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高三數學教案
作為一名優秀的教育工作者，通常需要用到教案來輔助教學，教案是備課向課堂教學轉化的關節點。那么大家知道正規的教案是怎么寫的嗎？下面是小編收集整理的高三數學教案，希望能夠幫助到大家。
高三數學教案1
【教學目標】
1.初步理解集合的概念，知道常用數集的概念及其記法.
2.理解集合的三個特征，能判斷集合與元素之間的關系，正確使用符號 .
3.能根據集合中元素的特點，使用適當的方法和準確的語言將其表示出來，并從中體會到用數學抽象符號刻畫客觀事物的優越性.
【考綱要求】
1. 知道常用數集的概念及其記法.
2. 理解集合的三個特征，能判斷集合與元素之間的關系，正確使用符號 .
【課前導學】
1.集合的含義： 構成一個集合.
(1)集合中的元素及其表示： .
(2)集合中的元素的特性： .
(3)元素與集合的關系：
(i)如果a是集合A的元素，就記作__________讀作“___________________”;
(ii)如果a不是集合A的元素，就記作______或______讀作“_______________”.
【思考】構成集合的元素是不是只能是數或點?
【答】
2.常用數集及其記法：
一般地，自然數集記作____________，正整數集記作__________或___________，
整數集記作________，有理數記作_______，實數集記作________.
3.集合的分類：
按它的元素個數多少來分：
(1)________________________叫做有限集;
(2)___________________ _____叫做無限集;
(3)______________ _叫做空集，記為_____________
4.集合的表示方法：
(1)______ __________________叫做列舉法;
(2)________________ ________叫做描述法.
(3)______ _________叫做文氏圖
【例題講解】
例1、 下列每組對象能否構成一個集合?
(1) 高一年級所有高個子的學生;(2)平面上到原點的距離等于2的點的全體;
(3)所有正三角形的全體; (4)方程 的實數解;(5)不等式 的所有實數解.
例2、用適當的.方法表示下列集合
①由所有大于10且小于20的整數組成的集合記作 ;
②直線 上點的集合記作 ;
③不等式 的解組成的集合記作 ;
④方程組 的解組成的集合記作 ;
⑤第一象限的點組成的集合記作 ;
⑥坐標軸上的點的集合記作 .
例3、已知集合 ,若 中至多只有一個元素，求實數 的取值范圍.
【課堂檢測】
1.下列對象組成的集體：①不超過45的正整數;②鮮艷的顏色;③中國的大城市;④絕對值最小的實數;⑤高一(2)班中考500分以上的學生，其中為集合的是____________
2.已知2a∈A，a2-a∈A，若A含2個元素，則下列說法中正確的是
①a取全體實數; ②a取除去0以外的所有實數;
③a取除去3以外的所有實數;④a取除去0和3以外的所有實數
3.已知集合 ，則滿足條件的實數x組成的集合
【教學反思】
§1.1 集合的含義及其表示
高三數學教案2
本文題目：高三數學教案：三角函數的周期性
一、學習目標與自我評估
1 掌握利用單位圓的幾何方法作函數 的圖象
2 結合 的圖象及函數周期性的定義了解三角函數的周期性，及最小正周期
3 會用代數方法求 等函數的周期
4 理解周期性的幾何意義
二、學習重點與難點
周期函數的概念， 周期的求解。
三、學法指導
1、 是周期函數是指對定義域中所有 都有
，即 應是恒等式。
2、周期函數一定會有周期，但不一定存在最小正周期。
四、學習活動與意義建構
五、重點與難點探究
例1、若鐘擺的高度 與時間 之間的函數關系如圖所示
(1)求該函數的周期;
(2)求 時鐘擺的高度。
例2、求下列函數的周期。
(1) (2)
總結：(1)函數 (其中 均為常數，且
的周期T= 。
(2)函數 (其中 均為常數，且
的周期T= 。
例3、求證： 的周期為 。
例4、(1)研究 和 函數的圖象，分析其周期性。
(2)求證： 的周期為 (其中 均為常數，
且
總結：函數 (其中 均為常數，且
的周期T= 。
例5、(1)求 的周期。
(2)已知 滿足 ，求證： 是周期函數
課后思考：能否利用單位圓作函數 的圖象。
六、作業：
七、自主體驗與運用
1、函數 的周期為 ( )
A、 B、 C、 D、
2、函數 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
3、函數 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
4、函數 的`周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
5、設 是定義域為R,最小正周期為 的函數，
若 ，則 的值等于 ()
A、1 B、 C、0 D、
6、函數 的最小正周期是 ，則
7、已知函數 的最小正周期不大于2，則正整數
的最小值是
8、求函數 的最小正周期為T，且 ，則正整數
的最大值是
9、已知函數 是周期為6的奇函數，且 則
10、若函數 ，則
11、用周期的定義分析 的周期。
12、已知函數 ，如果使 的周期在 內，求
正整數 的值
13、一機械振動中，某質子離開平衡位置的位移 與時間 之間的
函數關系如圖所示：
(1) 求該函數的周期;
(2) 求 時，該質點離開平衡位置的位移。
14、已知 是定義在R上的函數，且對任意 有
成立，
(1) 證明： 是周期函數;
(2) 若 求 的值。
高三數學教案3
教學目標
掌握等差數列與等比數列的性質，并能靈活應用等差(比)數列的性質解決有關等差(比)數列的綜合性問題。
教學重難點
掌握等差數列與等比數列的性質，并能靈活應用等差(比)數列的性質解決有關等差(比)數列的`綜合性問題。
教學過程
【示范舉例】
例1：數列是首項為23，公差為整數，
且前6項為正，從第7項開始為負的等差數列
(1)求此數列的公差d;
(2)設前n項和為Sn，求Sn的值;
(3)當Sn為正數時，求n的值.
