3.9)式又可表為如下的Bezout方程：

(1?y)P(y)+yP(1?y)=1

(12.3.10)

該方程和(11.4.5)式是一樣的，區別只是P(y)所表示的內容。只要能求出P(y)，由(12.3.8)

?(y)，從而可按(12.3.5)或(12.3.6)式構造出H(z)和H?(z)。式，即可得到P0(y)和P000

(5). (12.3.10)式的解由下式給出：

?k?1+m?mk

(12.3.11) P(y)=∑?y+yR(1?2y) ???mm=0??

這和(11.4.7)式的結果是一樣的，式中R(y)是一奇對稱多項式，即R(y)=?R(1?y)。

k?1

?時， H(z)、H?0(z)以n=0為對稱當 k=l+l0

?+1時，H(z)、H?0(z)以n=1/2為對稱 k=l+l0

?0(y)作不同的分解可得到不同類型的雙正交小波。選用不同的R，對P(y)=P0(y)P

Daubechies重點給出了基于樣條函數的雙正交小波的構造方法，同時也給出了H0(z)、

?0(z)長度接近相等的基于樣條函數的雙正交小波的構造方法，現分別給以討論。 H

12.4 雙正交樣條小波

樣條函數是分段光滑且在連結點處具有一定光滑性的一類函數，它在數值逼近方面獲得了廣泛的應用。其中基數B樣條(Cardinal B-Spline)函數具有最小的支撐范圍且又容易在計算機上實現，因此被認為是構造小波函數的最佳候選者之一。

而m次B樣條函數Nm(t)是一階B樣條函數N1(t)自身作m?1次卷積所得到的，

N1(t)正是Haar小波的尺度函數，即

- 367 -

所以

N1(t)=?

0≤t

其它

(12.4.1)

?t?

N2(t)=N1(t)?N1(t)=?2?t

?0?

0≤t

(12.4.2)

?t2/2?32

t??(3/2)??

N3(t)＝N2(t)?N1(t)＝?4

1?(t?3)2?2?0?

0≤t

1≤t

2≤t

(12.4.3)

依次類推，有

Nm(t)=Nm?1(t)?N1(t)=Nm?2(t)?N1(t)?N1(t)

=N1(t)?N1(t)???N1(t)

(12.4.4)

?(t)等于Battle和Lemarie用上述的樣條函數構造了小波[8]，其思路是令尺度函數φ?(t)往往以t=0為對稱，所以令 Nm(t)。考慮到φ

m=1

?(t)=N(t) φ1

(12.4.5)

m=2

?(t)=N(t+1)=?φ2

?1?t

t≤1

其它

(12.4.6)

m=3

?0.5(t+1)2?1≤t

0≤t

21≤t

?其它0?

?(t)如圖12.4.1所示。由該圖可以看出，N(t)是不連續的，N(t)連續但m=1,2,3時的φ12

一階導數不連續，而N3(t)的一階導數是連續的，曲線已比較光滑。當m增大時，Nm(t)會變得更光滑。

- 368 -

圖12.4.1 由Nm(t+1)得到尺度函數

很容易證明(12.4.4)式所決定的Nm(t)的傅里葉變換是 ?jω

???1?e

????jωm/2?

jω?

=e?sin?ω/2??ω/2?? 而對移位后的φ?(t)=Nm

(t+1)，其傅里葉變換為 m

Φ?(ω)=e?jεω/2

?sin?ω/2??ω/2??

