2013考研數學 矩陣的特征與向量講解

矩陣的特征值與特征向量問題是考研數學中一常考點，然而在最后沖刺這一階段，同學們在做真題和模擬題《考研數學絕對考場最后八套題》時對這一考點還存在一些疑惑，對此，考研數學的輔導老師特撰此文講解矩陣的特征值與特征向量問題，助同學們考研成功。

矩陣的特征值與特征向量的定義：

設為階矩陣，若存在常數和向量，使得，則稱為矩陣的特征值，稱為矩陣的屬于特征值的特征向量。

求特征值與特征向量的常用思路：

1.根據定義求特征值和特征向量。

2.當已給出矩陣，通過求出特征值，然后通過求齊次線性方程組的基礎解系，求出矩陣的屬于特征值的線性無關的特征向量。

3.利用關聯矩陣的特征值之間的關系求特征值，如互逆矩陣的特征值互為倒數;相似矩陣的特征值相同;和有相同的特征值等。并利用關聯矩陣特征向量之間的關系求矩陣的屬于特征值的特征向量，如當可逆時，、與對應的特征值的特征向量相同等。

一般矩陣與實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質：

1.階矩陣的所有特征值之和等于矩陣的跡，階矩陣的所有特征值之積等于矩陣的行列式。

2.設為階矩陣的特征值，若為矩陣的屬于特征值的特征向量，則也是矩陣的屬于特征值的特征向量。

3.實對稱矩陣的特征值都是實數。

4.矩陣的不同特征值所對應的特征向量線性無關，實對稱矩陣的不同特征值所對應的特征向量正交。

上述講解得比較簡單，同學們可自行翻閱《2013全國碩士研究生入學統一考試線性代數輔導講義》，并結合相關典型例題習題來加深理解和掌握。

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