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普通高中數(shù)學課程標準教案
一、本模塊的內容與地位作用
幾何學是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數(shù)學學科。立體幾何是幾何學的重要組成部分。為了使學生能夠從現(xiàn)實世界中的具體實物抽象出幾何圖形，建立點、直線和平面的概念，培養(yǎng)他們的空間觀念和想象能力，以及運用這些幾何知識解決問題的能力，《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）》把立體幾何的教學分成兩部分。第一部分是在必修課程的立體幾何初步中，將從現(xiàn)實世界中具體實物的整體觀察入手，認識最基本的空間幾何圖形（柱、錐、臺、球）及其直觀圖的畫法，并了解這些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法。然后，再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、直線、平面的概念及其相互位置關系；通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解有關直線和平面平行、垂直的性質與判定，論證一些有關空間直線和平面位置關系的簡單命題。第二部分是在選修課程的系列2-1中，與空間中向量的學習相結合，進一步論證和解決一些有關空間圖形的位置關系和度量問題。
本冊教科書的第一章，通過較多的實例，引導學生觀察自己身邊現(xiàn)實世界中的建筑和實際物體，認識它們都是由柱、錐、臺、球及其簡單組合體構成的立體圖形，并引導學生認識柱、錐、臺、球的結構特征，讓學生能夠運用這些特征去描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構。在這一章中，還要求學生學習繪制簡單空間圖形的三視圖和直觀圖，了解柱、錐、臺、球的表面積和體積計算公式，目的是為了幫助學生進一步發(fā)展空間觀念和想象能力，畫圖的要求不像學習機械制圖那樣嚴格，計算公式也不要求學生記憶。
在第二章中，改變了以往教學立體幾何的順序，沒有從抽象的概念出發(fā)，推導點、直線和平面的相互位置關系，而是借助直觀具體的實物或長方體模型，讓學生通過一系列的實際活動，直觀感知、操作確認、思辯論證，認識點、直線和平面的垂直與平行等相互位置關系。使學生經歷了從直觀到抽象，從特殊到一般的學習過程，既學習了立體幾何的知識，發(fā)展空間觀念，又循序漸進地培養(yǎng)了學生的抽象思維和邏輯推理能力。
解析幾何是通過坐標系，把幾何中的點與代數(shù)的基本研究對象（有序數(shù)對）對應，建立圖形（曲線）與方程的對應，從而把幾何與代數(shù)緊密結合起來，用代數(shù)方法解決幾何問題。這是數(shù)學的重大進步。《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）》在必修課程的解析幾何初步中，教學在平面直角坐標系中，建立直線的代數(shù)方程和圓的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究它們的幾何性質及其相互位置關系，體會數(shù)形結合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，并要求學生初步了解空間直角坐標系。
本冊教科書的第三章，從平面上確定直線的幾何要素入手，認識到由平面上的一個點和一個方向（用傾斜角的斜率表示），或者是平面上的兩個點（等同于一個點和一個方向），就可以確定一條直線，再依據(jù)兩條直線方程的斜率，判定它們是否平行或相互垂直。接著引導學生推導出平面上直線的方程，從點斜式、兩點式到一般式，并說明在平面直角坐標系中，一切直線的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示一條直線。在這一章中，還通過點的坐標和直線的方程，研究了兩點之間的距離公式，以及點到直線的距離公式。由此，使學生初步學會運用代數(shù)的方法解決一些平面幾何問題。
本冊教科書的第四章，從平面上確定一個圓的幾何要素入手，引導學生運用代數(shù)的語言描述圓，得到圓心為C（a，b），半徑為r的圓的標準方程（x－a）2 + （y－b）2 = r2，然后再對其變形，得到圓的一般方程。然后在前一章的基礎上，引導學生學習運用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關系，并解決一些有關的平面幾何問題，使學生體會運用代數(shù)方法解決幾何問題的思想。最后這一章還向學生介紹了空間直角坐標系，為今后學習空間中的向量和運用代數(shù)方法解決空間的幾何問題打下基礎。
二、編寫中考慮的幾個問題
1．立體幾何的內容安排，遵循從整體到局部、具體到抽象的原則。先從現(xiàn)實生活中的實物講空間幾何體，再從空間幾何體的整體結構，講構成空間幾何體的點、直線、平面之間的位置關系。
與以往教學立體幾何的內容體系相比，本冊教科書立體幾何的內容體系結構有重大改革。以往立體幾何教學，常從研究點、直線和平面開始，先講它們之間的位置關系和有關公理、定理，再研究由它們組成的幾何體的結構特征，幾何體的體積、表面積等等，基本上是從局部到整體�，F(xiàn)在，是先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點、直線和平面。這種安排有助于發(fā)展學生的空間觀念、培養(yǎng)學生的空間想象能力、幾何直觀能力，適當減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學習入門的門檻，提高學生學習立體幾何的興趣。