如果m為偶數，式中ε=0，若m為奇數，則式中ε=1。

分析(12.4.6)式，我們發現

φ?(t)=N(t+1)=1

φ?(2t+1)+φ?(2t)+12

φ?(2t?1)滿足我們在第十章所討論的二尺度差分方程。同時，可求出

- 369 -

(12.4.8)

(12.4.9)

(12.4.10)

122ω? lΦ+=+ωπ(2)cos∑332l=?∞

∞

(12.4.11)

是有界的。當m=3時，

?(2t?1)+φ?(2t?2) ?(t)=N(t+1)=φ?(2t+1)+φ?(2t)+φφ3

同樣也滿足二尺度差分方程，同理可求出

4343414

(12.4.12)

8131?Φ(ω+2πl)=+cosω+cos2ω ∑153030l=?∞

∞

(12.4.13)

?(t)可構成一個多分辨率分析。由1.7節關于正交基頻域的性因此，在m=1,2,3時不同的φ

?(t)的整數移位之間不構成正交基。質，由于(12.4.11) 和(12.4.13)式的右邊不等于1，因此φ?(t)“正交化”由(9.8.40)式，我們可將φ，即令

?⊥(ω)=Φ

?(ω)Φ

2??∞?

?∑Φ(ω+2πl)??k=?∞?

(12.4.14)

?(t)，則φ?(t?n)，n∈Z可形成一族正交基。再由第十?⊥(ω)作反變換，得尺度函數φ對Φ

章的方法可得到正交歸一的小波函數。

?(t)作(12.4.14)式的正交化，而直接用N(t)作適在雙正交的情況下，我們可不必對φm

?(t)作為尺度函數，如(12.4.5)～(12.4.7)式所示。這樣選定φ?(t)后，Daubechies當移位后的φ

?0(y)=1。P(y)=P(y)，從而得到了在雙正令(12.3.11)式中的R(1?2y)等于零，并令P0?(z)的系數，即交條件下樣條小波分析濾波器H0(z)和重建濾波器H0

ω??=2l? ?(ω)=2?Hcos??，N0

2??

(12.4.15a)

- 370 -

ω??=2l?+1 ?0(ω)=2e?jω/2?H?cos?，N2??

ω?

Nl+l??1

(12.4.15b)

???+?+llmω1?2

??H0(ω)=2?cos?∑?sin??，N=2l ??22m??m=0????

(12.4.16a)

H0(ω)=2e

?jω/2

ω??

cos??

2??

Nl+l?

?l+l?+m??2ω?m

???sin?，N=2l+1 ∑??2?m??m=0?

(12.4.16b)

(12.4.15a)和 (12.4.15b)分別對應(12.3.5b)式和 (12.3.6b)式，而(12.4.16)式是(12.3.5a)式、(12.3.6a)式和(12.3.11)式的結合。

?0(ω)僅和l?有關，而和l無關；由(12.4.16)式，H(ω)不由(12.4.15)式可以看出，H0

?有關，也即H(ω)取決于N和N?。給定不同的N和N?，就可求但和l有關，而且還和l0?0(ω)。將(12.4.15)式和(12.4.8)及(12.4.9)式相比較可以看出，尺度函數出一對H0(ω)和H

?0(ω)中的N?等價，也即N??1即是得到φ(t)時由φ(t)的傅里葉變換的“階次m”和H

。 N1(t)卷積的次數，或稱之為φ(t)的“階次”

?(t)、ψ(t)和ψ?(z)、φ(t)、φ?組合情況下H0(z)、H?(t)的系數。現給出不同N和N 0

?=1，則必有l?=0，由(12.4.15b)式，有情況1. 令N

H0(ω)=2e

?jω/2

?ejω/2+e?jω/2?2?jω

=1+e??22??

[]

所以

[注]

，

?0(z)=H

(1+z?1) 2

即

?(n)={0.707,0.707} h0

令N=1，則必有l=0，由(12.4.16b)式，有

- 371 -

jω/2

+e?jω/2?0?m??1?cosω??jω/2?e?H0(ω)=2e??? ∑????22??m=0?m???