高三數學教案4
【教學目標】：
（1）知識目標：
通過實例，了解簡單的邏輯聯結詞“且”、“或”的含義；
（2）過程與方法目標：
了解含有邏輯聯結詞“且”、“或”復合命題的構成形式，以及會對新命題作出真假的判斷；
（3）情感與能力目標：
在知識學習的基礎上，培養學生簡單推理的技能。
【教學重點】：
通過數學實例，了解邏輯聯結詞“或”、“且”的含義，使學生能正確地表述相關數學內容。
【教學難點】：
簡潔、準確地表述“或”命題、“且”等命題，以及對新命題真假的判斷。
【教學過程設計】：
教學環節教學活動設計意圖
情境引入問題：
下列三個命題間有什么關系？
（1）12能被3整除；
（2）12能被4整除；
（3）12能被3整除且能被4整除；通過數學實例，認識用用邏輯聯結詞“且”聯結兩個命題可以得到一個新命題；
知識建構歸納總結：
一般地，用邏輯聯結詞“且”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，
記作，讀作“p且q”。
引導學生通過通過一些數學實例分析，概括出一般特征。
1、引導學生閱讀教科書上的例1中每組命題p，q，讓學生嘗試寫出命題，判斷真假，糾正可能出現的邏輯錯誤。學習使用邏輯聯結詞“且”聯結兩個命題，根據“且”的含義判斷邏輯聯結詞“且”聯結成的新命題的.真假。
2、引導學生閱讀教科書上的例2中每個命題，讓學生嘗試改寫命題，判斷真假，糾正可能出現的邏輯錯誤。
歸納總結：
當p，q都是真命題時，是真命題，當p，q兩個命題中有一個是假命題時，是假命題，
學習使用邏輯聯結詞“且”改寫一些命題，根據“且”的含義判斷原先命題的真假。
引導學生通過通過一些數學實例分析命題p和命題q以及命題的真假性，概括出這三個命題的真假性之間的一般規律。
高三數學教案5
教學目標：
結合已學過的數學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理。
教學重點：
掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理。
教學過程
一、復習
二、引入新課
1.假言推理
假言推理是以假言判斷為前提的演繹推理。假言推理分為充分條件假言推理和必要條件假言推理兩種。
(1)充分條件假言推理的基本原則是：小前提肯定大前提的前件，結論就肯定大前提的后件;小前提否定大前提的后件，結論就否定大前提的前件。
(2)必要條件假言推理的基本原則是：小前提肯定大前提的后件，結論就要肯定大前提的前件;小前提否定大前提的前件，結論就要否定大前提的后件。
2.三段論
三段論是指由兩個簡單判斷作前提和一個簡單判斷作結論組成的演繹推理。三段論中三個簡單判斷只包含三個不同的概念，每個概念都重復出現一次。這三個概念都有專門名稱：結論中的賓詞叫“大詞”，結論中的主詞叫“小詞”，結論不出現的那個概念叫“中詞”，在兩個前提中，包含大詞的叫“大前提”，包含小詞的叫“小前提”。
3.關系推理指前提中至少有一個是關系判斷的推理，它是根據關系的邏輯性質進行推演的。可分為純關系推理和混合關系推理。純關系推理就是前提和結論都是關系判斷的推理，包括對稱性關系推理、反對稱性關系推理、傳遞性關系推理和反傳遞性關系推理。
(1)對稱性關系推理是根據關系的.對稱性進行的推理。
(2)反對稱性關系推理是根據關系的反對稱性進行的推理。
(3)傳遞性關系推理是根據關系的傳遞性進行的推理。
(4)反傳遞性關系推理是根據關系的反傳遞性進行的推理。
4.完全歸納推理是這樣一種歸納推理：根據對某類事物的全部個別對象的考察，已知它們都具有某種性質，由此得出結論說：該類事物都具有某種性質。
オネ耆歸納推理可用公式表示如下：
オS1具有(或不具有)性質P
オS2具有(或不具有)性質P……
オSn具有(或不具有)性質P
オ(S1S2……Sn是S類的所有個別對象)
オニ以，所有S都具有(或不具有)性質P
オタ杉，完全歸納推理的基本特點在于：前提中所考察的個別對象，必須是該類事物的全部個別對象。否則，只要其中有一個個別對象沒有考察，這樣的歸納推理就不能稱做完全歸納推理。完全歸納推理的結論所斷定的范圍，并未超出前提所斷定的范圍。所以，結論是由前提必然得出的。應用完全歸納推理，只要遵循以下兩點，那末結論就必然是真實的：(1)對于個別對象的斷定都是真實的;(2)被斷定的個別對象是該類的全部個別對象。
小結：本節課學習了演繹推理的基本模式.
