數(shù)學(xué)悖論

數(shù)學(xué)悖論

數(shù)學(xué)悖論(數(shù)學(xué)悖論)

悖論是一種認(rèn)識(shí)矛盾，它既包括邏輯矛盾、語(yǔ)義矛盾，也包括思想方法上的矛盾。 數(shù)學(xué)悖論作為悖論的一種，主要發(fā)生在數(shù)學(xué)研究中。按照悖論的廣義定義，所謂數(shù)學(xué)悖論，是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中既有數(shù)學(xué)規(guī)范中發(fā)生的無(wú)法解決的認(rèn)識(shí)矛盾，這種認(rèn)識(shí)矛盾可以在新的數(shù)學(xué)規(guī)范中得到解決。

目錄 歷史 定義 數(shù)學(xué)悖論 第一次 收縮展開(kāi) 歷史

“……古往今來(lái)，為數(shù)眾多的悖論為邏輯思想的發(fā)展提供了食糧。” ——N·布爾巴基 悖論的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，它的起源可以一直追溯到古希臘和中國(guó)先秦時(shí)代。“悖論”一詞源于希臘文，意為“無(wú)路可走”，轉(zhuǎn)義是“四處碰壁，無(wú)法解決問(wèn)題”。 在古希臘時(shí)代，克里特島的哲學(xué)家埃庇米尼得斯（約公元前6世紀(jì)）發(fā)現(xiàn)的“說(shuō)謊者悖論”可以算作人們最早發(fā)現(xiàn)的悖論。公元前4世紀(jì)的歐布里德將其修改為“強(qiáng)化了的撒謊者悖論”。在此基礎(chǔ)上，人們構(gòu)造了一個(gè)與之等價(jià)的“永恒的撒謊者悖論”。埃利亞學(xué)派的代表人物芝諾（約490B.C.—430B.C.）提出的有關(guān)運(yùn)動(dòng)的四個(gè)悖論（二分法悖論、阿基里斯追龜悖論、飛矢不動(dòng)悖論與運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論）尤為著名，至今仍余波未息。 在中國(guó)古代哲學(xué)中也有許多悖論思想，如戰(zhàn)國(guó)時(shí)期邏輯學(xué)家惠施（約370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”；《韓非子》中記載的有關(guān)矛與盾的悖論思想等，這些悖論式的命題，表面上看起來(lái)很荒謬，實(shí)際上卻潛伏著某些辯證的思想內(nèi)容。 在近代，著名的悖論有伽利略悖論、貝克萊悖論、康德的二律背反、集合論悖論等。在現(xiàn)代，則有光速悖論、雙生子佯謬、EPR悖論、整體性悖論等。這些悖論從邏輯上看來(lái)都是一些思維矛盾，從認(rèn)識(shí)論上看則是客觀矛盾在思維上的反映。 盡管悖論的歷史如此悠久，但直到本世紀(jì)初，人們才真正開(kāi)始專(zhuān)門(mén)研究悖論的本質(zhì)。在此之前，悖論只能引起人們的驚恐與不安；此后，人們才逐漸認(rèn)識(shí)到悖論也有其積極作用。特別是本世紀(jì)60、70年代以來(lái)，出現(xiàn)了研究悖論的熱潮。

定義

悖論的定義有很多說(shuō)法，影響較大的有以下幾種，如“悖論是指這樣一個(gè)命題A,由A出發(fā)可以找到一語(yǔ)句B，然后，若假定B真，就可推出~B真,亦即可推出B假。若假定~B真，即B假，又可推導(dǎo)出B真”。又如“悖論是一種導(dǎo)致邏輯矛盾的命題，這種命題，如果承認(rèn)它是真的，那么它又是假的；如果承認(rèn)它是假的，那么它又是真的。”再如“如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但在這個(gè)理論中卻推出了兩個(gè)互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式，那么，我們就說(shuō)這個(gè)理論包含了一個(gè)悖論。” 上述各種悖論定義，都有其合理的一面，但又都不十分令人滿意。從潛科學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，悖論是一種在已有科學(xué)規(guī)范中無(wú)法解決的認(rèn)識(shí)矛盾，這種認(rèn)識(shí)矛盾可以在新的科學(xué)規(guī)范中得到克服，這是悖論的廣義定義。 悖論有其存在的客觀性和必然性，它是科學(xué)理論演進(jìn)中的必然產(chǎn)物，在科學(xué)發(fā)展史上經(jīng)常出現(xiàn)，普遍存在于各門(mén)科學(xué)之中。不僅在語(yǔ)義學(xué)、形式邏輯和數(shù)理邏輯等領(lǐng)域出現(xiàn)悖論，而且在物理學(xué)、天文學(xué)、系統(tǒng)論和哲學(xué)等領(lǐng)域也經(jīng)常出現(xiàn)悖論。 悖論是一種認(rèn)識(shí)矛盾，它既包括邏輯矛盾、語(yǔ)義矛盾，也包括思想方法上的矛盾。 悖論常常以邏輯推理為手段，深入到原理論的根基之中，尖銳地揭露出該理論體系中潛藏著的無(wú)法回避的.矛盾，所以它的出現(xiàn)必然導(dǎo)致現(xiàn)存理論體系的危機(jī)。科學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生，往往是科學(xué)革命的前兆和強(qiáng)大杠桿，是科學(xué)認(rèn)識(shí)飛躍的關(guān)節(jié)點(diǎn)和開(kāi)始進(jìn)入新階段的重要標(biāo)志。 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治教授指出：“產(chǎn)生悖論的根本原因，無(wú)非是人的認(rèn)識(shí)與客觀實(shí)際以及認(rèn)識(shí)客觀世界的方法與客觀規(guī)律的矛盾，這種直接和間接的矛盾在一點(diǎn)上的集中表現(xiàn)就是悖論。”所謂主客觀矛盾在某一點(diǎn)上的集中表現(xiàn)，是指由于客觀事物的發(fā)展造成了原來(lái)的認(rèn)識(shí)無(wú)法解釋新現(xiàn)實(shí)，因而要求看問(wèn)題的思想方法發(fā)生轉(zhuǎn)換，于是在新舊兩種思想方法轉(zhuǎn)換的關(guān)節(jié)點(diǎn)上，思維矛盾特別尖銳，就以悖論的形式表現(xiàn)出來(lái)。