(1+ejω) 2

=e?jω，故和本書定義的z=ejω有區別。

[注]：Daubechies在文獻[5]中令z

所以即

H0(z)=

(1+z?1) 2

h0(n)={0.707,0.707}

?(t)即是Haar尺度函數，即φ?(t)=1，對0≤t≤1，其余為零。又?=1時的尺度函數φ在N

?(t)。 ?0(z)=H0(z)，由(12.2.12b)式，必有φ(t)=φ?=1時的H由于在N=N

易知在該情況下的小波函數即是Haar小波，即

?(t)=??1 ψ(t)=ψ

?0?

0≤t

我們知道， Haar小波屬正交小波，即DB1，但因為它是對稱的，故又屬雙正交小波。

?(t)，?(t)，?(t)分別為1φ?(t)。我們記在該情況下的φ(t)，φψ(t)和ψ1.1ψ(t)及1.1ψ1.1φ(t)，

?，后面的1代表N，以下均相同。前面的1代表N

?=1的情況下，我們再令N=3，則必有l=1，由(12.4.16b)式，有在N

jω/2

+e?jω/2??jω/2?eH0(ω)=e??2??

?1+m??1?cosm?

?? ∑?m???2?m=0???

2jω

=e+3+e?jω+e?j2ω

[]

?4?ejω?e?jω??? ?2??

所以

11111?1?

H0(z)=2??z2+z++z?1+z?2?z?3?

16221616??16

?(t)不變，1.3φ(t)，1.3ψ(t)及1.3ψ?仍為1，所以， 1φ?(t)可由上一節的公式推出。因為N

但MATLAB中的wavefun.m文件可用來產生這些函數，如圖12.4.2所示。

- 372 -

?=2，則l?=1，由(12.4.5a)式，有情況2：令N

?0(ω)=2(cosω)2=2(ejω+2+e?jω) H

?0(z)=H

(z+2+z?1) 4

再令N=2，則l=1，由(12.4.16a)式，有

?1+m??2ω?

H0(ω)=cos∑?m???sin2? 2m=0?????

2ω

即

H0(z)=

2jω

(e+e?jω+2)(4?ejω?e?jω) 8

1131?1?

2??z2+z++z?1?z?2?

8444?8?

?0(z)及H(z)，?和N的組合下的H按此方法類推，讀者不難得出在不同N如表12.4.10?和N的合適組合是：所示。N

?=1， N

?=2， N?=3， N

N=1,3,5 N=2,4,6,8 N=1,3,5,7,9

?0(z)和H0(z)，特別是H0(z)，若不考慮前面的2，其分母的由該表可以看出，H

?(t)都?值下，φ系數都是2的整次冪，因此有利于在計算機上快速實現。此外，在不同的N

?(t)，ψ(t)及是精確已知的，這些都是樣條點雙正交小波的優點。在不同組合下的φ(t)，φ

?=1，?(t)如圖12.4.2~12.4.6所示。其中圖12.4.2給出的是NN=3和5時的φ(t)及ψ(t)。ψ

?=1，N=3，圖中左邊標的“bior 1.3 phi-D”，即是指雙正交小波的尺度函數φ(t)，對應N

“D”代表分解，右邊圖標的“psi”指的是“ψ”。以下各圖的標法均相同。另外，圖中的橫坐標是MATLAB按正的坐標求出的，這和12.3節所給出的支撐范圍有區別。

- 373 -

?=1，N=3,5時用于分解的φ(t)和ψ(t) 圖12.4.2 N

?(t)(圖中標為phi-R，R代?=1，N?=2，N?=3和N?=4時的φ圖12.4.5給出的是N

?(t)即是Haar尺度函數，它即是圖12.4.1的(a)圖。而N?=1時的φ?=2表重建)。顯然，N

?(t)即是圖12.4.1(b)，N?(t)即是圖12.4.1(c)。?=3時的φ時的φ它們分別是N1(t)，N2(t)和?(t)應是N(t)。注意，φ?(t)只和N?=4時的φ?有關，而和N無關。 N3(t)。顯然，圖中N4