高三數學教案6
命題及其關系
1、1、1命題及其關系
一、課前小練：閱讀下列語句，你能判斷它們的真假嗎？
（1）矩形的對角線相等；
（2）3；
（3）3嗎？
（4）8是24的約數；
（5）兩條直線相交，有且只有一個交點；
（6）他是個高個子、
二、新課內容：
1、命題的概念：
①命題：可以判斷真假的陳述句叫做命題（proposition）、
上述6個語句中，哪些是命題、
②真命題：判斷為真的語句叫做真命題（true proposition）；
假命題：判斷為假的語句叫做假命題（false proposition）、
上述5個命題中，哪些為真命題？哪些為假命題？
③例1：判斷下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題？
（1）空集是任何集合的子集；
（2）若整數是素數，則是奇數；
（3）2小于或等于2；
（4）對數函數是增函數嗎？
（5）；
（6）平面內不相交的兩條直線一定平行；
（7）明天下雨、
（學生自練個別回答教師點評）
④探究：學生自我舉出一些命題，并判斷它們的真假、
2、將一個命題改寫成“若，則”的形式：
三、練習：教材P4 1、2、3
四、作業：
1、教材P8第1題
2、作業本1—10
五、課后反思
命題教案
課題1、1、1命題及其關系（一）課型新授課
目標
1）知識方法目標
了解命題的概念，
2）能力目標
會判斷一個命題的真假，并會將一個命題改寫成“若，則”的形式、
重點
難點
1）重點：命題的改寫
2）難點：命題概念的理解，命題的條件與結論區分
教法與學法
教法：
教學過程備注
1、課題引入
（創設情景）
閱讀下列語句，你能判斷它們的真假嗎？
（1）矩形的對角線相等；
（2）3；
（3）3嗎？
（4）8是24的約數；
（5）兩條直線相交，有且只有一個交點；
（6）他是個高個子、
2、問題探究
1）難點突破
2）探究方式
3）探究步驟
4）高潮設計
1、命題的概念：
①命題：可以判斷真假的陳述句叫做命題（proposition）、
上述6個語句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命題、
②真命題：判斷為真的.語句叫做真命題（true proposition）；
假命題：判斷為假的語句叫做假命題（false proposition）、
上述5個命題中，（2）是假命題，其它4個都是真命題、
③例1：判斷下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題？
（1）空集是任何集合的子集；
（2）若整數是素數，則是奇數；
（3）2小于或等于2；
（4）對數函數是增函數嗎？
（5）；
（6）平面內不相交的兩條直線一定平行；
（7）明天下雨、
（學生自練個別回答教師點評）
④探究：學生自我舉出一些命題，并判斷它們的真假、
2、將一個命題改寫成“若，則”的形式：
①例1中的（2）就是一個“若，則”的命題形式，我們把其中的叫做命題的'條件，叫做命題的結論、
②試將例1中的命題（6）改寫成“若，則”的形式、
③例2：將下列命題改寫成“若，則”的形式、
（1）兩條直線相交有且只有一個交點；
（2）對頂角相等；
（3）全等的兩個三角形面積也相等、
（學生自練個別回答教師點評）
3、 小結：命題概念的理解，會判斷一個命題的真假，并會將命題改寫“若，則”的形式、
引導學生歸納出命題的概念，強調判斷一個語句是不是命題的兩個關鍵點：是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假”。
通過例子引導學生辨別命題，區分命題的條件和結論。改寫為“若，則”的形式，為后續的學習打好基礎。
3、練習提高1、練習：教材P4 1、2、3
師生互動
4、作業設計
作業：
1、教材P8第1題
2、作業本1—10
5、課后反思
本節課是一堂概念課，比較枯燥，在教學時應充分調動學生的積極性，比如引例中的“他是個高個子、”例1中的“（7）明天下雨、”等比較有趣的生活問題，和學生有充分的語言交流，在一問一答中，引導學生完成本節課的學習。
高三數學教案7
【學習目標】
一、過程目標
1通過師生之間、學生與學生之間的互相交流，培養學生的數學交流能力和與人合作的精神。
2通過對對數函數的學習，樹立相互聯系、相互轉化的觀點，滲透數形結合的數學思想。
3通過對對數函數有關性質的研究，培養學生觀察、分析、歸納的思維能力。
二、識技能目標
1理解對數函數的概念，能正確描繪對數函數的圖象，感受研究對數函數的意義。
2掌握對數函數的性質，并能初步應用對數的性質解決簡單問題。
三、情感目標
1通過學習對數函數的'概念、圖象和性質，使學生體會知識之間的有機聯系，激發學生的學習興趣。
2在教學過程中，通過對數函數有關性質的研究，培養觀察、分析、歸納的思維能力以及數學交流能力，增強學習的積極性，同時培養學生傾聽、接受別人意見的優良品質。
教學重點難點：
1對數函數的定義、圖象和性質。
2對數函數性質的初步應用。
教學工具：多媒體
【學前準備】對照指數函數試研究對數函數的定義、圖象和性質。
高三數學教案8
學習目標
明確排列與組合的聯系與區別，能判斷一個問題是排列問題還是組合問題；能運用所學的排列組合知識，正確地解決的實際問題、
學習過程
一、學前準備
復習：
1、（課本P28A13）填空：
（1）有三張參觀卷，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數是；
（2）要從5件不同的禮物中選出3件分送3為同學，不同方法的種數是；
（3）5名工人要在3天中各自選擇1天休息，不同方法的種數是；
（4）集合A有個元素，集合B有個元素，從兩個集合中各取1個元素，不同方法的種數是；
二、新課導學
探究新知（復習教材P14～P25，找出疑惑之處）
問題1：判斷下列問題哪個是排列問題，哪個是組合問題：
（1）從4個風景點中選出2個安排游覽，有多少種不同的方法？
（2）從4個風景點中選出2個，并確定這2個風景點的游覽順序，有多少種不同的方法？
應用示例
例1、從10個不同的文藝節目中選6個編成一個節目單，如果某女演員的'獨唱節目一定不能排在第二個節目的位置上，則共有多少種不同的排法？
例2、7位同學站成一排，分別求出符合下列要求的不同排法的種數、
（1）甲站在中間；
（2）甲、乙必須相鄰；
（3）甲在乙的左邊（但不一定相鄰）；
（4）甲、乙必須相鄰，且丙不能站在排頭和排尾；
（5）甲、乙、丙相鄰；
（6）甲、乙不相鄰；
（7）甲、乙、丙兩兩不相鄰。
反饋練習
1、（課本P40A4）某學生邀請10位同學中的6位參加一項活動，其中兩位同學要么都請，要么都不請，共有多少種邀請方法？
2、5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列
