初三數學教案設計

　　導語：音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。以下是小編整理的初三數學教案，歡迎閱讀參考。

　　正多邊形的有關計算

　　教學設計示例1

　　教學目標：

　　(1)會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題;

　　(2)鞏固學生解直角三角形的能力，培養學生正確迅速的運算能力;

　　(3)通過正多邊形有關計算公式的推導，激發學生探索和創新.

　　教學重點:

　　把正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題.

　　教學難點:

　　正確地將正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.

　　教學活動設計:

　　(一)創設情境、觀察、分析、歸納結論

　　1、情境一：給出圖形.

　　問題1：正n邊形內角的規律.

　　觀察：在圖形中，應用以有的知識(多邊形內角和定理，多邊形的每個內角都相等)得出新結論.

　　教師組織學生自主觀察，學生回答.(正n邊形的每個內角都等于.)

　　2、情境二：給出圖形.

　　問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形?它們有什么規律?

　　教師引導學生觀察，學生回答.

　　觀察：三角形的形狀，三角形的個數.

　　歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.

　　3、情境三：給出圖形.

　　問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規律?

　　觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的.

　　(二)定理、理解、應用：

　　1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化.

　　由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角的一半，即，所以，根據上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題.

　　3、應用：

　　例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6.

　　教師引導學生分析解題思路：

　　n=6

　　=30°，又半徑為R

　　a6 、r6.

　　P6、S6.

　　學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力.

　　解：

　　作半徑OA、OB;作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB. ∵∠GOB= ，

　　∴a6 =2·Rsin30°=R，

　　∴P6=6·a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°=，

　　∴

　　歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6=

　　Pn rn.

　　4、研究：(應用例1的方法進一步研究)

　　問題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積.

　　學生以小組進行研究，并初步歸納：

　　上述公式是運用解直角三角形的方法得到的.

　　通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數;(2)圓的半徑和邊心距;(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.

　　(三)小節

　　知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題.

　　思想：轉化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、計算能力;觀察、分析、研究、歸納能力.

　　(四)作業

　　歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式.

　　教學設計示例2

　　教學目標：

　　(1)進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題;

　　(2)通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關系的證明，學習邊計算邊推理的數學方法;

　　(3)通過解決實際問題，培養學生簡單的數學建模能力;

　　(4)培養學生用數學意識，滲透理論聯系實際、實踐論的觀點.

　　教學重點:

　　應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數計算的證明方法.

　　教學難點:

　　例3的證明方法.

　　教學活動設計：

　　(一)知識回顧

　　(1)方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計算轉化為解直角三角形問題.

　　(2)知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，正多邊形的有關計算.

　　組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格.

　　(二)正多邊形的應用

　　正

　　多邊形的有關計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義.

　　例2、在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).

　　解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF=

　　. ∵AF=

　　(cm)，∴R5=

　　(cm). r5=

　　(cm).

　　答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm

　　建議：①組織學生，使學生主動參與教學;②滲透簡單的數學建模思想和實際應用意識;③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養.

　　以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內交流.

　　例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長

　　教師引導學生：

　　(1)∠AOB=?

　　(2)在△OAB中，∠A與∠B的度數?

　　(3)如果BM平分∠OBA交OA于M，你發現圖形中相等的線段有哪些?你發現圖中三角形有什么關系?

　　(4)已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎?怎么計算?

　　解：如圖，設AB=a10.作∠OBA的平分線BM，交OA于點M，則

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.

　　∴OM=MB=AB= a10.

　　△ OAB∽△BAM

　　OA:AB=BA:AM，即R :a10= a10:(R- a10)，整理，得

　　(取正根). 由例3的結論可得

　　回顧：黃金分割線段.AD2=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項.頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段.

　　反思：解決方法.在推導a10與R關系時，輔助線角平分線是怎么想出來的.解決方法是復習等腰三角形的性質、判定及相似三角形的有關知識.

　　練習P.165中練習1

　　(三)總結

　　(1)應用正多邊形的有關計算解決實際問題;

　　(2)綜合代數列方程的方法證明了

　　(四)作業

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活動

　　已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角

　　的大小.

