高中數學《正弦定理》教案

時間：2023-01-07 06:32:15 高中數學教案我要投稿

高中數學《正弦定理》教案4篇

　　作為一名優秀的教育工作者，通常需要用到教案來輔助教學，教案有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。如何把教案做到重點突出呢？以下是小編為大家整理的高中數學《正弦定理》教案，僅供參考，大家一起來看看吧。

高中數學《正弦定理》教案4篇

高中數學《正弦定理》教案1

　　教材地位與作用：

　　本節知識是必修五第一章《解三角形》的第一節內容，與初中學習的三角形的邊和角的基本關系有密切的聯系與判定三角形的全等也有密切聯系，在日常生活和工業生產中也時常有解三角形的問題，而且解三角形和三角函數聯系在高考當中也時常考一些解答題。因此，正弦定理的知識非常重要。

　　學情分析：

　　作為高一學生，同學們已經掌握了基本的三角函數，特別是在一些特殊三角形中，而學生們在解決任意三角形的邊與角問題，就比較困難。

　　教學重點：正弦定理的內容，正弦定理的證明及基本應用。

　　教學難點：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

　　(根據我的教學內容與學情分析以及教學重難點，我制定了如下幾點教學目標)

　　教學目標分析：

　　知識目標：理解并掌握正弦定理的證明，運用正弦定理解三角形。

　　能力目標：探索正弦定理的證明過程，用歸納法得出結論。

　　情感目標：通過推導得出正弦定理，讓學生感受數學公式的整潔對稱美和數學的實際應用價值。

　　教法學法分析：

　　教法：采用探究式課堂教學模式，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發現”為基本探究內容，以生活實際為參照對象，讓學生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導，并逐步得到深化。

　　學法：指導學生掌握“觀察——猜想——證明——應用”這一思維方法，采取個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用于對任意三角形性質的探究。讓學生在問題情景中學習，觀察，類比，思考，探究，動手嘗試相結合，增強學生由特殊到一般的數學思維能力，鍥而不舍的求學精神。

　　教學過程

　　(一)創設情境，布疑激趣

　　“興趣是最好的老師”，如果一節課有個好的開頭，那就意味著成功了一半，本節課由一個實際問題引入，“工人師傅的一個三角形的模型壞了，只剩下如右圖所示的部分，∠a=47°,∠b=53°,ab長為1m,想修好這個零件，但他不知道ac和bc的`長度是多少好去截料，你能幫師傅這個忙嗎?”激發學生幫助別人的熱情和學習的興趣，從而進入今天的學習課題。

　　(二)探尋特例，提出猜想

　　1.激發學生思維，從自身熟悉的特例(直角三角形)入手進行研究，發現正弦定理。

　　2.那結論對任意三角形都適用嗎?指導學生分小組用刻度尺、量角器、計算器等工具對一般三角形進行驗證。

　　3.讓學生總結實驗結果，得出猜想：

　　在三角形中，角與所對的邊滿足關系

　　這為下一步證明樹立信心，不斷的使學生對結論的認識從感性逐步上升到理性。

　　(三)邏輯推理，證明猜想

　　1.強調將猜想轉化為定理，需要嚴格的理論證明。

　　2.鼓勵學生通過作高轉化為熟悉的直角三角形進行證明。

　　3.提示學生思考哪些知識能把長度和三角函數聯系起來，繼而思考向量分析層面，用數量積作為工具證明定理，體現了數形結合的數學思想。

　　4.思考是否還有其他的方法來證明正弦定理，布置課后練習，提示，做三角形的外接圓構造直角三角形，或用坐標法來證明

　　(四)歸納總結，簡單應用

　　1.讓學生用文字敘述正弦定理，引導學生發現定理具有對稱和諧美，提升對數學美的享受。

　　2.正弦定理的內容，討論可以解決哪幾類有關三角形的問題。

　　3.運用正弦定理求解本節課引入的三角形零件邊長的問題。自己參與實際問題的解決，能激發學生知識后用于實際的價值觀。

　　(五)講解例題，鞏固定理

　　1.例1。在△abc中，已知a=32°,b=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

　　例1簡單，結果為唯一解，如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對邊，都可利用正弦定理來解三角形。

　　2.例2.在△abc中,已知a=20cm,b=28cm,a=40°,解三角形.

　　例2較難，使學生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學生熟悉掌握已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形。完了把時間交給學生。

　　(六)課堂練習，提高鞏固

　　1.在△abc中,已知下列條件,解三角形.