3、馬路上有12盞燈，為了節約用電，可以熄滅其中3盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，那么熄燈方法共有______種、
當堂檢測
1、某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目、如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為（）
A、42 B、30 C、20 D、12
2、（課本P40A7）書架上有4本不同的數學書，5本不同的物理書，3本不同的化學書，全部排在同一層，如果不使同類的書分開，一共有多少種排法？
課后作業
1、（課本P41B2）用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的數，問：（1）能夠組成多少個六位奇數？（2）能夠組成多少個大于201345的正整數？
2、（課本P41B4）某種產品的加工需要經過5道工序，問：（1）如果其中某一工序不能放在最后，有多少種排列加工順序的方法？（2）如果其中兩道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有多少種排列加工順序的方法？
高三數學教案9
一、教學過程
1、復習。
反函數的概念、反函數求法、互為反函數的函數定義域值域的關系。
求出函數y=x3的反函數。
2、新課。
先讓學生用幾何畫板畫出y=x3的圖象，學生紛紛動手，很快畫出了函數的圖象。有部分學生發出了“咦”的一聲，因為他們得到了如下的圖象（圖1）：
教師在畫出上述圖象的學生中選定生1，將他的屏幕內容通過教學系統放到其他同學的屏幕上，很快有學生作出反應。
生2：這是y=x3的反函數y=的圖象。
師：對，但是怎么會得到這個圖象，請大家討論。
（學生展開討論，但找不出原因。）
師：我們請生1再給大家演示一下，大家幫他找找原因。
（生1將他的制作過程重新重復了一次。）
生3：問題出在他選擇的次序不對。
師：哪個次序？
生3：作點B前，選擇xA和xA3為B的坐標時，他先選擇xA3，后選擇xA，作出來的點的坐標為（xA3，xA），而不是（xA，xA3）。
師：是這樣嗎？我們請生1再做一次。
（這次生1在做的過程當中，按xA、xA3的次序選擇，果然得到函數y=x3的圖象。）
師：看來問題確實是出在這個地方，那么請同學再想想，為什么他采用了錯誤的次序后，恰好得到了y=x3的反函數y=的圖象呢？
（學生再次陷入思考，一會兒有學生舉手。）
師：我們請生4來告訴大家。
生4：因為他這樣做，正好是將y=x3上的點B（x，y）的橫坐標x與縱坐標y交換，而y=x3的反函數也正好是將x與y交換。
師：完全正確。下面我們進一步研究y=x3的圖象及其反函數y=的圖象的關系，同學們能不能看出這兩個函數的圖象有什么樣的關系？
（多數學生回答可由y=x3的圖象得到y=的圖象，于是教師進一步追問。）
師：怎么由y=x3的圖象得到y=的圖象？
生5：將y=x3的圖象上點的橫坐標與縱坐標交換，可得到y=的圖象。
師：將橫坐標與縱坐標互換？怎么換？
（學生一時未能明白教師的意思，場面一下子冷了下來，教師不得不將問題進一步明確。）
師：我其實是想問大家這兩個函數的圖象有沒有對稱關系，有的話，是什么樣的對稱關系？
（學生重新開始觀察這兩個函數的圖象，一會兒有學生舉手。）
生6：我發現這兩個圖象應是關于某條直線對稱。
師：能說說是關于哪條直線對稱嗎？
生6：我還沒找出來。
（接下來，教師引導學生利用幾何畫板找出兩函數圖象的對稱軸，畫出如下圖形，如圖2所示：）
學生通過移動點A（點B、C隨之移動）后發現，BC的中點M在同一條直線上，這條直線就是兩函數圖象的對稱軸，在追蹤M點后，發現中點的`軌跡是直線y=x。
生7：y=x3的圖象及其反函數y=的圖象關于直線y=x對稱。
師：這個結論有一般性嗎？其他函數及其反函數的圖象，也有這種對稱關系嗎？請同學們用其他函數來試一試。
（學生紛紛畫出其他函數與其反函數的圖象進行驗證，最后大家一致得出結論：函數及其反函數的圖象關于直線y=x對稱。）
還是有部分學生舉手，因為他們畫出了如下圖象（圖3）：
教師巡視全班時已經發現這個問題，將這個圖象傳給全班學生后，幾乎所有人都看出了問題所在：圖中函數y=x2（x∈R）沒有反函數，②也不是函數的圖象。
最后教師與學生一起總結：
點（x，y）與點（y，x）關于直線y=x對稱；
函數及其反函數的圖象關于直線y=x對稱。
二、反思與點評
1、在開學初，我就教學幾何畫板4。0的用法，在教函數圖象畫法的過程當中，發現學生根據選定坐標作點時，不太注意選擇橫坐標與縱坐標的順序，本課設計起源于此。雖然幾何畫板4。04中，能直接根據函數解析式畫出圖象，但這樣反而不能揭示圖象對稱的本質，所以本節課教學中，我有意選擇了幾何畫板4。0進行教學。
2、荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為，數學學習過程當中，可借助于生動直觀的形象來引導人們的思想過程，但常常由于圖形或想象的錯誤，使人們的思維誤入歧途，因此我們既要借助直觀，但又必須在一定條件下擺脫直觀而形成抽象概念，要注意過于直觀的例子常常會影響學生正確理解比較抽象的概念。
計算機作為一種現代信息技術工具，在直觀化方面有很強的表現能力，如在函數的圖象、圖形變換等方面，利用計算機都可得到其他直觀工具不可能有的效果；如果只是為了直觀而使用計算機，但不能達到更好地理解抽象概念，促進學生思維的目的的話，這樣的教學中，計算機最多只是一種普通的直觀工具而已。
在本節課的教學中，計算機更多的是作為學生探索發現的工具，學生不但發現了函數與其反函數圖象間的對稱關系，而且在更深層次上理解了反函數的概念，對反函數的存在性、反函數的求法等方面也有了更深刻的理解。
當前計算機用于中學數學的主要形式還是以輔助為主，更多的是把計算機作為一種直觀工具，有時甚至只是作為電子黑板使用，今后的發展方向應是：將計算機作為學生的認知工具，讓學生通過計算機發現探索，甚至利用計算機來做數學，在此過程當中更好地理解數學概念，促進數學思維，發展數學創新能力。
3、在引出兩個函數圖象對稱關系的時候，問題設計不甚妥當，本來是想要學生回答兩個函數圖象對稱的關系，但學生誤以為是問如何由y=x3的圖象得到y=的圖象，以致將學生引入歧途。這樣的問題在今后的教學中是必須力求避免的。
高三數學教案10
1.數列的概念和簡單表示法?
(1)了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式);? (2)了解數列是自變量為正整數的一類函數.?
2.等差數列、等比數列?
(1)理解等差數列、等比數列的概念;?
