數學解題的七種技巧

時間：2023-07-12 13:25:40 雪桃好文我要投稿

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數學解題的七種技巧

　　解題的學習過程通常的程序是：閱讀數學知識，理解概念；在對例題和老師的講解進行反思，思考例題的方法、技巧和解題的規范過程；然后做數學練習題。以下是小編為大家收集的數學解題的七種技巧，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

數學解題的七種技巧

　　一切解題的策略的基本出發點在于“變換”，即把面臨的問題轉化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對新題的考察，發現原題的解題思路，最終達到解決原題的目的。

　　基于這樣的認識，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。

　　一、熟悉化策略

　　所謂熟悉化策略，就是當我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設法把它化為曾經解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識、經驗或解題模式，順利地解出原題。

　　一般說來，對于題目的熟悉程度，取決于對題目自身結構的認識和理解。從結構上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結論（或問題）兩個方面。因此，要把陌生題轉化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結論（或問題）以及它們的聯系方式上多下功夫。

　　常用的途徑有：

　�。ㄒ唬�、充分聯想回憶基本知識和題型：

　　按照波利亞的觀點，在解決問題之前，我們應充分聯想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結論，從而解決現有的問題。

　　（二）、全方位、多角度分析題意：

　　對于同一道數學題，常常可以不同的側面、不同的角度去認識。因此，根據自己的知識和經驗，適時調整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。

　�。ㄈ┣‘敇嬙燧o助元素：

　　數學中，同一素材的題目，常常可以有不同的表現形式；條件與結論（或問題）之間，也存在著多種聯系方式。因此，恰當構造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結論（或條件與問題）的內在聯系，把陌生題轉化為熟悉題。

　　數學解題中，構造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構造圖形（點、線、面、體），構造算法，構造多項式，構造方程（組），構造坐標系，構造數列，構造行列式，構造等價性命題，構造反例，構造數學模型等等。

　　二、簡單化策略

　　所謂簡單化策略，就是當我們面臨的是一道結構復雜、難以入手的題目時，要設法把轉化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。

　　簡單化是熟悉化的補充和發揮。一般說來，我們對于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。

　　因此，在實際解題時，這兩種策略常常是結合在一起進行的，只是著眼點有所不同而已。

　　解題中，實施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有: 尋求中間環節，分類考察討論，簡化已知條件，恰當分解結論等。

　　1、尋求中間環節，挖掘隱含條件：

　　在些結構復雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經過適當組合抽去中間環節而構成的。

　　因此，從題目的因果關系入手，尋求可能的中間環節和隱含條件，把原題分解成一組相互聯系的系列題，是實現復雜問題簡單化的一條重要途徑。

　　2、分類考察討論：

　　在些數學題，解題的復雜性，主要在于它的條件、結論（或問題）包含多種不易識別的可能情形。對于這類問題，選擇恰當的分類標準，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實現復雜問題簡單化。

　　3、簡單化已知條件：

　　有些數學題，條件比較抽象、復雜，不太容易入手。這時，不妨簡化題中某些已知條件，甚至暫時撇開不顧，先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。

　　4、恰當分解結論：

　　有些問題，解題的主要困難，來自結論的抽象概括，難以直接和條件聯系起來，這時，不妨猜想一下，能否把結論分解為幾個比較簡單的部分，以便各個擊破，解出原題。

　　三、直觀化策略：

　　所謂直觀化策略，就是當我們面臨的是一道內容抽象，不易捉摸的題目時，要設法把它轉化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對象之間的聯系，找到原題的解題思路。

　�。ㄒ唬�、圖表直觀：

　　有些數學題，內容抽象，關系復雜，給理解題意增添了困難，常常會由于題目的抽象性和復雜性，使正常的思維難以進行到底。

　　對于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內容形象化，復雜關系條理化，使思維有相對具體的依托，便于深入思考，發現解題線索。

　　（二）、圖形直觀：

　　有些涉及數量關系的題目，用代數方法求解，道路崎嶇曲折，計算量偏大。這時，不妨借助圖形直觀，給題中有關數量以恰當的幾何分析，拓寬解題思路，找出簡捷、合理的解題途徑。

　�。ㄈ�、圖象直觀：

　　不少涉及數量關系的題目，與函數的圖象密切相關，靈活運用圖象的直觀性，常常能以簡馭繁，獲取簡便，巧妙的解法。

　　四、特殊化策略

　　所謂特殊化策略，就是當我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，以便從特殊問題的研究中，拓寬解題思路，發現解答原題的方向或途徑。

　　五、一般化策略

　　所謂一般化策略，就是當我們面臨的是一個計算比較復雜或內在聯系不甚明顯的特殊問題時，要設法把特殊問題一般化，找出一個能夠揭示事物本質屬性的一般情形的方法、技巧或結果，順利解出原題。

　　六、整體化策略

　　所謂整體化策略，就是當我們面臨的是一道按常規思路進行局部處理難以奏效或計算冗繁的題目時，要適時調整視角，把問題作為一個有機整體，從整體入手，對整體結構進行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問題的途徑和辦法。