　　探究它們存在什么規律?你能證明嗎?

　　(提示：.)

　　畫正多邊形

　　教學設計示例1

　　教學目標：

　　(1)了解用量角器等分圓心角來等分圓;掌握用尺規作圓內接正方形和正六邊形，能作圓內接正八邊形、正三角形、正十二邊形;

　　(2)通過畫圖培養學生的畫圖能力;

　　(3)對學生進行審美教育，提高學生的審美能力，促進學生對幾何學習的熱情.

　　教學重點：

　　(1)量角器等分圓心角來等分圓;

　　(2)尺規作圓內接正方形和正六邊形.

　　教學難點：

　　準確作圖.

　　教學活動設計：

　　(一)提出問題：

　　由于正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的應用性，所以會畫正多邊形應是學生必備能力之一.

　　問題

　　1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內接正三角形.

　　教師組織學生進行，方法不限.

　　目的：充分發展學生的發散思維.

　　(二)解決問題：

　　以下為解決問題的參考方案：(上課時教師歸納學生的方法)

　　(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

　　②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

　　(2)尺規法：(如上右圖)用圓規在⊙O上截取長度等于半徑(2cm)的弦，連結AB、BC、CA即可.

　　(3)計算與尺規結合法：由正三角形的半徑與邊長的關系可得，正三角形的邊長=

　　R=2

　　(cm)，用圓規在⊙O上截取長度為2

　　(cm)的弦AB、AC，連結AB、BC、CA即可.

　　(三)研究、歸納

　　1、用量角器等分圓：

　　依據：等圓中相等的圓心角所對應的弧相等.

　　操

　　作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩;其二是先用量角器畫一個圓心角，然后在圓上依次截取等于該圓心角所對弧的等弧，于是得到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最后一個等分點，使畫出的正多邊形的邊長誤差較大.

　　問題2：把半徑為2cm⊙O九等份.

　　(先畫半徑2cm的圓，然后把360°的圓心角9等份，每一份40°)

　　歸納：用量角器等分圓，方法簡便，可以把圓任意n等分，但有誤差.

　　2、

　　用尺規等分圓：

　　(1)問題3：作正四邊形、正八邊形.

　　教師組織學生，分析、作圖.

　　歸納：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

　　(2

　　)問題4：作正六、三、十二邊形.

　　教師組織學生，分析、作圖.

　　歸納：先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形………理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發現，隨著邊數的增加，正多邊形越來越接近于圓，正多邊形將越來越難畫.

　　(四)總結

　　(1)用量角器等分圓周作正n邊形;

　　(2)用尺規作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形.

　　(五)作業 教材P173中13.

　　教學設計示例2

　　教學目標：

　　1、能應用畫正多邊形解決實際問題;會畫正五邊形的近似圖;了解等分圓的美麗圖形;

　　2、通過運用正多邊形的有關計算和畫圖解決實際問題培養學生分析問題、解決問題的能力;

　　3、對學生進行審美教育和文化傳統教育和愛國教育;

　　4、滲透數學建模思想.

　　教學重點：

　　應用正多邊形的計算與畫圖解決實際問題.

　　教學難點：

　　數學模型的建立，和正多邊形的有關計算問題.

　　教學活動設計：

　　(一)知識回顧：

　　分別畫半徑2cm的圓內接正六邊形、內接正三角形、內接正十二邊形、內接正方形、內接正八邊形.

　　要求①尺規作圖;②說明畫法;③指出作圖依據;④學生獨立完成.

　　教師巡視，對畫的好的學生給于表揚，對有問題的學生給于指導.

　　(二)畫圖應用：

　　例1、有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正八邊形，(1)用1∶200的比例尺畫出地基平面圖;(2)求地基的邊長a8(精確到0.01m)和面積S8(精確到0.1m2)

　　教師引導學生分析：①比例尺=

　　;②正八邊形的半徑R=2cm;③如何解正八邊形和近似計算. (

　　1)畫法：1.以任意一點O為圓心，以4m的

　　，即2cm為半徑畫⊙O(如圖).

