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正多邊形的有關計算
教學設計示例1
教學目標 ：
（1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題；
（2）鞏固學生解直角三角形的能力，培養(yǎng)學生正確迅速的運算能力；
（3）通過正多邊形有關計算公式的推導，激發(fā)學生探索和創(chuàng)新．
教學重點:
把正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題．
教學難點 :
正確地將正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算．
教學活動設計:
（一）創(chuàng)設情境、觀察、分析、歸納結論
1、情境一：給出圖形．
問題1：正n邊形內角的規(guī)律．
觀察：在圖形中，應用以有的知識（多邊形內角和定理，多邊形的每個內角都相等）得出新結論．
教師組織學生自主觀察，學生回答．（正n邊形的每個內角都等于 ．）
2、情境二：給出圖形．
問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規(guī)律？
教師引導學生觀察，學生回答．
觀察：三角形的形狀，三角形的個數(shù)．
歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形．
3、情境三：給出圖形．
問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律？
觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的．
（二）定理、理解、應用：
1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形．
2、理解：定理的實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化．
由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據(jù)上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題．
3、應用：
例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6．
教師引導學生分析解題思路：
n=6 =30°，又半徑為R a6 、r6． P6、S6．
學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力．
解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB．
∵∠GOB= ，
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°= ，
∴ ．
歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6= Pn rn．
4、研究：（應用例1的方法進一步研究）
問題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積．
學生以小組進行研究，并初步歸納：
； ； ； ；
； ．
上述公式是運用解直角三角形的方法得到的．
通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了．例如：(1)圓的半徑或邊數(shù)；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素．
（三）小節(jié)
知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題．
思想：轉化思想．
能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力．
（四）作業(yè)
歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式．
教學設計示例2
教學目標 ：
（1）進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題；
（2）通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關系的證明，學習邊計算邊推理的數(shù)學方法；
（3）通過解決實際問題，培養(yǎng)學生簡單的數(shù)學建模能力；
（4）培養(yǎng)學生用數(shù)學意識，滲透理論聯(lián)系實際、實踐論的觀點．
教學重點:
應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數(shù)計算的證明方法．
教學難點 :
例3的證明方法．
教學活動設計：
（一）知識回顧
（1）方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計算轉化為解直角三角形問題．
（2）知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，正多邊形的有關計算．
； ； ； ；
； ．
組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格．
（二）正多邊形的應用
正多邊形的有關計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產(chǎn)和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義．
例2、在一種聯(lián)合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm)．
解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF= ．
∵AF= （cm），∴R5= （cm）．
r5= （cm）．
答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm
建議：①組織學生，使學生主動參與教學；②滲透簡單的數(shù)學建模思想和實際應用意識；③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養(yǎng)．
以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內交流．
例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長 ．
教師引導學生：
（1）∠AOB=？
（2）在△OAB中，∠A與∠B的度數(shù)？
（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你發(fā)現(xiàn)圖形中相等的線段有哪些？你發(fā)現(xiàn)圖中三角形有什么關系？
（4）已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎？怎么計算？
解：如圖，設AB=a10．作∠OBA的平分線BM，交OA于點M，則
∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°．
∴OM=MB=AB=a10．
△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:（R- a10），整理，得
， （取正根）．
由例3的結論可得 ．
回顧：黃金分割線段．AD2=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項．頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段．
反思：解決方法．在推導a10與R關系時，輔助線角平分線是怎么想出來的．解決方法是復習等腰三角形的性質、判定及相似三角形的有關知識．
練習P.165中練習1
(三)總結
（1）應用正多邊形的有關計算解決實際問題；
（2）綜合代數(shù)列方程的方法證明了 ．
（四）作業(yè)
教材P173中8、9、10、11、12．
探究活動
已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角 、 、 的大小．
探究它們存在什么規(guī)律？你能證明嗎？
（提示： ．）
正多邊形的有關計算
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