　　七、間接化策略

　　所謂間接化策略，就是當我們面臨的是一道從正面入手復雜繁難，或在特定場合甚至找不到解題依據的題目時，要隨時改變思維方向，從結論（或問題）的反面進行思考，以便化難為易解出原題。

　　拓展：如何提高數學解題能力

　　美國著名數學家G·波利亞（George Polya，1887—1985）說過“問題是數學的心臟”，“掌握數學意味著什么？那就是善于解題�！钡珨祵W問題千變萬化，無窮無盡，“題�！泵Ｃ�。要使學生身臨題海而得心應手，身居考室而處之泰然，就必須培養他們的解題應變能力。有了較強的應變能力，在漫游“題海”時，才能隨機應變。那么如何培養學生的解題應變能力呢？

　　一、解題思路的理解和來源

　　平時大家評論一個孩子“聰明”或者“不聰明”的依據是看這個孩子對某件事或很多事得反應以及有沒有他自己的看法。如一個“聰明”的孩子，往往反應快、思路清楚，有自己的主見。那么我們認為“反應快、思路清楚、有主見”是聰明的前提。學習成績好的同學，反應快、思路清楚、有主見就是他們的必備條件。

　　那么解題也如此，必須反應快、思路清楚、有主見。同一道題，不同的學生從不同的角度去理解，由不同的看法最終匯聚成正確的解題過程，這是解題的必然。無論是推導、還是硬性套用、憑借經驗做題，都是思路的一種。有的同學由開始思路不清漸漸轉變為清楚，有的同學根本沒有思路，這就形成了做題的上的差距。

　　那么，如果能教會給學生，在處理數學問題上，第一時間最短的思考路徑，并且清晰無比，這樣，每個學生都是“聰明的孩子”，在做題上就能攻無不克戰無不勝。

　　解題思路的來源就是對題的看法，也就是第一出發點在哪。

　　二、如何在短期內訓練解題能力

　　數學解題思想其實只要掌握一種即可，即必要性思維。這是解答數學試題的萬用法門，也是最直接、最快捷的答題思想。什么是必要性思維？必要性思維就是通過所求結論或者某一限定條件尋求前提的思想。幾乎所有數學命題都可以用這一思想進行破解。

　　縱觀近幾年高考數學試題，可以看出試題加強了對知識點靈活應用的考察。這就對考生的思維能力要求大大加強。如何才能提升思維能力，很多考生便依靠題海戰術，寄希望多做題來應對多變的考題，然而憑借題海戰術的功底仍然難以獲得科學的思維方式，以至收效甚微。最主要的原因就是解題思路隨意造成的，并非所謂“不夠用功”等原因。由于思維能力的原因，考生在解答高考題時形成一定的障礙。主要表現在兩個方面，一是無法找到解題的切入點，二是雖然找到解題的突破口，但做這做著就走不下去了。如何解決這兩大障礙呢？本章將介紹行之有效的方法，使考生獲得有益的啟示。

　　三.尋找解題途徑的基本方法——從求解（證）入手

　　遇到有一定難度的考題我們會發現出題者設置了種種障礙。從已知出發，岔路眾多，順推下去越做越復雜，難得到答案，如果從問題入手，尋找要想獲得所求，必須要做什么，找到“需知”后，將“需知”作為新的問題，直到與“已知“所能獲得的“可知”相溝通，將問題解決。事實上，在不等式證明中采用的“分析法”就是這種思維的充分體現，我們將這種思維稱為“逆向思維”——目標前提性思維。

　　四.完成解題過程的關鍵——數學式子變形

　　解答高考數學試題遇到的第二障礙就是數學式子變形。一道數學綜合題，要想完成從已知到結論的過程，必須經過大量的數學式子變形，而這些變形僅靠大量的做題過程是無法真正完全掌握的，很多考生都有這樣的經歷，在解一道復雜的考題時，做不下去了，而回過頭來再看一看答案，才恍然大悟，解法這么簡單，后悔莫及，埋怨自己怎么糊涂到沒有把式子再這么變一下呢?

　　其實數學解題的每一步推理和運算，實質都是轉換（變形）.但是，轉換（變形）的目的是更好更快的解題，所以變形的方向必定是化繁為簡，化抽象為具體，化未知為已知，也就是創造條件向有利于解題的方向轉化.還必須注意的是，一切轉換必須是等價的，否則解答將出現錯誤。解決數學問題實際上就是在題目的已知條件和待求結論中架起聯系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎上，化歸和消除這些差異。尋找差異是變形依賴的原則，變形中一些規律性的東西需要總結。在后面的幾章中我們列舉的一些思維定勢，就是在數學思想指導下總結出來的。在解答高考題中時刻都在進行數學變形由復雜到簡單，這也就是轉化，數學式子變形的思維方式：時刻關注所求與已知的差異。