?=1，?=2，N=2；N?=3，N=3和N?=3，N=5圖12.4.6給出的是N N=3；N?有關，而且也和N有關。

?(t)。顯然，ψ?(t)不僅和N時的ψ

- 374 -

?=3，N=3,5,7,9時用于分解的φ(t)和ψ(t) 圖12.4.4，N

- 376 -

=1， N=3；N=2，N=2；N=3，N=3和N=3，N=5時用圖12.4.6，N

?(t) 于重建的ψ

?=1,2,3時N取不同值時H?0(z)/2，H0(z)/2的系數，由于表12.4.1給出了在N

?=2，N=6和8，N?=3，N=5,7和9時的H0(z)的系數過長，故表中沒有列入，在N

詳細數據可參考文獻[5]。

?0(z)及H0(z)的長度差別甚大，由以上討論可知，按(12.4.15)或(12.4.16)式構造出的H

?(n)的長度決定了h(n)的長度。這樣，且N越大，這一差別越明顯。由(12.1.15a)式，h01

一對分解濾波器H0(z)和H1(z)的長度將會有著明顯的不同。這在一些應用中將會帶來不便和麻煩，特別是在語音和圖像處理方面。

?0(z)和H(z)長度不同的原因在于對P(y)=P(y)P?0(y)的分解，即(12.4.15)和H00

(12.4.16)式是在假定P0(y)=1，P(y)=P0(y)情況下得到的。若對P(y)作另外形式的分解，即

?k?1+m?m

???P(y)=∑??m??y=P0(y)P0(y)，k=l+l，P0(y)≠1 (12.4.17)

m=0??

k?1

?0(y)分別代入(12.3.5)和(12.3.6)式，則可得到保證在雙正交條件下且長度然后將P0(y)和P

?(z)和H(z)。Daubechies令[5] 接近的H00

P(y)=A

∏(y?yi)∏(y2?2Re[zi]y+yi)

j=1

J1J2

(12.4.18)

表12.4.1

?(z)，H(z)的系數 H00

- 377 -

式中yj(j=1~J1)為P(y)的一階實根，yi,i=1~J2是P(y)的共扼復根，然后在保證

?(y)系數始終為實數的情況下，考慮yj，y對P(y)和P?(y)的分配。 P0(y)、P00i0

?=4，N=4，即l?=l=2的情況下，有在N

?3+m?m?3+m??2ω?

P(y)=∑??m??y=∑??m???sin2?

?m=0?m=0????

即

P(z)=?5z3+40z2?131z+208?131z?1+40z?2?5z?3/16

[]

它有兩個實根，即z1=0.3289，z2=3.0470，兩對共扼復根，即z3,4=0.2841±j0.2432，

- 378 -

z5,6=2.0311±j1.7390。又由于

?cos?=?cos?

2?2???

令z=e

jω

ω?

2l?

?ejω/2+e?jω/2??ejω+2+e?jω?

=?=???24????

，則上式等效為z+4z+6+4z

[

?0(z)，它即屬于H也屬于H0(z)。+z?2/16。

]

?(z)，則H?(z)的長度為7。將余下的z3,4和z5,6賦若將上面分解出的零點z1和z2賦給H00

給H0(z)，則H0(z)的長度為9。這樣，二者的長度基本相等，即滿足了(12.3.9)式，且又具有對稱性。

?=5，N=5時，?=4，N=4存在兩種分解方式。相應的系數如表12.4.2所示。N當N

?，φ，ψ?，φ，ψ?=N=5時的φ?和ψ如圖12.4.7所示，N?和ψ如圖12.4.8所示。時的φ

?(t)，ψ?,，N=4時用于分解的φ(t),ψ(t)及用于重建的φ?(t) 圖12.7.7 N

以上除雙正交小波外，Daubechies還構造了接近于正交基的雙正交基函數，詳細內容見文獻[5]，此處不再討論。

- 379 -

?(t)，ψ?,，N=5時用于分解的φ(t),ψ(t)及用于重建的φ?(t) 圖12.4.8 N

表11.4.2 具有接近長度的雙正交小波對應的濾波器系數

- 380 -

12.5 正交小波包

第十章討論的多分辨率分析將L2(R)空間逐層進行分解，如將V0分成V1和W1，再將V1分成V2和W2,?，其中V0=V1⊕W1，V1=V2⊕W2，及V0=⊕+Wj。對同一尺度j，Vj

