數學高考試題及答案
一、選擇題
1 .(2013年高考重慶卷(文))某幾何體的三視圖如題(8)所示,則該幾何體的表面積為
()
A. B. C. D.
【答案】D
2 .(2013年高考課標Ⅱ卷(文))一個四面體的頂點在空間直角坐標系 中的坐標分別是 ,畫該四面體三視圖中的正視圖時,以 平面為投影面,則得到正視圖可以為
( )
A. B. C. D.
【答案】A
3 .(2013年高考課標Ⅰ卷(文))某幾何函數的三視圖如圖所示,
則該幾何的體積為()
A. B. C. D.
【答案】A
4 .(2013年高考大綱卷(文))已知正四棱錐
的正弦值等于()
A. B. C. D.
【答案】A
5 .(2013年高考四川卷(文))一個幾何體的三視圖如圖所示,
則該幾何體可以是()
A.棱柱 B.棱臺 C.圓柱 D.圓臺
【答案】D
6 .(2013年高考浙江卷(文))已知某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,
則該幾何體的體積是()
A.108cm3 B.100 cm3 C.92cm3 D.84cm3
【答案】B
7 .(2013年高考北京卷(文))如圖,在正方體 中, 為
對角線 的三等分點,則 到各頂點的距離的不同取值有 ()
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
【答案】B
8 .(2013年高考廣東卷(文))某三棱錐的三視圖如圖 2所示,則該三棱錐
的體積是()
A. B. C. D.
【答案】B
9 .(2013年高考湖南(文))已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個面積為1
的正方形,側視圖是一個面積為 的矩形,則該正方體的正視圖的面積等于()
A. B.1 C. D.
【答案】D
10.(2013年高考浙江卷(文))設m.n是兩條不同的直線,α.β是兩個不同的平面, ()
A.若m‖α,n‖α,則m‖n B.若m‖α,m‖β,則α‖β
C.若m‖n,m⊥α,則n⊥α D.若m‖α,α⊥β,則m⊥β
【答案】C
11.(2013年高考遼寧卷(文))已知三棱柱 的6個頂點都在球 的球面上,若 , , ,則球 的半徑為 ()
A. B. C. D.
【答案】C
12.(2013年高考廣東卷(文))設 為直線, 是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 ()
A.若 , ,則 B.若 , ,則
C.若 , ,則 D.若 , ,則
【答案】B
13.(2013年高考山東卷(文 ))一個四棱錐的側棱長都相等,底面是正方形,其正(主)
視圖如右圖所示該四棱錐側面積和體積分別是()
A. B. C. D.8,8
【答案】B
14.(2013年高考江西卷(文))一幾何體的三視圖如右所示,則該幾何體
的體積為 ()
A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π
【答案】A
二、填空題
15.(2013年高考課標Ⅱ卷(文))已知正四棱錐O-ABCD的體積為 ,底面
邊長為 ,則以O為球心,OA為半徑的球的表面積為________.
【答案】
16.(2013年高考湖北卷(文))我國古代數學 名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸,則平地降雨量是__________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)
【答案】3
17.(2013年高考課標Ⅰ卷(文))已知 是球 的直徑 上一點, , 平面 , 為垂足, 截球 所得截面的面積為 ,則球 的表面積為_______.
【答案】 ;
18.(2013年高考北京卷(文))某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的體積為__________.
【答案】3
19.(2013年高考陜西卷(文))某幾何體的三視圖如圖所示, 則其表面積為________.
【答案】
20.(2013年高考大綱卷(文))已知圓 和圓 是球 的大圓和小圓,其公共弦長等于球 的半徑, 則球 的表面積等于______.
【答案】
21.(2013年上海高考數學試題(文科))已知圓柱 的母線長為 ,底面半徑為 , 是上地面圓心, 、 是下底面圓周上兩個不同的點, 是母線,如圖.若 直線 與 所成角的大小為 ,則 ________.
【答案】
22.(2013年高考天津卷(文))已知一個正方體的所有頂點在一個球面上. 若球的體積為 , 則正方體的棱長為 ______.
【答案】
23.(2013年高考遼寧卷(文))某幾何體的三視圖如圖所示,則該
幾何體的體積是____________.
【答案】
24.(2013年高考江西卷(文))如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同
一平面α上,且AB//CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面個數為_____________.