第一章和第二章是一個有機的整體，第二章講完后，可引導學生從點、直線、平面的角度重新認識空間幾何體，把握空間幾何體的結構特征，對空間幾何體的結構特征有更本質的認識。
2．強調幾何直觀，滲透公理化思想，進行適當?shù)膸缀瓮评?/p>
立體幾何實際上與學生的聯(lián)系非常密切，很多實物都可以看成是各式各樣的空間幾何體，這些物體的棱與棱、棱與面、面與面之間的關系，實際上就是直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系。學習時，一方面要引導學生從生活實際出發(fā)，把知識與周圍的實物聯(lián)系起來，另一方面，要引導學生經歷從現(xiàn)實的生活中抽象出空間圖形的過程，注重探索空間圖形位置關系，抽象概括它們的判定與性質。比如，在有關直線、平面平行與垂直判定定理的教學中，要注重引導學生通過觀察、操作、有條理的思考和推理等活動，從多種角度認識直線、平面平行與垂直的判定方法；在性質定理的教學中，同樣不能忽視學生從實際問題出發(fā)，進行探究的過程。要引導學生借助圖形直觀，通過歸納、類比等合情推理，來探索直線、平面的平行與垂直等性質及其證明，然后再一步步地過渡到比較嚴格的證明。
立體幾何在構建直觀、形象的數(shù)學模型方面有其獨特作用。圖形的直觀，不僅為學生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撐，而且有助于培養(yǎng)學生的合情推理和演繹推理能力。
歐幾里得公理體系把幾何與邏輯結合起來，幾何就與演繹推理結下了不解之緣，很久以來幾何學就成為訓練邏輯推理的素材。然而就推理來說，既有合情推理，又有演繹推理，而且從數(shù)學自身發(fā)展的過程來看，即使演繹推理也并非“幾何”所獨有，它廣泛存在于數(shù)學的各個分支中。20世紀80年代以來，國際數(shù)學教育對幾何推理的要求發(fā)生了一些變化，從純粹的演繹推理轉向較少的演繹推理，更多地強調從具體情境或前提出發(fā)，進行合情推理；從單純強調幾何的邏輯推理，轉向更全面地體現(xiàn)幾何的教育價值，特別是幾何在發(fā)展學生空間觀念，以及觀察、操作、試驗、探索、合情推理等“過程性”方面的教育價值。本冊教科書的第一、二兩章就特別注意，使學生一步一步地從特殊到一般，從具體到抽象，認識空間直線和平面的位置關系，并在推理過程中逐步滲透公理化思想，養(yǎng)成言必有據(jù)的理性思維精神。
3．解析幾何的教學貫穿“坐標法”的思想，突出解析幾何解決問題的“三部曲”
解析幾何的基本思想是“坐標法”。當我們用方程表示直線和圓，運用方程研究直線、圓的的位置關系，研究兩條直線的交點、點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離等問題時，都需要把幾何問題代數(shù)化，先用方程表示直線和圓，然后再通過代數(shù)運算解決有關的位置關系問題。教科書結合大量的例題，突出用坐標方法解決幾何問題的“三部曲”：
第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；
第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；
第三步：把代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論。
4．加強數(shù)學知識內容之間的聯(lián)系，體會數(shù)形結合的思想
解析幾何的本質是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質，它溝通了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要數(shù)學思想。對于幾何中的直線，我們既從一次函數(shù)的角度研究它，又從方程的角度研究它，用數(shù)及其運算作為工具，函數(shù)與方程對直線進行了定量化描述，使對直線的研究由定性進入到定量。平面直角坐標系成為溝通平面幾何、函數(shù)、解析幾何的紐帶，對同一個問題可以從不同的角度去認識。對圓的研究，也體現(xiàn)了數(shù)學知識內容之間的聯(lián)系，以及數(shù)形結合的思想。
數(shù)形結合中除由“形”到“數(shù)”，用“數(shù)”研究“形”外，還要注意代數(shù)問題的幾何背景，即“數(shù)”到“形”的方面，如函數(shù)圖象與直角坐標系x軸的交點，直線的斜率與直線的方向和傾角等等。這也是數(shù)形結合的一個重要方面。
三、對教學的幾個建議
1．認真把握《普通高級中學數(shù)學課程標準（實驗）》的教學要求
與以往的立體幾何教學要求相比，本冊教科書在幾何推理證明方面的教學要求大大降低了，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，減少了定理的數(shù)量，刪去了大量的幾何證明題，淡化了幾何證明的技巧，對于直線、平面平行和垂直的判定定理只需通過直觀感知、操作確認、思辯論證的方式歸納得出，不進行系統(tǒng)的推理證明。同時大大地加強了對于空間圖形的整體認識和把握，從看實物到想圖形、再從三視圖或直觀圖到想象空間圖形；然后從空間圖形的整體，到把握直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，更加強調發(fā)展學生的空間想象能力，以及聯(lián)系實際運用幾何知識，觀察和解決現(xiàn)實世界中有關圖形的問題。