(2)掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式;?
(3)能在具體問題情境中識別數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題;?
(4)了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系. 本章重點：1.等差數列、等比數列的定義、通項公式和前n項和公式及有關性質;
2.注重提煉一些重要的思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數法、倒序相加求和法、錯位相減求和法、裂項相消求和法、分組求和法、函數與方程思想、數學模型思想以及離散與連續的關系.?
本章難點：1.數列概念的理解;2.等差等比數列性質的運用;3.數列通項與求和方法的運用. 仍然會以客觀題考查等差數列與等比數列的通項公式和前n項和公式及性質，在解答題中，會保持以前的風格，注重數列與其他分支的綜合能力的考查，在高考中，數列常考常新，其主要原因是它作為一 個特殊函數，使它可以與函數、不等式、解析幾何、三角函數等綜合起來，命出開放性、探索性強的問題，更體現了知識交叉命題原則得以貫徹;又因為數列與生產、生活的聯系，使數列應用題也倍受歡迎.
知識網絡
6.1 數列的概念與簡單表示法
典例精析
題型一 歸納、猜想法求數列通項
【例1】根據下列數列的前幾項，分別寫出它們的一個通項公式：
(1)7,77,777,7 777，
(2)23，-415，635，-863，
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，
【解析】(1)將數列變形為79(10-1)，79(102-1)，79(103-1)，，79(10n-1)，
故an=79(10n-1).
(2)分開觀察，正負號由(-1)n+1確定，分子是偶數2n，分母是13,35,57， ，(2n-1)(2n+1)，故數列的通項公式可寫成an =(-1)n+1 .
(3)將已知數列變為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0，.
故數列的通項公式為an=n+ .
【點撥】聯想與轉換是由已知認識未知的兩種有效的思維方法，觀察歸納是由特殊到一般的有效手段，本例的求解關鍵是通過分析、比較、聯想、歸納、轉換獲得項與項序數的一般規律，從而求得通項.
【變式訓練1】如下表定義函數f(x)：
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 4 3 1 2
對于數列{an}，a1=4，an=f(an-1)，n=2,3,4，，則a2 008的值是()
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】a1=4，a2=1，a3=5，a4=2，a5=4，，可得an+4=an.
所以a2 008=a4=2，故選B.
題型二 應用an= 求數列通項
【例2】已知數列{an}的前n項和Sn，分別求其通項公式：
(1)Sn=3n-2;
(2)Sn=18(an+2)2 (an0).
【解析】(1)當n=1時，a1=S1=31-2=1，
當n2時，an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=23n-1，
又a1=1不適合上式，
故an=
(2)當n=1時，a1=S1=18(a1+2)2，解得a1=2，
當n2時，an=Sn-Sn-1=18(an+2)2-18(an-1+2)2，
所以(an-2)2-(an-1+2)2=0，所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0，
又an0，所以an-an-1=4，
可知{an}為等差數列，公差為4，
所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)4=4n-2，
a1=2也適合上式，故an=4n-2.
【點撥】本例的關鍵是應用an= 求數列的通項，特別要注意驗證a1的值是否滿足2的一般性通項公式.
【變式訓練2】已知a1=1，an=n(an+1-an)(nN*)，則數列{an}的通項公式是()
A.2n-1 B.(n+1n)n-1 C.n2 D.n
【解析】由an=n(an+1-an)an+1an=n+1n.
所以an=anan-1an-1an-2a2a1=nn-1n-1n-23221=n，故選D.
題型三 利用遞推關系求數列的通項
【例3】已知在數列{an}中a1=1，求滿足下列條件的數列的通項公式：
(1)an+1=an1+2an;(2)an+1=2an+2n+1.
【解析】(1)因為對于一切nN*，an0，
因此由an+1=an1+2an得1an+1=1an+2，即1an+1-1an=2.
所以{1an}是等差數列，1an=1a1+(n-1)2=2n-1，即an=12n-1.
(2)根據已知條件得an+12n+1=an2n+1，即an+12n+1-an2n=1.
所以數列{an2n}是等差數列，an2n=12+(n-1)=2n-12，即an=(2n-1)2n-1.
【點撥】通項公式及遞推關系是給出數列的常用方法，尤其是后者，可以通過進一步的計算，將其進行轉化，構造新數列求通項，進而可以求得所求數列的通項公式.
【變式訓練3】設{an}是首項為1的正項數列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3，)，求an.
【解析】因為數列{an}是首項為1的正項數列，
所以anan+10，所以(n+1)an+1an-nanan+1+1=0，
令an+1an=t，所以(n+1)t2+t-n=0，
所以[(n+1)t-n](t+1)=0，
得t=nn+1或t=-1(舍去)，即an+1an=nn+1.
所以a2a1a3a2a4a3a5a4anan-1=12233445n-1n，所以an=1n.
總結提高
1.給出數列的前幾項求通項時，常用特征分析法與化歸法，所求通項不唯一.
2.由Sn求an時，要分n=1和n2兩種情況.
3.給出Sn與an的遞推關系，要求an，常用思路是：一是利用Sn-Sn-1=an(n2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式;二是轉化為Sn的.遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.
6.2 等差數列
典例精析
題型一 等差數列的判定與基本運算
【例1】已知數列{an}前n項和Sn=n2-9n.
(1)求證：{an}為等差數列;(2)記數列{|an|}的前n項和為Tn，求 Tn的表達式.
【解析】(1)證明：n=1時，a1=S1=-8，
當n2時，an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10，
當n=1時，也適合該式，所以an=2n-10 (nN*).
當n2時，an-an-1=2，所以{an}為等差數列.
(2)因為n5時，an0，n6時，an0.
所以當n5時，Tn=-Sn=9n-n2，
當n6時，Tn=a1+a2++a5+a6++an
=-a1-a2--a5+a6+a7++an
=Sn-2S5=n2-9n-2(-20)=n2-9n+40，
所以，
【點撥】根據定義法判斷數列為等差數列，靈活運用求 和公式.
