比較法證明不等式

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段;③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的`結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關系，就是判定商大于1或小于1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/2

因a^a*b^b=(ab)^ab,

又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c屬于(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.

用極限法取2或-2，結果大于等于-4，因屬于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，結果就只能大于-4

下面這個方法算不算“比較法”啊?

作差 M = ab+bc+ca - (-4) = ab+bc+ca+4

構造函數 M = f(c) = (a+b)c + ab+4

這是關于 c 的一次函數(或常函數)，

在 cOM 坐標系內，其圖象是直線，

而 f(-2) = -2(a+b) + ab+4 = (a-2)(b-2) > 0(因為 a<2, b<2)

f(2) = 2(a+b) + ab+4 = (a+2)(b+2) > 0(因為 a>-2, b>-2)

所以 函數 f(c) 在 c∈(-2, 2) 上總有 f(c) > 0

即 M > 0

即 ab+bc+ca+4 > 0

所以 ab+bc+ca > -4

設x,y∈R,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)≥0

(2y-1)≥0

x-2x+1≥0

4y-4x+1≥0

x-2x+1+4y-4x+1≥0

x+4y+2≥2x+4x

除了比較法還有：

求出中間函數的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x為R，

y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨于無窮校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<1

原題得到證明

比較法：

①作差比較，要點是：作差——變形——判斷。

這種比較法是普遍適用的，是無條件的。

根據a-b>0 a>b，欲證a>b只需證a-b>0;

②作商比較，要點是：作商——變形——判斷。

這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。

當b>0時，a>b >1。

比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據題設可轉化為等價問題的比較(如冪、方根等)

綜合法是從已知數量與已知數量的關系入手，逐步分析已知數量與未知數量的關系，一直到求出未知數量的解題方法。

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