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算法優化要五問
在《全日制義務教育數學課程標準》(實驗稿)中輸入關鍵詞"多樣化"進行搜索，多達19處，其中有8處是直接或間接針對"算法"提出的。而搜索"算法優化""最優化""優化"等關鍵詞，卻是一無所獲。從本人所涉獵的書籍、資料中也可以看出，對二者闡述的材料的數量也是天壤之別。這說明我們的相關研究對算法多樣化是偏愛有加的，卻冷落了算法優化。算法多樣化和算法優化是一對"歡喜冤家"，它們一個重在"多"，是一個"散"的過程，另一個重在"優"，是一個"聚"的過程。同時，它們又是密不可分的，算法優化是算法多樣化的繼續，是算法多樣化的最終歸宿。因為學生的思維存在著差異性、層次性，有些算法不具有普遍性，有些算法操作繁瑣，有些算法思維層次偏低，這就需要我們的教師對這些算法要進行提升。正如葉瀾教授所說："沒有聚焦的發散是沒有價值的，聚焦的目的是為了促進學生發展。"但是，我們有些教師唯恐對算法進行優化會影響算法的多樣化，會制約著學生思維的發展，會被聽課者定位于"穿新鞋走老路"，會和課標中的"應重視口算，加強估算，提倡算法多樣化"相悖。于是，部分教師沒有意識到算法優化的意義，沒有理順優化與多樣化的辯證關系，沒有掌握具體的優化策略，不考慮學生已有的知識水平和學生的切身感受，不讓學生的經歷觀察、思考、交流、選擇、體驗、再思考、再選擇、最后感悟等幾個漸進的層次而硬性地去優化，出現了算法優化的表面化、形式化的現象。更有甚者，個別教師"開門見山"，直接把"最優化"的算法呈現給學生，"親自"幫助學生在多種算法中找出那些有助于提高學生的數學素養、促進學生學習可持續發展、接近數學本質的算法。本文僅把算法優化中五個常見現象及應對策略呈現給大家，請老師們在進行算法優化之前問問自己，是否思考了這樣幾個問題。
一問：是否關注學生已有的知識基礎?
在算法優化的過程中，讓每個學生掌握一種方法是優化的基礎，讓學生全身心的參與到優化過程中來是關鍵。但是，在實際的教學中，我們不難看到，仍有部分學生總是認為自己的算法是經過自己獨立嘗試、探索得來的，是自己勞動的"成果"，所以不愿意放棄自己最初的方法。
例如：一年級下冊的"十幾減9"。
在研究13-9=?的時候，由于教師給學生留足了探究的時間，學生們出現了數一數、破十法、平十法、想加算減法和推理的方法共五種，下面是一個老師進行算法優化的課堂簡錄：(由于學生的回答太多，所以改成了敘述的形式)
老師安排四個同學為一學習小組，依照次序說一說五種方法的計算特點。然后是指名進行全班匯報。
師：我們已經研究了這五種方法，你喜歡哪種方法?
學生們的意見很不統一，五種方法都有學生說喜歡。
師：如果讓你重新選擇一種方法計算，你會選哪一種?為什么要選這一種?
由于方法一需要學生數一數，比較費時、方法五的邏輯性太強，有些孩子不能從實質上進行理解、方法四是采用逆向思維來解決問題，所以，這三種方法學生選擇的較少，而平十法和破十法卻倍受孩子們的青睞，大多數的孩子都選擇了這兩種算法。
五種方法都有學生選擇，只是選的人數多與少而已。教師似乎已經估計到會出現這種情況，于是不緊不慢的又拋出一個問題。
師：用你喜歡的方法再算一題17-9=?
評析：教師此舉旨在讓學生通過再做一道題目，一是試圖讓部分學生根據對五種方法研究和交流而調整自己的思路，放棄自己最初的方法而去重新選擇；二是讓部分學生比較前、后兩種方法，通過兩種方法的對比，感受到新選擇方法的優勢。但是，學生是否愿意買老師的"帳"呢?看看學生的反饋情況就知道了。
第二次交流的時候，已經沒有學生選擇方法一和方法五了，僅有幾個學生選擇想加算減的方法，大部分的學生仍然選擇平十法和破十法。這種情況好像出乎教師的預料。于是，教師只好再次引導：
師：方法二的13-9=10-9+3和方法三的13-9=13-3-6，它們都是幾步計算?
生：兩步。
師：而想加算減的方法，只要想9加幾(4)等于13，然后直接寫出13-9=4。你們比較一下，到底是哪種方法方便?