j∈Z

是低頻空間，Wj是高頻空間，因此，信號x(t)在Vj中的展開系數aj(n)反映了信號的“概貌”，而在Wj中的展開系數dj(n)反映了信號的“細節”，也即x(t)的小波系數。由于這種分解具有恒Q性質，即在高頻端可獲得很好的時域分辨率而在低頻端可獲得很好的頻域分辨率，因此，這種分解相對均勻濾波器組和短時傅里葉變換有著許多突出的優點，因此獲得了廣泛的應用。

但這種分解僅是將Vj逐級往下分解。而對Wj不再作分解。將W1和W2相比，顯然，W1對應最好的時域分辨率，但是有著最差的頻域分辨率。這在既想得到好的時域分辨率又想得到好的頻域分辨率的場合是不能滿足需要的。當然，在任何情況下，時域－頻域分辨率之間都要受到不定原理的制約，但是，我們畢竟可根據工作的需要在二者之間取得最好的折中。例如，在多分辨率分解的基礎上，我們可將Wj空間再作分解，如圖12.5.1所示。

j=0j=1j=2

j=3

圖12.5.1 V0空間的逐級分解

在該圖的分解中，任取一組空間進行組合，如果這一組空間：①能將空間V0覆蓋；②

- 381 -

相互之間不重合，則稱這一組空間中的正交歸一基的集合構造了一個小波包(wavelet packet)。顯然，小波包的選擇不是唯一的，也即對信號分解的方式不是唯一的。如在圖12.5.1中，我們可選擇

① V31，W31，V32，W32，V33，W33，V34，W34； ② V31，W31，W21，V22，W22； ③ V1，V22，W22

等不同空間來組合，它們都可覆蓋V0，相互之間又不重合。如何決定最佳的空間組合及尋找這些空間中的正交歸一基便是小波包中的主要研究內容。

圖12.5.1的空間分解可用圖12.5.2的濾波器組來實現。注意，在實現各級的卷積時，圖中濾波器H0,H1的系數要事先翻轉，即將hi(n)變成hi(?n),i=0,1 。

圖12.5.2 圖12.5.1的濾波器組實現

由該圖可以看出，基于小波包的信號分解也是用一對濾波器H0(z)和H1(z)來實現的。在第十章的多分辨率分析中，我們詳細討論和論證了在Vj和Wj中分別存在正交歸一基φj,k(t)和ψj,k(t)，它們和共軛正交鏡像濾波器組H0(z)、H1(z)有如下關系：

φ?j?2∞

??t??=2∑h0(k)φ?j?1?k? ??2?k=?∞

(12.5.1a)

- 382 -

?tψ?j?2∞

??t?=φhk2()??j?1?k? ∑1??2?k=?∞

(12.5.1b)

當j=0時，有

φ(t)=2∑h0(k)φ(2t?k)

k=?∞

∞

(12.5.2a) (12.5.2b)

ψ(t)=2∑h1(k)φ(2t?k)

k=?∞

∞

此即二尺度差分方程。式中，h0(k)、h1(k)有如下關系：

h1(k)=(?1)kh0(1?k)

(12.5.3)

在上述的多分辨率分析中，當將Vj分解成Vj+1和Wj+1時，Vj中的正交歸一基基φj,k(t)產生了兩個正交歸一基φj+1,k(t)和ψj+1,k(t)，它們分別屬于Vj+1和Wj+1，生成辦法即是(12.5.1)式的二尺度差分方程。由此我們可以設想，在圖12.5.1中，將W1分解生成W21和W22時，