　　(1)a=45°,c=30°,c=10cm(2)a=60°,b=45°,c=20cm

　　2.在△abc中,已知下列條件,解三角形.

　　(1)a=20cm,b=11cm,b=30°(2)c=54cm,b=39cm,c=115°

　　學生板演，老師巡視，及時發現問題，并解答。

　　(七)小結反思，提高認識

　　通過以上的研究過程，同學們主要學到了那些知識和方法?你對此有何體會?

　　1.用向量證明了正弦定理，體現了數形結合的數學思想。

　　2.它表述了三角形的邊與對角的正弦值的關系。

　　3.定理證明分別從直角、銳角、鈍角出發，運用分類討論的思想。

　　(從實際問題出發，通過猜想、實驗、歸納等思維方法，最后得到了推導出正弦定理。我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，我們不僅收獲著結論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。在強調研究性學習方法，注重學生的主體地位，調動學生積極性，使數學教學成為數學活動的教學。)

　　(八)任務后延，自主探究

　　如果已知一個三角形的兩邊及其夾角，要求第三邊，怎么辦?發現正弦定理不適用了，那么自然過渡到下一節內容，余弦定理。布置作業，預習下一節內容。

　　(九)作業布置

　　p10習題1.1a組習題1。

高中數學《正弦定理》教案2

　　一、教材分析

　　《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一節內容，也是三角形理論中的一個重要內容，與初中學習的三角形的邊和角的基本關系有密切的聯系。在此之前，學生已經學習過了正弦函數和余弦函數，知識儲備已足夠。它是后續課程中解三角形的理論依據，也是解決實際生活中許多測量問題的工具。因此熟練掌握正弦定理能為接下來學習解三角形打下堅實基礎，并能在實際應用中靈活變通。

　　二、教學目標

　　根據上述教材內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征及原有知識水平，制定如下教學目標：

　　知識目標：理解并掌握正弦定理的證明，運用正弦定理解三角形。

　　能力目標：探索正弦定理的證明過程，用歸納法得出結論，并能掌握多種證明方法。

　　情感目標：通過推導得出正弦定理，讓學生感受數學公式的整潔對稱美和數學的實際應用價值。

　　三、教學重難點

　　教學重點：正弦定理的內容，正弦定理的證明及基本應用。

　　教學難點：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

　　四、教法分析

　　依據本節課內容的特點，學生的認識規律，本節知識遵循以教師為主導，以學生為主體的指導思想，采用與學生共同探索的教學方法，命題教學的發生型模式，以問題實際為參照對象，激發學生學習數學的好奇心和求知欲，讓學生的思維由問題開始，到猜想的`得出，猜想的探究，定理的推導，并逐步得到深化，并且運用例題和習題來強化內容的掌握，突破重難點。即指導學生掌握“觀察——猜想——證明——應用”這一思維方法。學生采用自主式、合作式、探討式的學習方法，這樣能使學生積極參與數學學習活動，培養學生的合作意識和探究精神。

　　五、教學過程

　　本節知識教學采用發生型模式：

　　1、問題情境

　　有一個旅游景點，為了吸引更多的游客，想在風景區兩座相鄰的山之間搭建一條觀光索道。已知一座山A到山腳C的上面斜距離是1500米，在山腳測得兩座山頂之間的夾角是450，在另一座山頂B測得山腳與A山頂之間的夾角是300。求需要建多長的索道？

　　可將問題數學符號化，抽象成數學圖形。即已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

　　此題可運用做輔助線BC邊上的高來間接求解得出。

　　提問：有沒有根據已提供的數據，直接一步就能解出來的方法？

　　思考：我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系。那我們能不能得到關于邊、角關系準確量化的表示呢？

　　2、歸納命題

　　我們從特殊的三角形直角三角形中來探討邊與角的數量關系：

　　在如圖Rt三角形ABC中，根據正弦函數的定義

高中數學《正弦定理》教案3

　　高中數學正弦定理教案，一起拉看看吧。

　　本節內容是正弦定理教學的第一節課，其主要任務是引入并證明正弦定理．做好正弦定理的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力．

　　本節課以及后面的解三角形中涉及到計算器的使用與近似計算，這是一種基本運算能力，學生基本上已經掌握了．若在解題中出現了錯誤，則應及時糾正，若沒出現問題就順其自然，不必花費過多的時間．