學生不語。
教師有些著急，又問了一次。
個別學生小聲說：先減3再減6，好算。
還有的學生說：先用10減9，好減。
對于學生的"頑固不化"和"堅持到底"，教師只好來"硬"的了。
師：我們一定要掌握第四種算法，因為它對今后的學習很重要。
…
思考：學生為什么就是不"入套"、不"中招"呢?建構主義認為學生的學習是在已有知識和經驗的基礎上進行建構的，這就是說要實現算法最優化的建構，教師就要關注學生已有的知識基礎。"想加算減"這種方法對學生思維靈活性的訓練和后續知識的學習都很有幫助，是我們這一節課優化的目標，比較省時、比較快捷，但是這種方法在五種方法中卻是最困難的。因為，這種方法不僅需要學生有一定的推理能力，更需要學生有非常熟練的20以內加法的基礎。換句話說，要想讓學生掌握"想加算減"這種方法，學生不僅對20以內的加法達到脫口而出的熟練程度，還要會根據加法算式寫出相應的減法算式，會熟練地求括號里的未知數，沒有了這些基礎，"想加算減"的方法就免談。心理學家奧蘇貝爾在他的代表性論著《教育心理學：一種認知觀》一書的扉頁中寫到："假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一最重要因素就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據此進行教學。"所以，我們在優化算法的時候一定要思考：優化的目標距離學生有多遠?新知識的生長點在哪里?新舊知識的"支架"在何處?怎樣準確定位學生的最近發展區等問題。就本節課而言，教師在課前對學生的20以內加法的熟練程度和求括號中未知數的掌握情況進行了解，并有針對性地進行訓練和鋪墊，夯實優化的基礎，才能順利完成算法優化的目標。
二問：是否守住了學生的"底線"?
教師出示掛圖。(一年級上冊)
師：我們先來仔細觀察圖，桃子是怎樣擺的?
生：盒子里有9個，盒子外有4個。
師：要求一共有多少個桃?該怎樣列式呢?
生：9+4=13
師：9+4=13，你是怎么想的?
生：拿一個桃子到盒子里，盒子里就有10個，10個再加上3個等于13個。
師：你用的是9找1變成10的方法。找到了10，算起來就很快了。簡單的說，就是"湊十法"，你真棒！其他同學聽懂了嗎?
還沒有等學生回答，教師就說：那么，我們就用他的方法擺一擺，移一移桃子圖，找找結果，好嗎?
…
這種模式在很多的課堂上都是習以為常的，老師寫出算式或剛提出問題后，只要有學生舉手，教師就立即讓舉手的孩子來回答，一個或幾個優秀的學生與教師產生互動完成了教學任務。其實，舉手的僅是一部分學生，多數還是優等生，還有相當多的中等及中等以下的學生沒有舉手或者還沒有來得及舉手。另外，這些舉手的學生真的經過獨立思考了嗎?真的經過自主探索了嗎?這樣的教學，一是直接導致了部分學生游離于教學活動之外；二是導致了學生嚴重的"兩極"分化，成績稍差的學生沒有機會品嘗到成功的喜悅；三是忽略了每人至少掌握一種算法的基本要求。
每個學生至少掌握一種算法，這是算法優化的"底線"。因為，只有每個同學都有了自己的算法，才能構成算法的多樣化；只有出現算法多樣化的局面，才能進行算法的優化。鑒于此，教師一定要舍得放手，相信學生，故意放慢教學的進程。首先，面對數學問題，要給學生充分的獨立思考的時間，并提出要求：每個同學至少要想出一種方法，并把這種方法在腦海中用自己的語言說一遍，完成后才可以去思考第二或第三種方法。這樣一來，好的學生能想起幾種方法，思維得到了全面的展開和激活，實現了"吃好"的目標；中下等的學生也能有一種方法"保底"，達到了"吃飽"的標準。其次，在小組交流的時候，老師要有意識的讓那些學習困難的學生先發言，爭取讓每一個學生都能把自己的思維過程暴露出來。這樣的處理，每個孩子都要認真思考，都要自主探索，都會積極參與到學習活動中來，"學困生"也能得到充分的展示，實現了好、中、差學生"同步走"的全面發展的目標，這才是"不同的人在數學上得到不同的發展"的理念的具體體現。
三問：是否為了優化而故意多樣化?
二年級下冊"一位數乘兩位數的筆算"
教師出示情境圖引導學生列出算式14×2后，安排學生自主探究解決的方法，然后組織全班交流。
生1：兩個10是20，兩個4是8，加起來是28。
生2：兩個14加起來是28，所以14乘2是28。
生3：我是看圖的，左面兩個筐里是20個，右面筐里是8個，合起來是28個。
教師意猶未盡，繼續問：除了乘法、加法、看圖三種方法以外，還有別的解法嗎?