W1中的正交歸一基ψ1,k(t)也將會依照二尺度差分方程分別生成W21和W22中的正交歸一

基。如果這一結論正確，則圖12.5.1中的各個子空間將都存在正交歸一基。文獻[8]證明了這個一般結論。該結論可由下述定理來描述：

定理12.5

令θj,k(t)是空間Uj中的正交歸一基，h0(k)，h1(k)是滿足(12.5.3)式的

一對共軛正交濾波器，令

0j+1

(t)=

k=?∞

∑h(k)θ(2

∞

t?k)

(12.5.4a)

(12.5.4b)

1j+1

(t)=

k=?∞

∑h(k)θ(2

∞

t?k)

則

{θ0j+1,k(t),θj+1,k(t)},k∈Z

是Uj中的正交歸一基。

該定理的證明見文獻[8]。顯然，令Uj，Uj分別是θj+1,k(t)和θj+1,k(t)所產生的空間。自然有

- 383 -

U0 j+1⊕Uj+1=Uj+1

(12.5.5)

在圖12.5.1中，V0中有正交基φ0,k(t)，V1中有正交基φ1,k(t)，W1中有正交基ψ1,k(t)。按定理12.5，由ψ1,k(t)可生成W21，W22中的正交基。依次類推，我們可得到圖12.5.1中任一子空間中的正交歸一基。

對于給定的尺度j，在圖12.5.1中，共有2j個子空間。為了討論的方便，我們將圖中的子空間統一標記為Wj，Wj,?，Wj

2j?1

。如j=3，共有W3，W3,?，W3個子空間。

2p+1

017

顯然，Wj對應每一次剖分的低頻部分，而Wj

對應其高頻部分，p=0,1,?,2

j?1

?1。

令每一個子空間的正交歸一基為ψj,k(t)。由(12.5.1) 及(12.5.4)式，有

ψψ

?(j+1)

t)=2

k=?∞

2p+1

∑h(k)ψ(2

0∞

k=?∞

∞

t?k)

(12.5.6a) (12.5.6b) (12.5.7a)

?(j+1)

t)=2

∑h(k)ψ(2

t?k)

及

2h0(k)=2p(2?(j+1)t),ψp(2?jt?k)

2h1(k)=2p+1(2?(j+1)t),ψp(2?jt?k)

(12.5.7b)

由(12.5.5)式，有

2p+1Wj2+p=Wjp 1⊕Wj+1

(12.5.8)

顯然，當p=0時，W0=W0即是空間V0，基函數ψp(2?jt?k)=ψ0(t?k)即是V0中的正交歸一基φ(t?k)，也即尺度函數。由圖12.5.1也可看出，Wj即是我們在第十章討論過的多分辨率分析中的空間Wj，因此Wj中的正交歸一基ψ1(2?jt?k)即是Wj中的正交歸一基ψj,k(t)，也即小波函數。由(12.5.6)式，令j=0，則

- 384 -

ψψ

(t)=(t)=

k=?∞

2p+1

∑h(k)ψ(2t?k)

0k=?∞

∞

(12.5.9a) (12.5.9b)

∑h(k)ψ(2t?k)

∞

按照上述思路，只要我們給定了V0中的尺度函數φ(t)及相應的小波函數ψ(t)，由(12.5.6)，或(12.5.9)式即可遞推地求出小波包分解中各個子空間中的基函數ψj,k(t)和ψj,k(t)。

例12.5.1 由(12.5.6)式，有

對Harr小波，h0(0)=h0(1)=

2p+1

111，h1(0)=，h1(1)=? 222

j+1

(t)=

2∑h0(k)ψjp(t?2jk)

k=0

2p+1j+1

(t)=

2∑h1(k)ψjp(t?2jk)

k=0

當j=0時，

(2t)+ψ00(2t?1) ψ10(t)=ψ0

(t)=ψ00(2t)?ψ00(2t?1) ψ1

當j=1時，

ψ2(t)=ψ1(2t)+ψ1(2t?1)

