考研數學線性代數主要考點及難點

　　線性代數這一塊兒，學得好的同學覺得非常簡單，無非就是套公式。但是學得不好的同學碰到線代題就發愁。但它作為考研數學必考科目，不會做的話損失真的很大。下面是小編幫大家整理的考研數學線性代數主要考點及難點，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　在數一、數二和數三中，線代部分占22%，雖然所占比例不及高數分值高，但這部分的成績也會直接影響整體成績，所以希望廣大考生要足夠重視。

　　提醒大家，線性代數的考題與高等數學、概率部分考題最大的不同就是，線性代數的一道考題可能會牽涉到行列式、矩陣、向量等等很多知識點，這是因為線性代數各個章節知識之間聯系非常緊密，知識是一個環環相扣且互相融合的。

　　線性代數概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系。因此考研復習重點應該先充分理解概念，掌握定理的條件、結論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規律、計算方法等等。基本概念、基本性質和基本方法一直是考研數學的重點。

　　所以，考生在復習中一定要重視基本概念、基本性質和基本方法的理解與掌握，多做一些基本題來鞏固基本知識，并及時進行總結，使所學知識能融會貫通，舉一反三。

　　根據往年經驗，我們為大家總結了線性代數的通常主要考點：

　　1、行列式——行列式這部分沒有太多內容，行列式的重點是計算，利用性質熟練準確的計算出行列式的值。

　　2、矩陣——矩陣是一個基礎，關聯到整個線代。矩陣的運算非常重要，尤其不要做非法的運算(因為大家習慣了數的運算，在做矩陣運算的時候容易受到數的影響，所以這個地方大家要把它搞清楚)。矩陣運算里一個很重要的就是初等變換。我們在解方程組，求特征向量都離不開這部分內容。這是我們矩陣部分的重點。

　　3、向量——向量這部分是邏輯性非常強的部分，主要包括證明(或判別)向量組的線性相關(無關)，線性表出等問題，此問題的關鍵在于深刻理解線性相關(無關)的概念及幾個相關定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。向量組的極大無關組，等價向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關系也是重點內容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關組及向量組和矩陣秩的有效方法。

　　4、特征值、特征向量——要會求特征值、特征向量，對具體給定的數值矩陣，一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關矩陣的特征值(的取值范圍)，可用定義Aξ=λξ，同時還應注意特征值和特征向量的性質及其應用。有關相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣。反過來，可由A的特征值，特征向量來確定A的參數或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應的特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對應的特征向量，從而確定出A、

　　另外，特征向量就是求齊次方程組的基礎解系，你前面基礎打牢了，這里又不是新的內容。

　　5、二次型——二次型的內容是針對于只考數學一、數學三的同學。二次型只要把其矩陣對應寫出來，其問題都可以轉化為對稱矩陣的對角型來討論。所以這部分的內容又聯系上前面的內容了。把前面的基礎打牢，后面的知識自然就掌握了。

　　在線性代數的兩個大題中，基本上都是多個知識點的綜合，從而達到對考生的運算能力、抽象概括能力、邏輯思維能力和綜合運用所學知識解決實際問題的能力的考核。因此，把基礎爛熟于心之后，再利用做題進行綜合思維的鍛煉，通過做一些綜合性較強的習題(或做近年的研究生考題)，邊做邊總結，以加深對概念、性質內涵的理解和應用方法的掌握。

　　學科工具

　　線代前幾個部分我們稱之為學科工具，包括：行列式、矩陣、秩。這一部分考點通常情況下是作為做后續解答題的工具而存在的，當然也可能會直接考查，以選擇題的形式單獨出現。

　　1、行列式部分的基本考點可以分為兩大部分：

　　首先第一部分考點就是行列式的計算，要求大家掌握行列式概念、性質和展開定理，以及計算行列式的公式，主要包括三部分：一是特殊的行列式，如上（下）三角行列式，低階行列式，范德蒙行列式；二是方陣的行列式，主要介紹在矩陣的各類運算下行列式的變化情況，包括矩陣的轉置、數乘、乘法以及分塊矩陣下行列式的計算公式，還包括逆矩陣和伴隨矩陣的行列式；三是結合特征值，矩陣所有特征值的乘積就等于矩陣的行列式，所以計算矩陣行列式的另一思路是求出矩陣所有的特征值。

　　2、矩陣是線性代數的核心知識，它是后面其他各章節的基礎，在向量組、線性方程組、特征值、二次型中均有體現。

　　首先要求大家熟悉常見矩陣，熟練掌握矩陣的運算以及法則（特別是不成立的運算法則：交換律和消去律），這是考試的最基本的要求。

　　其次是對特殊矩陣的考查，包括可逆矩陣、伴隨矩陣、初等矩陣、正交矩陣。

　　對于可逆矩陣是我們需要掌握其定義和性質、可逆性的討論以及計算逆矩陣的方法；對于伴隨矩陣需要掌握其定義、性質、以及秩的公式；對于初等矩陣我們需要掌握三類初等矩陣以及它們對應的逆矩陣和左行右列的定理即可；對于正交矩陣我們需要掌握其定義，性質。

　　3、秩是線性代數中最為常用的也是最好用的工具之一，它既是重點也是難點，比較抽象，秩是貫穿線性代數始終的一個核心概念，整個線性代數的核心理論體系都是通過秩來串聯和表達的。這里不僅僅要求要我們記住相關的定理和結論，更要求我們掌握與之相關的思想方法。

　　線性方程組和向量

　　考試中線代第一道解答題通常情況下出自兩個部分的內容，用矩陣表示的線性方程組的求解問題、用向量表示的線性方程組的解法，但是從本質上向量和矩陣都可以轉化為線性方程組的問題，所以這里核心要掌握線性方程組的解法。

　　首先關于線性方程組我們需要關注三個問題：解的存在性、唯一性、解的結構；同學們一定要掌握解的存在性及唯一性的判別，充要條件以及性質；解得結構重點要掌握和理解基礎解系的概念，這個部分常見的題型如下：

　　(1)線性方程組的求解；

　　(2)方程組解向量的判別及解的性質；

　　(3)齊次線性方程組的基礎解系；

　　(4)非齊次線性方程組的通解結構；

　　(5)兩個方程組的公共解、同解等問題。

　　其次關于向量這一部分，它既是重點又是難點，主要是因為其比較抽象，進而就會導致我們同學們在學習理解以及做題上的困難。這一部分主要是要掌握兩個核心概念：線性表示和線性相關。關于這兩個核心概念重點掌握其定義、充要條件（與秩的結合）以及性質，關于這兩類題型我們一般是分別與非齊次線性方程組和齊次線性方程組一一對應來求解。

　　特征值與特征向量、相似、二次型

　　最后一部分考點是二次型，二次型是與其二次型的矩陣對應的，因此有關二次型的很多問題我們都可以轉化為二次型的矩陣問題，所以正確寫出二次型的矩陣是這一章節最基礎的要求，而且結合實對稱矩陣的性質的考查，也是一個重點。本章節的常見題型如下：

　　(1)二次型表示成矩陣形式；

　　(2)化二次型為標準形；

　　(3)二次型正定性的判別。

　　線性代數部分的知識點比較瑣碎，各部分知識點之間的聯系一定要掌握清楚，另外關于這門學科的計算題也要多加練習，考試中不光要算對，還要算的快，以最短的時間取得最高的分數是我們的目的。

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