考研數學沖刺復習 矩陣對角化講解

2013考研數學復習已進入沖刺階段，考研數學專家針對有些同學在矩陣對角化這塊內容上仍存在一些困惑，特撰此文講解矩陣對角化相關的知識、注意要點及解題技巧，助力2013考研數學沖刺復習。

　　首先是矩陣對角化的概念：對于n階矩陣A，若存在一個n階可逆矩陣P，使P-1AP=Λ(Λ為對角矩陣)成立，則稱A可相似對角化，否則就稱A不可對角化。概念是要牢記于心的。

　　重要定理：若n階矩陣A可以對角化，則對角矩陣Λ的n個主對角線元素必是A的n個特征值λ1，λ2，…，λn(包括重根)，其相似變換矩陣P的n個列向量X1，X2，…，Xn是A的分別屬于λ1，λ2，…，λn的特征向量，且X1，X2，…，Xn線性無關，即有：P-1AP=Λ，其中Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，P=(X1，X2，…，Xn)為可逆陣，且AXj=λXj(j=1，2，…，n).

　　并非所有的n階矩陣都可對角化，只有滿足一定條件的矩陣才可對角化，下面是幾個相關結論：

　　結論1：n階矩陣A可以對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。

　　結論2：若n階矩陣A有n個兩兩不同的特征值，則A必可對角化。

　　結論3：設λi是矩陣A的任一個特征值，其代數重數為ni(即λi是ni重特征值)，其幾何重數為mi(即屬于λi的'線性無關的特征向量的最大個數，也是齊次線性方程組(λiE-A)X=0的基礎解系中的向量個數，mi=n-r(λiE-A))，則恒有mi≤ni。

　　結論4：設n階矩陣A的兩兩不等的特征值為λ1，λ2，…，λs(1≤s≤n)，則矩陣A可對角化的充分必要條件是，對A的每一個特征值λi，都有mi=ni(i=1，2，…，s)。

　　將n階矩陣A通過相似變換化成對角陣的計算步驟也是需要牢牢掌握的，由于此部分內容較簡單，各位考生可自行翻閱《湯家鳳考研數學復習大全》這部分內容來學習掌握，并結合書內典型例題加強理解。

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