　　2.作⊙O的直徑AC、BD，使AC⊥BD.

　　3.作平分

　　、

　　的直徑EG、FH.

　　4.順次連結AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.

　　八邊形AEBFCGDH就是亭子地基的正八邊形.

　　(2)解(學生分析解題方法)：

　　(m)

　　(m)

　　(m2)

　　答：(略)

　　我國民間相傳有五邊形的近似畫法，畫法口訣是：“九五頂五九，八五兩邊分”，它的意義如圖：如果正五邊形的邊長為10，作它的中垂線AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，則AM=5.9，過點M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8.連結AB、BC、DE、EA即可.

　　例2、用民間相傳畫法口訣，畫邊長為20mm的正五邊形.

　　分析：要畫邊長20mm的正五邊形，關鍵在于計算出口訣中各部分的尺寸，由于要畫的正五邊形與口訣正五邊形相似，所以要畫的正五邊形的各部分應與口訣正五邊形各部分對應成比例.由已知知道要畫正五邊形的邊CD=20mm.請同學們算出各部分的尺寸，并按口訣畫出正五邊形ABCDE.

　　(畫法：略.參看教材P170)

　　說明：雖然這種畫法是近似畫法，但是這種畫法的精確度卻是很高的.有能力的學生課下可以探究和計算.

　　通過正五邊形的民間近似畫法的教學弘揚民族文化，揭示其科學性，滲透實踐出真知的觀點.

　　(三)優美圖案欣賞和畫法：

　　請學生欣賞下列圖案，分析圖案結構，畫出圖案.

　　組織學生進行，可以讓學生獨立完成，也可以讓學生協作完成，對畫的較好的同學給予表彰.

　　(四)總結

　　1、運用正多邊形的知識解決實際問題;

　　2、學習了民間畫正五邊形的近似畫法;

　　3、學習了分解與組合有關正多邊形的幾何圖案.

　　(五)作業

　　教材P171中練習1;P173中12;P173中14.

　　探究活動

　　圖案設計

　　某學校在教學樓前的圓形廣場中，準備建造一個花園，并在花園內分別種植牡丹、月季和杜鵑三種花卉。為了美觀，種植要求如下：

　　(1)種植4塊面積相等的牡丹、4塊面積相等的月季和一塊杜鵑。(注意：面積相等必須由數學知識作保證)

　　(2)花卉總面積等于廣場面積

　　(3)花園邊界只能種植牡丹花，杜鵑花種植在花園中間且與牡丹花沒有公共邊。

　　請你設計種植方案：(設計的方案越多越好;不同的方案類型不同.)

　　答案提示：

　　切線長定理

　　1、教材分析

　　(1)知識結構

　　(2)重點、難點分析

　　重點：切線長定理及其應用.因切線長定理再次體現了圓的軸對稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系等提供了理論依據，它屬于工具知識，經常應用，因此它是本節的重點.

　　難點：與切線長定理有關的證明和計算問題.如120頁練習題中第3題，它不僅應用切線長定理，還用到解方程組的知識，是代數與幾何的綜合題，學生往往不能很好的把知識連貫起來.

　　2、教法建議

　　本節內容需要一個課時.

　　(1)在教學中，組織學生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長定理的基本圖形;對重要的結論及時總結;

　　(2)在教學中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線，開展在教師組織下，以學生為主體，活動式教學.

　　教學目標

　　1.理解切線長的概念，掌握切線長定理;

　　2.通過對例題的分析，培養學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想.

　　3.通過對定理的猜想和證明，激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，樹立科學的學習態度.

　　教學重點:

　　切線長定理是教學重點

　　教學難點:

　　切線長定理的靈活運用是教學難點

　　教學過程設計:

　　(一)觀察、猜想、證明，形成定理

　　1、

　　切線長的概念.

　　如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長.

　　引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量;切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.

　　2、觀察

　　利用電腦變動點P 的位置，觀察圖形的特征和各量之間的關系.

　　3、

　　猜想

　　引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB. PA=PB.

　　4、證明猜想，形成定理.

　　猜想是否正確。需要證明.

　　組織學生分析證明方法.關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA=PB.

