弦切角定理證明方法

弦切角定理證明方法

(1)連OC、OA，則有OC⊥CD于點C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。進而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A與AB重合，即AB為⊙O的直徑。

(2)連接BC，且作CE⊥AB于點E。立即可得△ABC為Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC=AB*AD。

第一題重新證明如下：

首先證明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA 。

連接OA、OC、BC，則有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,

所以∠ACD=(1/2)∠AOC，

而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圓周角等于圓心角的一半)，

得∠ACD=∠CBA 。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，

所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，進而AB為⊙O的直徑。

2

證明一：設圓心為O，連接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓周角)

證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.

求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,

∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內部.

過A作直徑AD交⊙O于D,

若在優弧m所對的劣弧上有一點E

那么，連接EC、ED、EA

則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴ ∠CEA=∠CAB

∴ (弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,

過A作直徑AD交⊙O于D

那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長.

解：連結OA，OB.

∵在Rt△ABC中, ∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F.

求證：EF∥BC.

證明：連DF.

AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如圖，ΔABC內接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

證明：∵AB是⊙O直徑

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，

即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD.

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