【變式訓練1】已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S21=42，若記bn= ，則數列{bn}()
A.是等差數列，但不是等比數列 B.是等比數列，但不是等差數列
C.既是等差數列，又是等比數列 D.既不是等差數列，又不是等比數列
【解析】本題考查了兩類常見數列，特別是等差數列的性質.根據條件找出等差數列{an}的首項與公差之間的關系從而確定數列{bn}的通項是解決問題的突破口.{an}是等差數列，則S21=21a1+21202d=42.
所以a1+10d=2，即a11=2.所以bn= =22-(2a11)=20=1，即數列{bn}是非0常數列，既是等差數列又是等比數列.答案為C.
題型二 公式的應用
【例2】設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S120，S130.
(1)求公差d的取值范圍;
(2)指出S1，S2，，S12中哪一個值最大，并說明理由.
【解析】(1)依題意，有
S12=12a1+12(12-1)d20，S13=13a1+13(13-1)d20，
即
由a3=12，得a1=12-2d.③
將③分別代入①②式，得
所以-247
(2)方法一：由d0可知a1a3a13，
因此，若在112中存在自然數n，使得an0，an+10，
則Sn就是S1，S2，，S12中的最大值.
由于S12=6(a6+a7)0，S13=13a70，
即a6+a70，a70，因此a60，a70，
故在S1，S2，，S12中，S6的值最大.
方法二：由d0可知a1a3a13，
因此，若在112中存在自然數n，使得an0，an+10，
則Sn就是S1，S2，，S12中的最大值.
故在S1，S2，，S12中，S6的值最大.
【變式訓練2】在等差數列{an}中，公差d0，a2 008，a2 009是方程x2-3x-5=0的兩個根，Sn是數列{an}的前n項的和，那么滿足條件Sn0的最大自然數n=.
【解析】由題意知 又因為公差d0，所以a2 0080，a2 0090. 當
n=4 015時，S4 015=a1+a4 01524 015=a2 0084 015當n=4 016時，S4 016=a1+a4 01624 016=a2 008+a2 00924 0160.所以滿足條件Sn0的最大自然數n=4 015.
題型三 性質的應用
【例3】某地區20xx年9月份曾發生流感，據統計，9月1日該地區流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人數比前一天增加40人;但從9月11日起，該地區醫療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，每天的新感染者人數比前一天減少10人.
(1)分別求出該地區在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數;
(2)該地區9月份(共30天)該病毒新感染者共有多少人?
【解析】(1)由題意知，該地區9月份前10天流感病毒的新感染者的人數構成一個首項為40，公差為40的等差數列.
所以9月10日的新感染者人數為40+(10-1)40=400(人).
所以9月11日的新感染者人數為400-10=390(人).
(2)9月份前10天的新感染者人數和為S10=10(40+400)2=2 200(人)，
9月份后20天流感病毒的新感染者的人數，構成一個首項為390，公差為-10的等差數列.
所以后20天新感染者的人數和為T20=20390+20(20-1)2(-10)=5 900(人).
所以該地區9月份流感病毒的新感染者共有2 200+5 900=8 100(人).
【變式訓練3】設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S410，S515，則a4的最大值為
.
【解析】因為等差數列{an}的前n項和為Sn，且S410，S515，
所以5+3d23+d，即5+3d6+2d，所以d1，
所以a43+1=4，故a4的最大值為4.
總結提高
1.在熟練應用基本公式的同時，還要會用變通的公式，如在等差數列中，am=an+(m-n)d.
2.在五個量a1、d、n、an、Sn中，知其中的三個量可求出其余兩個量，要求選用公式要恰當，即善于減少運算量，達到快速、準確的目的.
3.已知三個或四個數成等差數列這類問題，要善于設元，目的仍在于減少運算量，如三個數成等差數列時，除了設a，a+d，a+2d外，還可設a-d，a，a +d;四個數成等差數列時，可設為a-3m，a-m，a+m，a+3m.
4.在求解數列問題時，要注意函數思想、方程思想、消元及整體消元的方法的應用.
6.3 等比數列
典例精析
題型一 等比數列的基本運算與判定
【例1】數列{an}的前n項和記為Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn(n=1,2,3，).求證：
(1)數列{Snn}是等比數列;(2)Sn+1=4an.
【解析】(1)因為an+1=Sn+1-Sn，an+1=n+2nSn，
所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).
整理得nSn+1=2(n+1)Sn，所以Sn+1n+1=2Snn，
故{Snn}是以2為公比的等比數列.
(2)由(1)知Sn+1n+1=4Sn-1n-1 =4ann+1(n2)，
于是Sn+1=4(n+1)Sn-1n-1=4an(n2).
又a2=3S1=3，故S2=a1+a2=4.
因此對于任意正整數n1，都有Sn+1=4an.
【點撥】①運用等比數列的基本公式，將已知條件轉化為關于等比數列的特征量a1、q的方程是求解等比數列問題的常用方法之一，同時應注意在使 用等比數列前n項和公式時，應充分討論公比q是否等于1;②應用定義判斷數列是否是等比數列是最直接，最有依據的方法，也是通法，若判斷一個數列是等比數列可用an+1an=q(常數)恒成立，也可用a2n+1 =anan+2 恒成立，若判定一個數列不是等比數列則只需舉出反例即可，也可以用反證法.
【變式訓練1】等比數列{an}中，a1=317，q=-12.記f(n)=a1a2an，則當f(n)最大時，n的值為()
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】an=317(-12)n-1，易知a9=31712561，a100,00，故f(9)=a1a2a9的值最大，此時n=9.故選C.
題型二 性質運用
【例2】在等比數列{an}中，a1+a6=33，a3a4=32，anan+1(nN*).
(1)求an;
(2)若Tn=lg a1+lg a2++lg an，求Tn.
【解析】(1)由等比數列的性質可知a1a6=a3a4=32，
又a1+a6=33，a1a6，解得a1=32，a6=1，
所以a6a1=132，即q5=132，所以q=12，
所以an=32(12)n-1=26-n .