(t)=ψ10(2t)?ψ10(2t?1) ψ22

(t)=ψ11(2t)+ψ11(2t?1) ψ23

(t)=ψ11(2t)?ψ11(2t?1) ψ2

103

ψ10(t)，ψ1(t)的寬度都是2T，而ψ2(t)~ψ2(t)的寬度為4T。j=1,2,3時的ψjp(t)分別

示于圖12.5.3a，b和c。

- 385 -

圖12.5.3

(a) ψ10(t),ψ1(t)

由Harr小波生成的小波包

(b) ψ2(t)~ψ2(t)

例12.5.2

令V0空間中的φ(t)為“DB5”小波對應的尺度函數，當j=3時，求出

W30~W37中的小波基ψ3(t)~ψ3(t)如圖12.5.4所示。

- 386 -

圖12.5.4 j=3時，由“DB5”小波生成的ψ3(t)~ψ3(t)

上述兩例的分解過程可以形象地表為一個二進制的樹結構，如圖12.5.5所示。圖中結點處的數值即為(j,p)。MATLAB中的plottree命令文件可畫出此結構圖。

令x(t)∈L2(R)，則

a0(n)=x(t),φ(t?n)=x(t),ψ0(t?n)

(12.5.10)

是x(t)在空間V0=W0中的“概貌”。我們把它當作一個樹狀濾波器組的輸入信號。在小

- 387 -

波

圖12.5.5 j=3時的二進制樹結構圖

包的分解中，對任意的結點(j,p)，則

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(2,1)

(2,2)

(1,1)

)

(2,3)

(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)

djp(n)=x(t),ψjp(t)

為x(t)在該結點(或子空間Wj)處的小波包系數，它是x(t)和基函數ψ(2t?n)作內積的結果。下述定理給出了小波包系數的快速計算方法。

定理12.6

在小波包的分解中，在結點(j+1,p)處的小波包系數由下式給出

2pj+1

pp?j

(k)=d(k)?0(2k)=

m=?∞

∑d

∞

(m)h0(m?2k)

(12.5.11a)

2p+1j+1

(k)=d(k)?1(2k)=

m=?∞

∑d

(m)h1(m?2k)

(12.5.11b)

而在結點(j,p)處的小波包系數dj可由下式重建：

?p?2p+1

?+djp(k)=d2khkd()()j+1j+1(k)?h1(k) 0?2p+1

2p+1

(12.5.12)

式中dj+1(k)和dj+1(k)分別是dj+1(k)和dj+1(k)每兩個點插入一個零后所得到的序列。

該定理的證明類似于定理10.6和定理10.7，此處不再討論。j=2時的分解與重建如

?2p

- 388 -

圖12.5.6a和b所示。圖中d0(n)即是a0(n)。在圖（a）中，當實現各級的卷積時，圖中濾波器H0,H1的系數同樣要事先翻轉，即將hi(n)變成hi(?n),i=0,1 。

122232

圖12.5.6 基于濾波器組的小波包分解與重建

（a）小波包分解, (b) 小波包重建

例12.5.3

信號x(t)是MATLAB中所給的信號noisdopp.mat，如圖12.5.7a的第一

個圖所示。令j=3，我們可得到對x(t)作小波包分解后的各個子空間的系數dj。由此可看出信號x(t)在各個頻帶上的時域行為。圖中所用小波均是“DB5”正交小波。圖a對應

j=1,p=0，圖b對應j=2,p=0,1，圖c對應j=3,p=0,1,2,3。

圖12.5.7信號的小波包分解，

0710123

(a) 原信號x(t)，d10和d1；(b) d2，d2，d2及d2；(c) d3。 ~d3

由該圖可以看出，當j=1時，d1(n)反映了x(t)的概貌，它相當于多分辨率分析中

的V1空間的a1(n)。而d1(n)相當于W1空間的d1(n)，它是x(t)中的噪聲分量，也即高頻

成分；當j=2時，d2(n)仍是信號的概貌，但比d1(n)含有較少的噪聲，d2(n)，d2(n)及d3(n)也屬于噪聲分量，當j=3時，反映概貌的d3(n)已幾乎不含噪聲，d3~d3屬于噪聲成分，但其幅值已很小。

