均值不等式證明

均值不等式證明

一、

已知x,y為正實數，且x+y=1 求證

xy+1/xy≥17/4

1=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥2

當且僅當xy=1/xy時取等

也就是xy=1時

畫出xy+1/xy圖像得

01時，單調增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得證

繼續追問：

拜托，用單調性誰不會，讓你用均值定理來證

補充回答：

我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的

法二：

證xy+1/xy≥17/4

即證4(xy)-17xy+4≥0

即證(4xy-1)(xy-4)≥0

即證xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈R+，x+y=1

顯然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得證

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4xy-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!

二、

已知a>b>c，求證：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、

1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、幾何平均數：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均數：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即為均值不等式。

概念：

1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均數：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、… 、an∈R +，當且僅當a1=a2= … =an時勸=”號

均值不等式的一般形式：設函數D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(當r不等于0時);

(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

則有：當r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]

方法很多，數學歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。

原題等價于：((a1+a2+…+an )/n)^n≥a1a2…an。

當n=2時易證;

假設當n=k時命題成立，即

((a1+a2+…+ak )/k)^k≥a1a2…ak。那么當n=k+1時，不妨設a(k+1)是a1，a2 ，…，a(k+1)中最大者，則

k a(k+1)≥a1+a2+…+ak。

設s=a1+a2+…+ak，

{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)

={s/k+[k a(k+1)-s]/[k(k+1)]}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)-s]/k(k+1) 用引理

=(s/k)^k* a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設

下面介紹個好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數f(x)，x1,x2,...xn是函數f(x)在區間(a,b)內的任意n個點，

則有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]

設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數

所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。

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