數(shù)學(xué)悖論

數(shù)學(xué)悖論作為悖論的一種，主要發(fā)生在數(shù)學(xué)研究中。按照悖論的廣義定義，所謂數(shù)學(xué)悖論，是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中既有數(shù)學(xué)規(guī)范中發(fā)生的無(wú)法解決的認(rèn)識(shí)矛盾，這種認(rèn)識(shí)矛盾可以在新的數(shù)學(xué)規(guī)范中得到解決。數(shù)學(xué)中有許多著名的悖論，除前面提到的伽利略悖論、貝克萊悖論外，還有康托爾最大基數(shù)悖論、布拉里——福蒂最大序數(shù)悖論、理查德悖論、基礎(chǔ)集合悖論、希帕索斯悖論等。數(shù)學(xué)史上的危機(jī)，指數(shù)學(xué)發(fā)展中危及整個(gè)理論體系的邏輯基礎(chǔ)的根本矛盾。這種根本性矛盾能夠暴露一定發(fā)展階段上數(shù)學(xué)體系邏輯基礎(chǔ)的局限性，促使人們克服這種局限性，從而促使數(shù)學(xué)的大發(fā)展。數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)都是由數(shù)學(xué)悖論引起的，下面作以簡(jiǎn)要的分析。

第一次

起因

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主張“數(shù)”是萬(wàn)物的本原、始基，而宇宙中一切現(xiàn)象都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。在希帕索斯悖論發(fā)現(xiàn)之前，人們僅認(rèn)識(shí)到自然數(shù)和有理數(shù)，有理數(shù)理論成為占統(tǒng)治地位的數(shù)學(xué)規(guī)范，希帕索斯發(fā)現(xiàn)的無(wú)理數(shù)，暴露了原有數(shù)學(xué)規(guī)范的局限性。由此看來(lái)，希帕索斯悖論是由于主觀認(rèn)識(shí)上的錯(cuò)誤而造成的。

經(jīng)過(guò)

公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員希帕索斯（470B.C.前后）發(fā)現(xiàn)：等腰直角三角形斜邊與一直角邊是不可公度的，它們的比不能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。這一發(fā)現(xiàn)不僅嚴(yán)重觸犯了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，同時(shí)也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的普遍見(jiàn)解，因此在當(dāng)時(shí)它就直接導(dǎo)致了認(rèn)識(shí)上的“危機(jī)”。希帕索斯的這一發(fā)現(xiàn)，史稱(chēng)“希帕索斯悖論”，從而觸發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

影響

希帕索斯的發(fā)現(xiàn)，促使人們進(jìn)一步去認(rèn)識(shí)和理解無(wú)理數(shù)。但是，基于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展水平，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派及以后的古希臘的數(shù)學(xué)家們沒(méi)有也不可能建立嚴(yán)格的無(wú)理數(shù)理論，他們對(duì)無(wú)理數(shù)的問(wèn)題基本上采取了回避的態(tài)度，放棄對(duì)數(shù)的算術(shù)處理，代之以幾何處理，從而開(kāi)始了幾何優(yōu)先發(fā)展的時(shí)期，在此后兩千年間，希臘的幾何學(xué)幾乎成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。當(dāng)然，這種將整個(gè)數(shù)學(xué)捆綁在幾何上的狹隘作法，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了不利的影響。 希帕索斯的發(fā)現(xiàn)，說(shuō)明直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理和證明才是可靠的，這就導(dǎo)致了亞里士多德的邏輯體系和歐幾里德幾何體系的建立。

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