數學課堂中的“數學化”

　　兒童如何建構自己對數學概念的理解？兒童之間理解上的差異是如何產生的？如何促進學生早期數學思維和數學能力的發展？為了解決這些問題，我們需要引入一個新的概念——“數學化”。

　　“數學化”是西方學者近年來提出的一個概念，具體是指師生在數學教學過程中共同努力、相互作用，使兒童準確理解數學表達或運算所需的規則和準則，最終形成自己關于各種物體和情境的數學模式。“數學化”對于學生數學思維的發展和解決問題能力的形成非常重……

　　　　二、“數學化”的過程

　　研究兒童的“數學化”，我們要追溯到兒童在學校的最早幾年。從數學問題在課堂中出現開始，兒童就開始了數學化的過程。下面，我們從教師的解釋、學生的表征和早期的算式三個方面來分析兒童的數學化。

　　1.教師的解釋

　　黑板上畫了四只站在電線上的鳥，旁邊有三只正飛的鳥。教師的任務是讓孩子們把這樣一幅圖畫理解為像7-3=4這樣的“算式”。這是一個最初步的數學化問題。在教學中，教師常常把這些復雜的關系分解為一系列的程序或更小的步驟，花費大量的時間解說、指導和糾誤，直到全班大多數學生理解了這些關系。下面的教學錄像片段典型地反映了這一過程。

　　師：在這個式子里，數字"4"的含義是什么？（手指數字"4"）

　　生：是不是因為有四只鳥？（提高聲音問）

　　師：這兒有許多鳥（多于四只），但這四只鳥有什么特別的地方？

　　生：（幾個學生立即討論起來）它們站著。它們先來。它們個頭比較小。它們睡著了。

　　師：那么，式子中數字"3"的含義是什么呢？（指著"3"）

　　生：（幾個學生）三只鳥在飛。它們剛到這兒。它們去回家。不是，它們飛走了！

　　師：好，它們飛走了。那么，我們為什么又在這里寫一個減號呢？（指著減號）

　　生：因為它們飛走了。

　　師：那么等號的意思是……？

　　生：（幾個學生一起說）它們一共剩多少只？結果……總共剩下多少只？

　　師：對。結果總共剩下四只鳥。

　　很明顯，通過如此的反復問答能夠促進學生把圖形表達和數式表達聯系起來，形成解釋規則的能力，在一些學生的思維中完成了最為初步的數學化。為此，教材的編寫者也進行了很多努力。他們通常用簡潔易讀的方式組織圖片，把要數的物體排列好，避免干擾項，用最簡單的和最顯眼的特征區別它們，并把相同任務的內容分組。

　　2.學生的表征

　　實際上，師生的反復問答常常只能使那些與教師思維方式相近的學生較好地完成數學化，最根本的原因是學生對圖片的不同表征。研究表明，學生實現圖片到算式的轉化是一個解釋的推理過程。在學習的過程中，學生經常要對圖畫中的數學關系進行推斷，然后與教師及其它同學的判斷進行比較性反思，最終形成自己的數學模式。比如，"1+1=2"表示一只鳥停留，一只鳥飛來。"4-3=1"表示留下的鳥比飛走的鳥少3只。“7×2=14”表示7只鳥共有14條腿。飛走的鳥（離開一個群體）可以形成減的模式，這些鳥加入另一個群體又形成了加的模式等。

　　兒童一旦完成了圖畫與數學符號關系之間的轉化，并與“公認”的關系一致，就完成了這方面的數學化。但這一過程是緩慢而且復雜的。對于不同的學生而言，沒有一對一的現實圖片與數學表達符號之間的轉向，同一幅圖畫可以被不同的學生理解成多種不同的解釋。值得注意的是，一些教師把這些早期的表征和圖畫看作是不言自明的，用許多武斷的指令——“就看這兒”“你只需看這兒”引導學生。這種模糊的解釋超越了學生的接受力而成為一種

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