　　本節可結合課件“正弦定理猜想與驗證”學習正弦定理．

　　三維目標

　　1．通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法，會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

　　2．通過正弦定理的探究學習，培養學生探索數學規律的思維能力，培養學生用數學的方法去解決實際問題的能力．通過學生的積極參與和親身實踐，并成功解決實際問題，激發學生對數學學習的熱情，培養學生獨立思考和勇于探索的創新精神．

　　重點難點

　　教學重點：正弦定理的證明及其基本運用．

　　教學難點：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，判斷解的個數．

　　課時安排

　　1課時

　　教學過程

　　導入新課

　　思路1.(特例引入)教師可先通過直角三角形的特殊性質引導學生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的邊角關系，若∠C為直角，則有a＝csinA，b＝csinB，這兩個等式間存在關系嗎？學生可以得到asinA＝bsinB，進一步提問，等式能否與邊c和∠C建立聯系？從而展開正弦定理的探究．

　　思路2.(情境導入)如圖，某農場為了及時發現火情，在林場中設立了兩個觀測點A和B，某日兩個觀測點的林場人員分別測到C處有火情發生．在A處測到火情在北偏西40°方向，而在B處測到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處．現在要確定火場C距A、B多遠？將此問題轉化為數學問題，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC與BC的長．”這就是一個解三角形的問題．為此我們需要學習一些解三角形的必要知識，今天要探究的是解三角形的第一個重要定理——正弦定理，由此展開新課的探究學習．

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　1閱讀本章引言，明確本章將學習哪些內容及本章將要解決哪些問題？

　　2聯想學習過的.三角函數中的邊角關系，能否得到直角三角形中角與它所對的邊之間在數量上有什么關系？

　　3由2得到的數量關系式，對一般三角形是否仍然成立？

　　4正弦定理的內容是什么，你能用文字語言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？

　　5什么叫做解三角形？

　　6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢？

　　活動：教師引導學生閱讀本章引言，點出本章數學知識的某些重要的實際背景及其實際需要，使學生初步認識到學習解三角形知識的必要性．如教師可提出以下問題：怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂的海拔高度？這些實際問題的解決需要我們進一步學習任意三角形中邊與角關系的有關知識．讓學生明確本章將要學習正弦定理和余弦定理，并學習應用這兩個定理解三角形及解決測量中的一些問題．

　　關于任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的邊角關系，教師引導學生探究其數量關系．先觀察特殊的直角三角形．如下圖，在Rt△ABC中，設BC＝a，AC＝b，AB＝c，根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，則asinA＝bsinB＝csinC＝c.從而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.

　　那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立呢？教師引導學生畫圖討論分析．

　　如下圖，當△ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角的三角函數的定義，有CD＝asinB＝bsinA，則asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.從而asinA＝bsinB＝csinC.

　　(當△ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學生自己完成)

　　通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立．教師點出這就是今天要學習的三角形中的重要定理——正弦定理．

　　正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

　　asinA＝bsinB＝csinC

　　上述的探究過程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進行證明．教師提醒學生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時點撥學生觀察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各邊與其對應角的正弦之間的一個關系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系；描述了任意三角形中大邊對大角的一種準確的數量關系．因為如果∠A＜∠B，由三角形性質，得a＜b.當∠A、∠B都是銳角，由正弦函數在區間(0，π2)上的單調性，可知sinA＜sinB.當∠A是銳角，∠B是鈍角時，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函數在區間(π2，π)上的單調性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.

　　正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵學生課下進一步探究正弦定理的其他證明方法．

　　討論結果：

　　(1)～(4)略．

　　(5)已知三角形的幾個元素(把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形．

　　(6)應用正弦定理可解決兩類解三角形問題：①已知三角形的任意兩個角與一邊，由三角形內角和定理，可以計算出三角形的另一角，并由正弦定理計算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”．這類問題的解是唯一的．②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可以計算出另一邊的對角的正弦值，進而確定這個角和三角形其他的邊和角，即“兩邊一對角問題”．這類問題的答案有時不是唯一的，需根據實際情況分類討論．

　　應用示例

　　例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．

　　活動：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程，在本例中就是求解∠C，b，c.

　　此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題，直接應用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求∠C，再利用正弦定理即可．

　　解：根據三角形內角和定理，得

　　∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.

