敘述并證明余弦定理

敘述并證明余弦定理

余弦定理(第二余弦定理)余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。

直角三角形的一個銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個銳角的余弦值

編輯本段余弦定理性質

對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質——

a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)

cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

(物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到)

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

設△ABC的.三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有

a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

編輯本段余弦定理證明

平面向量證法

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗體字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數公式)

再拆開，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

即 CosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可證其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

平面幾何證法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2

b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

cosB=(c2+a2-b2)/2ac

編輯本段作用

(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個內角

(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊。

(3)已知三角形兩邊及其一邊對角，可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式，推導過程略。)

判定定理一(兩根判別法)：

若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個數，c1為c的表達式中根號前取加號的值，c2為c的表達式中根號前取

減號的值

①若m(c1,c2)=2,則有兩解

②若m(c1,c2)=1,則有一解

③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。

判定定理二(角邊判別法):

一當a>bsinA時

①當b>a且cosA>0(即A為銳角)時，則有兩解

②當b>a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)

③當b=a且cosA>0(即A為銳角)時，則有一解

④當b=a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)

⑤當b 二當a=bsinA時

①當cosA>0(即A為銳角)時,則有一解

②當cosA<=0(即A為直角或鈍角)時，則有零解(即無解)

三當a 例如：已知△ABC的三邊之比為5：4：3，求最大的內角。

解 設三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大邊對大角可知：∠A為最大的角。由余弦定理

cos A=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之長。

解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7. (注：cos60=0.5,可以用計算器算)

以上兩個小例子簡單說明了余弦定理的作用。

編輯本段其他

從余弦定理和余弦函數的性質可以看出，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角一定是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角。即，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。同時，還可以用余弦定理求三角形邊長取值范圍。

解三角形時，除了用到余弦定理外還常用正弦定理。

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