在解析幾何初步的內容中，應注意結合具體的圖形（直線和圓），引導學生探索在平面上確定這些圖形的幾何要素，推導出它們的代數(shù)方程，進而運用方程研究它們在平面上的位置以及相互關系，體會用代數(shù)方法解決幾何問題的思想。教學中要注意控制難度，避免進行綜合性強、難度較大的數(shù)學題的訓練，避免在解題技巧上做文章。比如，義務教育階段“空間與圖形”部分涉及的許多結論都可以用坐標法來加以證明，而義務教育階段的教學要求現(xiàn)已有所改變。因此，用坐標法證明平面幾何題要求不宜過高，適可而止。另外，傳統(tǒng)的解析幾何內容安排在三角函數(shù)后面，而現(xiàn)在安排在三角函數(shù)之前。當用到相關三角函數(shù)時，只在邊空給出提示，讓學生作為結論直接使用，不給出證明。例如，，，這些結論放在數(shù)學4時補證。
2．承上啟下，注意相關知識內容的聯(lián)系。通過不同數(shù)學內容的聯(lián)系與啟發(fā)，強調類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運用
本冊內容的起點是義務教育階段“空間與圖形”的相關知識，特別是“空間幾何體”的內容。在《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》“空間與圖形”的視圖與投影內容中包括：
�。�1）會畫基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），會判斷簡單物體的三視圖，能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或實物原型；
�。�2）了解直棱柱、圓錐的側面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作立體模型；
�。�3）了解基本幾何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關系，通過典型實例，知道這種關系在現(xiàn)實生活中的應用（如物體的包裝）；
�。�4）通過實例了解中心投影和平行投影。
教學時，應適當回顧上述知識內容，在義務教育階段學習的基礎上，進一步提高對空間幾何體的認識。按照“畫法”→“算法” →“證法”展開知識內容。
數(shù)學2同時是進一步學習數(shù)學4中的平面向量，數(shù)學5中的解三角形，選修1-1和選修2-1中的圓錐曲線與方程，選修3-1數(shù)學史選講中的部分專題，選修3-3球面上的幾何，選修3-5歐拉公式與閉曲面分類，選修3-6三等分角與數(shù)域擴充，選修4-1幾何證明選講，選修4-4坐標系與參數(shù)方程等幾何內容的基礎。
在每章“小結”中，利用數(shù)學內容的內在聯(lián)系，使不同的數(shù)學內容相互溝通，提高學生對數(shù)學的整體認識水平。特別地，在教科書中強調類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法，盡最大可能展示以下常用的邏輯思考方法。給出與本章知識內容聯(lián)系的邏輯圖，讓學生從更高、更廣的角度認識每章的地位作用。
3．關注現(xiàn)代信息技術的運用
�。�1）通過現(xiàn)代信息技術，如計算機、網(wǎng)絡等展示豐富的圖片，讓學生感受大量的實物，抽象出空間幾何體及其結構特征。
�。�2）運用現(xiàn)代信息技術和有關軟件，制作一些課件，如動態(tài)演示空間點、直線、平面之間的位置關系，空間中的平行與垂直關系，等等。
（3）平面解析幾何是一門典型的數(shù)與形結合的學科，信息技術在加強幾何直觀，促使數(shù)與形結合方面有著特殊的作用。借助信息技術，可以形象、直觀地幫助學生認識所研究的曲線。在動態(tài)演示中，觀察曲線的性質，在直觀了解的基礎上，尋求形成這些性質的原因以及代數(shù)表示。通過對方程的研究，了解曲線與曲線的關系時，運用信息技術，可以進一步驗證得到的結果，為抽象的認識增添了形象的支持。在探究點的軌跡時，可以借助信息技術，探究軌跡的形狀等等。
4．關注“觀察”、“思考”、“探究”以及“閱讀與思考”、 “探究與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術應用”等欄目以及邊空的作用
本套教科書在體例結構上有重大改革，增添了許多欄目，教學中要注意發(fā)揮邊空這些欄目的作用。
問題是創(chuàng)新的關鍵，在知識形成過程的“關鍵點”上，在運用數(shù)學思想方法產生解決問題策略的“關節(jié)點”上，在數(shù)學知識之間聯(lián)系的“聯(lián)結點”上，在數(shù)學問題變式的“發(fā)散點”上，在學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內，通過“觀察”、“思考”、“探究”等欄目，提出恰當?shù)摹W生數(shù)學思維有適度啟發(fā)的問題，引導學生的思考和探索活動，使他們經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改進學生的學習方式。
設置“觀察與猜想”“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術應用”等欄目，為學生提供豐富的具有思想性、實踐性、挑戰(zhàn)性的，反映數(shù)學本質的選學材料，拓展學生的數(shù)學活動空間，發(fā)展學生“做數(shù)學”、“用數(shù)學”的意識。
在邊空中，用“問號型”圖標提出數(shù)學知識形成過程中的具體問題，以旁批方式強調重要的數(shù)學思想方法或知識點。
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