高中幾何證明

一、

已知平行四邊形ABCD，過ABC三點的圓O1，分別交AD.BD于E.F、過CDF三點的圓O2交AD于G 。設圓O1.O2半徑分別為R,r。

1.求證AC^2=AG*AD

2.AD:EG=R^2:r^2

連接AC、GC。利用兩個圓轉化角的關系，

∠AGC = 180 - ∠DGC = 180 - ∠DFC = ∠BFC = ∠BAC = ∠ACD

于是兩個三角形ACG和ADC相似。第一問由此立得。

同樣利用上述相似，∠GCA = ∠ADC = ∠ABC。于是由“弦切角等于圓周角”，說明GC與圓O1相切。于是GC^2 = GE*GA。

在兩個圓中利用正弦定理，不難發現R/r = BC/CD = AD/CD。此時

AD/EG = AG*AD/AG*EG = AC^2/GC^2 = (AC/GC)^2 = (AD/CD)^2

最后一個等式仍然源于前述相似

二、

因為不能上傳圖片，，所以口敘述一下，，高手們都可以想象出來吧

在一個圓的圓上選不重合的四點，，，連接成一個非平行四邊形非梯形的四邊形，，也就是內切四邊形吧，，然后延長其中兩條邊，，交于點A，，再延長另外兩條邊交于點B，，然后過A點做圓的兩條切線，，切線交圓于點C和D，，怎樣證明B,C,D共線?

用調和點列的方法較為容易 但方法的掌握不在高中的要求內

下面采用簡單的定理來證明 比較麻煩

首先，設圓內接四邊形為四邊形ABCD,AB與DC交于點P，AD與BC交于點Q，過點Q做圓O的兩條切線,切點分別為點E和點F.

再設AC與BD交于點R,下面來證明一個更強的結論：P、F、R、E共線.

設OQ交EF于L,PR交AQ于M,EF交AQ于點M',連結OF、OE、AL、OA、OD，并延長AL到S.

由Menelaus定理，

AB/BP×PC/CD×DQ/QA=1 -------------------------------------------------------------------------------1

由Ceva定理，

AB/BP×PC/CD×DM/MA=1 -------------------------------------------------------------------------------2

由1、2，

DM/MA=DQ/QA --------------------------------------------------------------------------------*

另一方面，

由射影定理，

QE^2=QL×QO ----------------------------------------------------------------------------------------------3

由切割線定理，

QE^2=QD×QA ----------------------------------------------------------------------------------------------4

由3，4，

QL*QO=QD*QA

所以O，L，D，A四點共圓

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