上述分解是將j=1,2,及3時的分解系數全部求出。實際上，根據小波包的定義，我們只需取部分互不重迭且又能覆蓋V0的子空間即可，這即是所謂“最佳小波包”的選擇問題。一個最佳小波包的選擇取決于三個因素：

(1) 信號本身的性質； (2) 信號分解的目的； (3) “最佳”原則的選擇。

顯然，一個最佳的小波包應使信號x(t)在其各個子空間中的投影(即dj)盡可能地大。至于說由哪幾個空間組成一個最佳的小波包，顯然取決于信號x(t)能量隨頻率的分布。從應用的角度看，分解的目的若是為了去噪，那就應舍棄噪聲能量較大的子空間，選擇不但信號能量大而且噪聲也小的空間；分解的目的若是為了數據的壓縮，則應選擇信號能量集中的空間。但是，無論何種目的，在決定“最佳小波包”的過程中，我們總要確定一個“代價函數”，從而使在各種小波包選擇的可能中，所選擇的一種具有最小的代價函數。

至今，人們已提出了代價函數的多種選擇方法，如“編碼率－失真(R－D)指標”[21]，“范數(Norm)”判據等。若令xi為信號x(t)在某一子空間正交基“Shannon熵判據”[21]，上的投影，則定義

0012

E1(x)=?∑xi2lgxi2

(12.5.13)

為x的Shannon熵，定義

E2(x)=∑xi

=xp,1≤p

- 391 -

(12.5.14)

為x的l范數。此外，還可定義，

E3(x)=∑logxi2

(12.5.15)

為x的對數能量熵。這樣，對給定的信號x，我們可求出它在每一個子空間中的“熵”或范數，并把它們作為代價函數來決定小波包的選擇。文獻[21]以j=3為例介紹了一種自底向頂的快速搜索方法。如圖12.5.8所示。上方的空間為“母空間”，下方的空間為“子空間”。在每一個空間都標上了由(12.5.13)～(12.5.15)式中任一式求出的代價函數。如果子空間的代價總和小于母空間的代價，這說明這一分解是值得的，因此，該子空間應預以保留。反之，若子空間的代價總和大于母空間的代價，則這一分解是不適當的，應加以放棄，即保留“母空間”。

由于W30加上W31中的代價為3，小于W20的代價11，所以由W20至W30和W31的分解應加以保留；W3加上W3的代價為7，小于W2的代價12，所以這一分解也應保留。同理，

W34加W35的代價為11，小于W22的代價13，應加以保留，但W36加W37的代價為15，大

于W2的代價14，因此這一分解應該放棄。依次往上類推，最后選中的應是子空間W3，W3，

。其中，選中的W3，W3W32，W33及W11，由它們構成在所給定意義上最佳的“小波包”

301

和W2由于可由W1所覆蓋，故可以放棄。

w03w23w33w43w53w63w73

圖12.5.8

MATLAB中的wavelet Toolbox中有著豐富的有關小波包的命令，其中

Wentropy.m：用來計算所給定信號在各個子空間分解后的熵；

Besttree.m：在指定所用的熵的基礎上用來確定最佳小波包的選擇。實際上給出的是最佳樹的選擇；

Wpdec.m：對給定的信號x(t)和熵，確定分解的樹結構和分解后的數據結構； Wpcoef.m：由上面的數據結構得到在各子空間的分解系數(即dj)； Wprec.m：由上述分解系數重建信號x(t)。