　　五.夯實基礎----回歸課本

　　1.揭示規律---- 掌握解題方法

　　高考試題再難也逃不了課本揭示的思維方法及規律。我們說回歸課本，不是簡單的梳理知識點。課本中定理，公式推證的過程就蘊含著重要的方法，而很多考生沒有充分暴露思維過程，沒有發覺其內在思維的規律就去解題，而希望通過題海戰術去“悟”出某些道理，結果是題海沒少泡，卻總也不見成效，最終只能留在理解的膚淺，僅會機械的模仿，思維水平低的地方。因此我們要側重基本概念，基本理論的剖析，達到以不變應萬變。

　　例如：課本在講絕對值和不等式時，根據|a-b|≤|a|+|b|推出|a-b|≤|a-c|+|b-c|,這里運用了插值法|a-b|=|(a-c)-(b-c)|≤|a-c|+|b-c|這一思維方法，我們要弄清之所以這樣想，之所以得到這個解法的全部醞釀過程。

　　2.融會貫通---構建網絡

　　在課本函數這章里，有很多重要結論，許多學生由于理解不深入，只靠死記硬背,最后造成記憶不牢，考試時失分。在課本函數這章里，有很多重要結論，許多學生由于理解不深入，只靠死記硬背,最后造成記憶不牢，考試時失分。

　　例如：若f(x+a)=f(b-x) ，則 f(x)關于（a+b）/2 對稱。如何理解？我們令x1=a+x,x2=b-x,則f(x1)=f(x2) ,x1+x2=a+b=常數，即兩自變量之和是定值，它們對應的函數值相等，這樣就理解了對稱的本質。結合解析幾何中的中點坐標的橫坐標為定值，或用特殊函數，二次函數的圖像，記憶這個結論就很簡單了，只要x1+x2=a+b=常數；f(x1)=f(x2)，它可以寫成許多形式：如 f(x)=f(a+b-x)。同樣關于點對稱，則f(x1)+f(x2)=b,x1+x2=a（中點坐標橫縱坐標都為定值），關于（a/2,b/2）對稱。再如，若f(x)=f( 2a-x),f(x)=(2b-x), 則f(x)的周期為 T=2|a-b|。如何理解記憶這個結論，我們類比三角函數f(x)=sinx，從正弦函數圖形中我們可知x=π/2,x=π3/2為兩個對稱軸，2|3/2π-π/2|=2π，而得周期為2π，這樣我們就很容易記住這一結論，即使在考場上，思維斷路，只要把圖一畫，就可寫出這一結論。這就是抽象到具體與數形結合的思想的體現。

　　思想提煉總結在復習過程中起著關鍵作用。類似的結論 f(x)關于點A(a,0) 及B（b,0）對稱，則 f（x）周期T=2|b-a|, 若f（x）關于點 A（a，0）及x=b對稱，則f（x）周期T=4|b-a|,

　　這樣我們就在函數這章做到由厚到薄，無需死記什么內容了，同時我們還要學會這些結論的逆用。例：兩對稱軸 x=a,x=b當b=2a(b>a)則為偶函數.同樣以對稱點B(b,0), 對稱軸x=a,b=2a是為奇函數.

　　3.加強理解----提升能力

　　復習要真正的回到重視基礎的軌道上來。沒有基礎談不到不到能力。這里的基礎不是指機械重復的訓練，而是指要搞清基本原理，基本方法，體驗知識形成過程以及對知識本質意義的理解與感悟。只有深刻理解概念，才能抓住問題本質，構建知識網絡。

　　4.思維模式化----解題步驟固定化

　　解答數學試題有一定的規律可循，解題操作要有明確的思路和目標，要做到思維模式化。所謂模式化也就是解題步驟固定化，一般思維過程分為以下步驟：

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　　審題的關鍵是，首先弄清要求（證）的是什么？已知條件是什么？結論是什么？條件的表達方式是否能轉換（數形轉換，符號與圖形的轉換，文字表達轉為數學表達等），所給圖形和式子有什么特點？能否用一個圖形（幾何的、函數的或示意的）或數學式子（對文字題）將問題表達出來？有什么隱含條件？由已知條件能推得哪些可知事項和條件？要求未知結論，必須做什么?需要知道哪些條件（需知）？

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　　關注已知與所求的差距，進行數學式子變形（轉化），在需知與可知間架橋（缺什么補什么）

　　1. 能否將題中復雜的式子化簡？

　　2. 能否對條件進行劃分，將大問題化為幾個小問題？

　　3. 能否進行變量替換（換元）、恒等變換，將問題的形式變得較為明顯一些？

　　4. 能否代數式子幾何變換（數形結合）？利用幾何方法來解代數問題？或利用代數（解析）方法來解幾何問題？數學語言能否轉換？（向量表達轉為坐標表達等）

　　5. 最終目的：將未知轉化為已知。

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　　要求解答清楚，簡潔，正確，推理嚴密，運算準確，不跳步驟；表達規范，步驟完整

　　以上步驟可歸納總結為：目標分析，條件分析，差異分析，結構分析，逆向思維，減元，直觀，特殊轉化，主元轉化，換元轉化。

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