　　根據正弦定理，得

　　b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；

　　c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．

　　點評：(1)此類問題結果為唯一解，學生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內角和定理180°求出第三個角，再利用正弦定理．

高中數學《正弦定理》教案4

　　一、教材分析

　　“解三角形”既是高中數學的基本內容，又有較強的應用性，在這次課程改革中，被保留下來，并獨立成為一章。這部分內容從知識體系上看，應屬于三角函數這一章，從研究方法上看，也可以歸屬于向量應用的一方面。從某種意義講，這部分內容是用代數方法解決幾何問題的典型內容之一。而本課“正弦定理”，作為單元的起始課，是在學生已有的三角函數及向量知識的基礎上，通過對三角形邊角關系作量化探究，發現并掌握正弦定理(重要的解三角形工具)，通過這一部分內容的學習，讓學生從“實際問題”抽象成“數學問題”的建模過程中，體驗 “觀察——猜想——證明——應用”這一思維方法，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神。同時在解決問題的過程中，感受數學的力量，進一步培養學生對數學的學習興趣和“用數學”的意識。

　　二、學情分析

　　我所任教的學校是我縣一所農村普通中學，大多數學生基礎薄弱，對“一些重要的數學思想和數學方法”的應用意識和技能還不高。但是，大多數學生對數學的興趣較高，比較喜歡數學，尤其是象本節課這樣與實際生活聯系比較緊密的內容，相信學生能夠積極配合，有比較不錯的表現。

　　三、教學目標

　　1、知識和技能：在創設的問題情境中，引導學生發現正弦定理的內容，推證正弦定理及簡單運用正弦定理解決一些簡單的解三角形問題。

　　過程與方法：學生參與解題方案的`探索，嘗試應用觀察——猜想——證明——應用”等思想方法，尋求最佳解決方案，從而引發學生對現實世界的一些數學模型進行思考。

　　情感、態度、價值觀：培養學生合情合理探索數學規律的數學思想方法，通過平面幾何、三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。同時，通過實際問題的探討、解決，讓學生體驗學習成就感，增強數學學習興趣和主動性，鍛煉探究精神。樹立“數學與我有關，數學是有用的，我要用數學，我能用數學”的理念。

　　2、教學重點、難點

　　教學重點：正弦定理的發現與證明;正弦定理的簡單應用。

　　教學難點：正弦定理證明及應用。

　　四、教學方法與手段

　　為了更好的達成上面的教學目標，促進學習方式的轉變，本節課我準備采用“問題教學法”，即由教師以問題為主線組織教學，利用多媒體和實物投影儀等教學手段來激發興趣、突出重點，突破難點，提高課堂效率，并引導學生采取自主探究與相互合作相結合的學習方式參與到問題解決的過程中去，從中體驗成功與失敗，從而逐步建立完善的認知結構。

　　五、教學過程

　　為了很好地完成我所確定的教學目標，順利地解決重點，突破難點，同時本著貼近生活、貼近學生、貼近時代的原則，我設計了這樣的教學過程：

　　(一)創設情景，揭示課題

　　問題1：寧靜的夜晚，明月高懸，當你仰望夜空，欣賞這美好夜色的時候，會不會想要知道：那遙不可及的月亮離我們究竟有多遠呢?

　　1671年兩個法國天文學家首次測出了地月之間的距離大約為 385400km，你知道他們當時是怎樣測出這個距離的嗎?

　　問題2：在現在的高科技時代，要想知道某座山的高度，沒必要親自去量，只需水平飛行的飛機從山頂一過便可測出，你知道這是為什么嗎?還有，交通警察是怎樣測出正在公路上行駛的汽車的速度呢?要想解決這些問題，其實并不難，只要你學好本章內容即可掌握其原理。(板書課題《解三角形》)

　　[設計說明]引用教材本章引言，制造知識與問題的沖突，激發學生學習本章知識的興趣。

　　(二)特殊入手，發現規律

　　問題3：在初中，我們已經學習了《銳角三角函數和解直角三角形》這一章，老師想試試你的實力，請你根據初中知識，解決這樣一個問題。在Rt⊿ABC中sinA= ，sinB= ,sinC= ,由此，你能把這個直角三角形中的所有的邊和角用一個表達式表示出來嗎?

　　引導啟發學生發現特殊情形下的正弦定理。

　　(三)類比歸納，嚴格證明

　　問題4：本題屬于初中問題，而且比較簡單，不夠刺激，現在如果我為難為難你，讓你也當一回老師，如果有個學生把條件中的Rt⊿ABC不小心寫成了銳角⊿ABC，其它沒有變，你說這個結論還成立嗎?