等了半天，教師看見沒有學生舉手，唯恐"冷"了場，又拋出一個"技術性含量"很高的問題：剛才的三個學生非常聰明，能認真開動腦筋，想出了屬于自己的解題方法。誰能超過他們?
過了一會，終于有學生舉手了。
生4：14加10等于24,24加4等于28。
這個答案可能讓教師始料未及，所以教師楞了一下，接著說：還有嗎?
生5：4加14等于18,18加10等于28。
…
表內乘除法、對乘法意義的理解，在二年級上冊已經學過了。本節課，主要是讓學生掌握一位數乘兩位數的豎式計算。而在上例中，教師卻"跑題"了，距離本節課的教學重點--學會一位數乘兩位數的筆算和教學難點--理解一位數乘兩位數的算理卻是漸行漸遠了。仔細分析之：都是算法優化惹的禍。
算法優化為什么會惹禍呢?這是我們的老師對算法優化的誤解，有些老師認為：算法多樣化就是方法要多種多樣，學生的解題方法越多越好，方法多了才能把學生的思維激活起來，方法多了才是算法多樣化，只有達到算法多樣化才能實現算法優化。正是在這樣的理念指導下，教師才讓學生盡可能的尋找算法，前三個學生的方法已經很好了，而教師還是認為方法太少不便于優化，于是繼續引導，讓學生說出了兩種加法中的算法。因為本節課學習的是乘法豎式，所以這兩種方法是屬于低層次的算法，前面三個學生已經超越了這些算法，教師應該乘勢而上，抓緊進入豎式的教學，而不是偏離主題，為了算法優化而故意設置所謂的算法多樣化。實際上，并不是所有題目都要實現算法多樣化的，教師不要為了對計算方法進行優化而讓學生去機械地多樣化，更不能在學生已經掌握基本算法的基礎上去倒退學生的思維，逼迫學生找出低層次的算法，完成老師"湊數"的目的。
四問：學生是否具有了優化的意識?
請看課例：六年級上冊的"分數除以整數"
學生列式后師問：你們會計算嗎?
生：會。
師：你們先算算看，看誰的方法多?
學生練習后匯報如下：
生1：÷2=÷2=
生2：求÷2就是求的是多少?所以÷2=×=
生3：因為×2=所以÷2=
生4：我是用畫圖的方式求(走上黑板作圖)
…
師：這些方法都不錯，你喜歡哪種方法?為什么喜歡這種方法?同位之間先說一說。
在同桌交流后，教師指名回答。結果，有的說方法一好計算，有的說方法四看得明白，還有的說方法二約分起來方便，等等。眾說紛紜，莫衷一是。
教師見出現了這種情況，只好指著方法二直接說：這種方法具有普遍性，有推廣的價值，今后我們就用這種方法來解答分數除以整數的題目。可是學生們真的服氣嗎?課堂上仍然能聽到有學生小聲嘀咕說方法一更簡便。
看到這樣的課例，我們不禁要問：算法優化是告訴?是推薦?還是教師的"一廂情愿"?
建構主義認為，學習不是知識由教師向學生的傳遞，而是學生建構自己的知識的過程；學習者不是被動的信息接受者，相反，他要主動地建構信息的意義，這種建構不可由其他人代替。從這段理論中，我們可以很明顯的感覺到，教師的"告訴"時逼著學生被動的接受知識，并不是學生主動建構的過程。雖然，在算法優化的過程中，我們不排斥教師的指導和引領作用。但是，一切要順其自然，孔子強調："不憤不啟不悱不發"，這就要求教師一定要創設一個體驗的情景，讓學生產生優化的意識，對算法優化的指導要適時、適當、適度，絕對不能"強行優化"，逼迫學生去按照自己的意愿去選擇算法，"瓜熟自然就蒂落"，一定要等到時機成熟，學生有優化的沖動時再進行優化。針對上面的例子，教師可以安排學生進行計算比賽，通過比賽使學生主動去探尋落后的原因，思索自己所使用算法的優劣，產生需要對算法進行優化的內在需求，然后再組織學生討論交流，讓學生們說出喜歡哪種方法和為什么喜歡這種方法。在學生的討論中，學生會因為方法四的麻煩和方法三思考的困難而將這兩種方法淘汰，只剩下方法一和方法二。這樣，教師就讓學生無意識的排除了兩種方法，達到了第一次優化的目的。然后，教師可以讓學生再用自己喜歡的方法計算型如÷4=?÷5=?之類的題目，讓學生在實際的計算中感受到方法一的局限性，再一次產生矯正自己思路的內需，篩選出適合自己的方法，從而達到自覺優化的境界。
五問：學生是否經歷了優化的過程?