　　想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論?

　　∠OPA=∠OPB(如圖)等.

　　切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.

　　5、歸納：

　　把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質

　　6、切線長定理的基本圖形研究

　　如圖，

　　PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點.直線OP交⊙O于點D，E，交AP于C

　　(1)寫出圖中所有的垂直關系;

　　(2)寫出圖中所有的全等三角形;

　　(3)寫出圖中所有的相似三角形;

　　(4)寫出圖中所有的等腰三角形.

　　說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活應用知識的基礎.

　　(二)應用、歸納、反思

　　例1、已知：

　　如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，

　　A和B是切點，BC是直徑.

　　求證：AC∥OP.

　　分析：從條件想，由P是⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A，B是切點可得PA=PB，∠APO=∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB=OC，由此聯想到與直徑有關的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等.于是想到可能作輔助線AB.

　　從結論想，要證AC∥OP，如果連結AB交OP于O，轉化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線來考慮.也可考慮通過平行線的判定定理來證，可獲得多種證法.

　　證法一.如圖.連結AB.

　　PA，PB分別切⊙O于A，B

　　∴PA=PB∠APO=∠BPO

　　∴ OP ⊥AB

　　又∵BC為⊙O直徑

　　∴AC⊥AB

　　∴AC∥OP (學生板書)

　　證法二.

　　連結AB，交OP于D

　　PA，PB分別切⊙O于A、B

　　∴PA=PB∠APO=∠BPO

　　∴AD=BD

　　又∵BO=DO

　　∴OD是△ABC的中位線

　　∴AC∥OP

　　證法三.連結AB，設OP與AB弧交于點E

　　PA，PB分別切⊙O于A、B

　　∴PA=PB

　　∴ OP ⊥AB

　　∴

　　=

　　∴∠C=∠POB

　　∴AC∥OP

　　反思：

　　教師引導學生比較以上證法，激發學生的學習興趣，培養學生靈活應用知識的能力.

　　例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.

　　(分析和解題略)

　　反思：(1)例3事實上是圓外切四邊形的一個重要性質，請學生記住結論.(2)圓內接四邊形的性質：對角互補.

　　P120練習：

　　練習1 填空

　　如圖,

　　已知⊙O的半徑為3厘米，PO=6厘米，PA，PB分別切⊙O于A，B，則PA=_______，∠APB=________

　　練習2 已知：在△ABC中，BC=14厘米，AC=9厘米，AB=13厘米，它的內切圓分別和BC，AC，AB切于點D，E，F，求AF，AD和CE的長.

　　分析：設各切線長AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米.后列出關于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結果.

　　(解略)

　　反思：解這個題時，除了要用三角形內切圓的概念和切線長定理之外，還要用到解方程組的知識，是一道綜合性較強的計算題.通過對本題的研究培養學生的綜合應用知識的能力.

　　(三)小結

　　1、

　　提出問題學生歸納

　　(1)這節課學習的具體內容;

　　(2)學習用的數學思想方法;

　　(3)應注意哪些概念之間的區別?

　　2、歸納基本圖形的結論

　　3、學習了用代數方法解決幾何問題的思想方法.

　　(四)作業

　　教材P131習題7.4A組1.(1)，2，3，4.B組1題.

　　探究活動

　　圖中找錯

　　你能找出(圖1)與(圖2)的錯誤所在嗎?

　　在圖2中，P1A為⊙O1和⊙O3的切線、P1B為⊙O1和⊙O2的切線、P2C為⊙O2和⊙O3的切線.

　　提示：在圖1中，連結PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點只能作一條直徑，所以此圖是一張錯圖，點O應在圓上.

　　在圖2中，設P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A=P3C=c，則有

　　a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c  ①

　　c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b  ②

　　a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b  ③

　　將②代人①式得

　　a = P1P3+(P2P3+ b)= P1P3+P2P3+ b，

　　∴a-b= P1P3+P2P3

　　由③得a-b= P1P2得

　　∴P1P2= P2P3+ P1P3

　　∴P1、P 2 、P3應重合，故圖2是錯誤的.

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