【答案】4
25.(2013年高考安徽(文))如圖,正方體
的棱長為1, 為 的中點,
為 線段 上的動點,過點 的平
面截該正方體所得的截面記為 ,則下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
① 當 時, 為四邊形;②當 時, 為等腰梯形;
③當 時, 與 的交點 滿足 ;
④當 時, 為六邊形;⑤當 時, 的面積為 .
【答案】①②③⑤
三、解答題
26.(2013年高考遼寧卷(文))如圖,
(I)求證:
(II)設
【答案】
27.(2013年高考浙江卷(文))如圖,在在四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G為線段PC上的點.
(Ⅰ)證明:BD⊥面PAC ;
(Ⅱ)若G是PC的中點,求DG與APC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G滿足PC⊥面BGD,求PGGC 的值.
【答案】解:證明:(Ⅰ)由已知得三角形 是等腰三角形,且底角等于30°,且 ,所以;、 ,又因為 ;
(Ⅱ)設 ,由(1)知 ,連接 ,所以 與面 所成的角是 ,由已知及(1)知: , ,所以 與面 所成的角的正切值是 ;
(Ⅲ)由已知得到: ,因為 ,在 中, ,設
28.(2013年高考陜西卷(文))如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 證明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.
【答案】解: (Ⅰ) 設 .
.(證畢)
(Ⅱ) .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
所以, .
29.(2013年高考福建卷(文))如圖,在四棱錐 中, , , ,
(1)當正視圖方向與向量 的方向相同時,畫出四棱錐 的正視圖.
(要求標出尺寸,并畫出演算過程);
(2)若 為 的中點,求證: ;
(3)求三棱錐 的體積.
【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形 中,過點 作 ,垂足為 , 由已知得,四邊形 為矩形, ,在 中,由 , ,依勾股定理得:
,從而 ,又由 平面 得,
從而在 中,由 , ,得
正視圖如右圖所示:
(Ⅱ)取 中點 ,連結 , ,在 中, 是 中點,
∴ , ,又 ,
∴ , , ∴四邊形 為平行四邊形,∴
又 平面 , 平面 , ∴ 平面
(Ⅲ) ,
又 , ,所以
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)取 的中點 ,連結 ,
在梯形 中, ,且 ,∴四邊形 為平行四邊形
∴ ,又 平面 , 平面
∴ 平面 ,又在 中,
平面 , 平面
∴ 平面 .又 ,
∴平面 平面 ,又 平面
∴ 平面
(Ⅲ)同解法一
30.(2013年高考廣東卷(文))如圖4,在邊長為1的等邊三角形 中, 分別是 邊上的點, , 是 的中點, 與 交于點 ,將 沿 折起,得到如圖5所示的三棱錐 ,其中 .
(1) 證明: //平面 ;
(2) 證明: 平面 ;
(3) 當 時,求三棱錐 的體積 .
【答案】(1)在等邊三角形 中,
,在折疊后的三棱錐 中
也成立, , 平面 ,
平面 , 平面 ;
(2)在等邊三角形 中, 是 的中點,所以 ①,
.
在三棱錐 中, , ②
;
(3)由(1)可知 ,結合(2)可得 .
31.(2013年高考湖南(文))如圖2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC= ,AA1=3,D是BC的中點,點E在菱BB1上運動.
(I) 證明:AD⊥C1E;
(II) 當異面直線AC,C1E 所成的角為60°時,求三菱子C1-A2B1E的體積.
【答案】解: (Ⅰ) .
(證畢)
(Ⅱ) .
32.(2013年高考北京卷(文))如圖,在四棱錐 中, , , ,平面 底面 , , 和 分別是 和 的中點,求證:
(1) 底面 ;(2) 平面 ;(3)平面 平面
【答案】(I)因為平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于這個平面的交線AD
所以PA垂直底面ABCD.
(II)因為AB‖CD,CD=2AB,E為CD的中點
所以AB‖DE,且AB=DE
所以ABED為平行四邊形,
所以BE‖AD,又因為BE 平面PAD,AD 平面PAD
所以BE‖平面PAD.
(III)因為AB⊥AD,而且ABED為平行四邊形
所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因為E和F分別是CD和PC的中點
所以PD‖EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
33.(2013年高考課標Ⅰ卷(文))如圖,三棱柱 中, ,
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若 , ,求三棱柱 的體積.
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