一個故事：有人發現已經裂開一條縫的繭中蝴蝶正在痛苦地掙扎，他于心不忍，便拿起剪刀把繭剪開，幫助蝴蝶脫繭而出。可是，蝴蝶卻因為身體臃腫、翅膀干癟，根本飛不起來，不久就死去了。省去了過程看似為其免去了痛苦，但結果卻適得其反，忽略了過程，其結果是可悲的，學生的學習不也是這樣嗎?
三年級下冊"兩位數乘整十數的口算"
教師出示情境圖，指名列出算式12×10，先是布置學生獨立思考計算的方法，然后四個學生為一個學習小組進行組內交流討論形成自己小組的解答方法(教師唯恐不能構成多樣化的算法，還時不時的邊巡視邊提醒學生：盡量不要和其他小組的方法一樣)，最后是各小組代表匯報，教師板書：
生1：12×2=24 24×5=120。
生2：12×5=60 60×2=120。
生3：2×10=20 20×6=120。
生4：12+12+12+…+12=120。
生5：12×9=108,108+12=120
生6：10×10=100,10×2=20,100+20=120。
生7：10×4=40,10×8=80,40+80=120。
生8：12×1=12,12×10=120。
生9：12×5=60,12×5=60,60+60=120。
…
由于班級的學生數較多，還有幾個學生躍躍欲試，老師急忙打住。夸獎道：同學們真棒，想出了這么多的方法。請你們用自己喜歡的方法計算下面三題。
27×10 30×23 50×30
通過課堂巡視可以看出，不少學生沒有改變算法，繼續使用自己剛才的方法進行計算。等到全班匯報交流的時候，老師讓選擇各種方法的同學分別舉手，居然沒有過半數的學生選擇同一種算法。
反思：本節課上，既有學生個人的獨立思索，又有小組的合作交流，既讓每一個學生經歷了算法的探索過程，又形成了豐富多彩的研究成果，既體現出新的學習方式，又讓學生的思維得到了展開。但是，為什么最后的優化沒有成功呢?原因就在于沒有讓學生參加算法優化的過程。
建議：在學生們匯報出多種算法以后，教師可以分成了這樣的幾個步驟：
第一步：讓學生把9種方法進行歸類。再一次給學生提供了獨立思考和小組合作的機會，達成共識，形成小組意見，最后是全班交流。師生共同把各種算法的不同點進行比較并分為這樣的幾類：(1)學生1、2、3都是轉化成連乘；(2)學生4用的是連加法；(3)學生5、6、7、9轉化成兩個兩位數乘一位數，再把所得的積相加；(4)學生8是先和1相乘，再在末尾添上一個0。
由于前三種算法的算理很明顯，所以教師著重向學生講清最后一種方法計算的道理。
第二步：對歸納后的四種算法進行比較。安排學習小組進行討論、比較這四種方法，找出自己喜歡的、自認為比較簡便的方法，再指名匯報。
第三步：請你們用自己喜歡的方法計算下面三題。
27×10 30×23 50×30
第四步：前、后兩次的解題方法進行對比。讓學生仔細觀察自己的練習作業，看看自己在解答12×10的時候用什么算法，現在做27×10、30×23、50×30的時候又用什么算法?然后思考：自己的計算方法前后改變嗎?為什么改變或者為什么沒有改變，并在小組內說說理由。
經過這樣反復思考、對照、探究，一定會順利完成算法優化的教學任務。
評析：沒有比較，就沒有鑒別；沒有鑒別，就沒有思考；沒有思考，就沒有感悟；沒有感悟，也就沒有了優化。前蘇聯教育家阿莫納什維利說過："兒童單靠動腦，只能理解和領會知識；如果加上動手，他就會明白知識的實際意義；如果再加上心靈的力量，那么認識的所有大門都將在他面前敞開，知識將成為他改造事物和進行創造的工具。"這就是說，在算法優化的過程中，學生們僅僅用眼觀察、動腦思考還是不夠的，還要加上動手和心靈的力量。學生在選擇簡便算法的時候，雖然也經過了觀察和思考，但是對所有的算法沒有一個整體的認識。教師讓學生說出簡便的原因和兩種方法的比較，讓學生的思路出現逆轉，又一次把學生的思維過程暴露了出來，然后是動手操作--用自己認為比較簡便的方法再次計算，最后是在動手的基礎上再一次提升，用心靈去比較、去感悟，這時候學生的思考是是全面的，感悟是深刻的、系統的，順利的把優化后的方法進行了內化，完成了探究→交流→觀察→思考→選擇→體驗→比較→再選擇→感悟→內化的完整鏈接，從而形成了較高層面上的認識。
該文發表于《中國教師》
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