(2)由等比數列的性質可知，{lg an}是等差數列，
因為lg an=lg 26-n=(6-n)lg 2，lg a1=5lg 2，
所以Tn=(lg a1+lg an)n2=n(11-n)2lg 2.
【點撥】歷年高考對性質考查較多，主要是利用等積性，題目小而巧且背景不斷更新，要熟練掌握.
【變式訓練2】在等差數列{an}中，若a15=0，則有等式a1+a2++an=a1+a2++a29-n(n29，nN*)成立，類比上述性質，相應地在等比數列{bn}中，若b19=1，能得到什么等式?
【解析】由題設可知，如果am=0，在等差數列中有
a1+a2++an=a1+a2++a2m-1-n(n2m-1，nN*)成立，
我們知道，如果m+n=p+q，則am+an=ap+aq，
而對于等比數列{bn}，則有若m+n=p+q，則aman=apaq，
所以可以得出結論：
若bm=1，則有b1b2bn=b1b2b2m-1-n(n2m-1，nN*)成立.
在本題中則有b1b2bn=b1b2b37-n(n37，nN*).
題型三 綜合運用
【例3】設數列{an}的前n 項和為Sn，其中an0，a1為常數，且-a1，Sn，an+1成等差數列.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設bn=1-Sn，問是否存在a1，使數列{bn}為等比數列?若存在，則求出a1的值;若不存在，說明理由.
【解析】(1)由題意可得2Sn=an+1-a1.
所以當n2時，有
兩式相減得an+1=3an(n2).
又a2=2S1+a1=3a1，an0，
所以{an}是以首項為a1，公比為q=3的等比數列.
所以an=a13n-1.
(2)因為Sn=a1(1-qn)1-q=-12a1+12a13n，所以bn=1-Sn=1+12a1-12a13n.
要使{bn}為等比數列，當且僅當1+12a1=0，即a1=-2，此時bn=3n.
所以{bn}是首項 為3，公比為q=3的等比數列.
所以{bn}能為等比數列，此時a1=-2.
【變式訓練3】已知命題：若{an}為等 差數列，且am=a，an=b(m0，nN*)為等比數列，且bm=a，bn=b(m
【解析】n-mbnam.
總結提高
1.方程思想，即等比數列{an}中五個量a1，n，q，an，Sn，一般可知三求二，通過求和與通項兩公式列方程組求解.
2.對于已知數列{an}遞推公式an與Sn的混合關系式，利用公式an=Sn-Sn-1(n2)，再引入輔助數列，轉化為等比數列問題求解.
3.分類討論思想：當a10，q1或a10,00,01時，{an}為遞減數列;q0時，{an}為擺動數列;q=1時，{an}為常數列.
6.4 數列求和
典例精析
題型一 錯位相減法求和
【例1】求和：Sn=1a+2a2+3a3++nan.
【解 析】(1)a=1時，Sn=1+2+3++n=n(n+1)2.
(2)a1時，因為a0，
Sn=1a+2a2+3a3++nan，①
1aSn=1a2+2a3++n-1an+nan+1.②
由①-②得(1-1a)Sn=1a+1a2++1an-nan+1=1a(1-1an)1-1a-nan+1，
所以Sn=a(an-1)-n(a-1)an(a-1)2.
綜上所述，Sn=
【點撥】(1)若數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，則求數列{anbn}的前n項和時，可采用錯位相減法;
(2)當等比數列公比為字母時，應對字母是否為1進行討論;
(3)當將Sn與qSn相減合并同類項時，注意錯位及未合并項的正負號.
【變式訓練1】數列{2n-32n-3}的前n項和為()
A.4-2n-12n-1 B.4+2n-72n-2 C.8-2n+12n-3 D.6-3n+22n-1
【解析】取n=1，2n-32n-3=-4.故選C.
題型二 分組并項求和法
【例2】求和Sn=1+(1+12)+(1+12+14)++(1+12+14++12n-1).
【解析】和式中第k項為ak =1+12+14++12k-1=1-(12)k1-12=2(1-12k).
所以Sn=2[(1-12)+(1-122)++(1-12n)]
= -(12+122++12n)]
=2[n-12(1-12n)1-12]=2[n-(1-12n)]=2n-2+12n-1.
【變式訓練2】數列1, 1+2, 1+2+22，1+2+22+23，，1+2+22++2n-1，的前n項和為()
A.2n-1 B.n2n-n
C.2n+1-n D.2n+1-n-2
【解析】an=1+2+22++2n-1=2n-1，
Sn=(21-1)+(22-1)++(2n-1)=2n+1-n-2.故選D.
題型三 裂項相消法求和
【例3】數列{an}滿足a1=8，a4=2，且an+2-2an+1+an=0 (nN*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=1n(14-an)(nN*)，Tn=b1+b2++bn(nN*)，若對任意非零自然數n，Tnm32恒成立，求m的最大整數值.
【解析】(1)由an+2-2an+1+an=0，得an+2-an+1=an+1-an，
從而可知數列{an}為等差數列，設其公差為d，則d=a4-a14-1=-2，
所以an=8+(n-1)(-2)=10-2n.
(2)bn=1n(14-an)=12n(n+2)=14(1n-1n+2)，
所以Tn=b1+b2++bn=14[(11-13)+(12-14)++(1n-1n+2)]
=14(1+12-1n+1-1n+2)=38-14(n+1)-14(n+2)m32 ，
上式對一切nN*恒成立.
所以m12-8n+1-8n+2對一切nN*恒成立.
對nN*，(12-8n+1-8n+2)min=12-81+1-81+2=163，
所以m163，故m的最大整數值為5.
【點撥】(1)若數列{an}的通項能轉化為f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂項相消法求和.
(2)使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項.
【變式訓練3】已知數列{an}，{bn}的前n項和為An，Bn，記cn=anBn+bnAn-anbn(nN*)，則數列{cn}的前10項和為()
A.A10+B10 B.A10+B102 C.A10B10 D.A10B10
【解析】n=1，c1=A1B1;n2，cn=AnBn-An-1Bn-1，即可推出{cn}的前10項和為A10B10，故選C.
總結提高
1.常用的 基本求和法均對應數列通項的特殊結構特征，分析數列通項公式的特征聯想相應的求和方法既是根本，也是關鍵.
2.數列求和實質就是求數列{Sn}的通項公式，它幾乎涵蓋了數列中所有的思想策略、方法和技巧，對學生的知識和思維有很高的要求，應充分重視并系統訓練.
6.5 數列的綜合應用
典例精析
題型一 函數與數列的綜合問題
【例1】已知f(x)=logax(a0且a1)，設f(a1)，f(a2)，，f(an)(nN*)是首項為4，公差為2的等差數列.
(1)設a是常數，求證：{an}成等比數列;
(2)若bn=anf(an)，{bn}的前n項和是Sn，當a=2時，求Sn.
【解析】(1)f(an)=4+(n-1)2=2n+2，即logaan=2n+2，所以an=a2n+2，
所以anan-1=a2n+2a2n=a2(n2)為定值，所以{an}為等比數列.
(2)bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2，
當a=2時，bn=(2n+2) (2)2n+2=(n+1) 2n+2，
Sn=223+324+425++(n+1 ) 2n+2，
2Sn=224+325++n2n+2+(n+1)2n+3，
兩式相減得
-Sn=223+24+25++2n+2-(n+1)2n+3=16+24(1-2n-1)1-2-(n+1)2n+3，
所以Sn=n2n+3.
【點撥】本例是數列與函數綜合的基本題型之一，特征是以函數為載體構建數列的遞推關系，通過由函數的解析式獲知數列的通項公式，從而問題得到求解.
【變式訓練1】設函數f(x)=xm+ax的導函數f(x)=2x+1，則數列{1f(n)}(nN*)的前n項和是()
A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn+1 D.n+1n
【解析】由f(x)=mxm-1+a=2x+1得m=2，a=1.
所以f(x)=x2+x，則1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1.
所以Sn=1-12+12-13+13-14++1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.故選C.
題型二 數列模型實際應用問題
【例2】某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到20xx年底全縣的綠化率已達30%，從20xx年開始，每年將出現這樣的局面：原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化.
(1)設全縣面積為1,20xx年底綠化面積為a1=310，經過n年綠化面積為an+1，求證：an+1=45an+425;
(2)至少需要多少年(取整數)的努力，才能使全縣的綠化率達到60%?
【解析】(1)證明：由已知可得an 確定后，an+1可表示為an+1=an(1-4%)+(1-an)16%，
即an+1=80%an+16%=45an+425.
(2)由an+1=45an+425有，an+1-45=45(an-45)，
又a1-45=-120，所以an+1-45=-12(45)n，即an+1=45-12(45)n，
若an+135，則有45-12(45)n35，即(45)n-112，(n-1)lg 45-lg 2，
(n-1)(2lg 2-lg 5)-lg 2，即(n-1)(3lg 2-1)-lg 2，
所以n1+lg 21-3lg 24，nN*，
所以n取最小整數為5，故至少需要經過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%.
【點撥】解決此類問題的關鍵是如何把實際問題轉化為數學問題，通過反復讀題，列出有關信息，轉化為數列的有關問題.
【變式訓練2】規定一機器狗每秒鐘只能前進或后退一步，現程序設計師讓機器狗以前進3步，然后再后退2步的規律進行移動.如果將此機器狗放在數軸的原點，面向正方向，以1步的距離為1單位長移動，令P(n)表示第n秒時機器狗所在的位置坐標，且P(0)=0，則下列結論中錯誤的是()
A.P(2 006)=402 B.P(2 007)= 403
C.P(2 008)=404 D.P(2 009)=405
【解析】考查數列的應用.構造數列{Pn}，由題知P(0)=0，P(5)=1，P(10)=2，P(15)=3.所以P(2 005)=401，P(2 006)=401+1=402，P(2 007)=401+1+1=403，P(2 008)=401+
3=404，P(2 009)=404-1=403.故D錯.
題型三 數列中的探索性問題
【例3】{an}，{bn}為兩個數列，點M(1,2)，An(2，an)，Bn(n-1n，2n)為直角坐標平面上的點.
(1)對nN*，若點M，An，Bn在同一直線上，求數列{an}的通項公式;
(2)若數列{bn}滿足log2Cn=a1b1+a2b2++anbna1+a2++an，其中{Cn}是第三項為8，公比為4的等比數列，求證：點列(1，b1)，(2，b2)，，(n，bn)在同一直線上，并求此直線方程.
【解析】(1)由an-22-1=2n-2n-1n-1，得an=2n.
(2)由已知有Cn=22n-3，由log2Cn的表達式可知：
2(b1+2b2++nbn)=n(n+1)(2n-3)，①
所以2[b1+2b2++(n-1)bn-1]=(n-1)n(2n-5).②
①-②得bn=3n-4，所以{bn}為等差數列.
故點列(1，b1)，(2，b2)，，(n，bn)共線，直線方程為y=3x-4.
【變式訓練3】已知等差數列{an}的首項a1及公差d都是整數，前n項和為Sn(nN*).若a11，a43，S39，則通項公式an=.
【解析】本題考查二元一次不等式的整數解以及等差數列的通項公式.
由a11，a43，S39得
令x=a1，y=d得
在平面直角坐標系中畫出可行域如圖所示.符合要求的整數點只有(2,1)，即a1=2，d=1.所以an=2+n-1=n+1.故答案填n+1.
總結提高
1.數列模型應用問題的求解策略
(1)認真審題，準確理解題意;
(2)依據問題情境，構造等差、等比數列，然后應用通項公式、前n項和公式以及性質求解，或通過探索、歸納構造遞推數列求解;
(3)驗證、反思結果與實際是否相符.
2.數列綜合問題的求解策略
(1)數列與函數綜合問題或應用數學思想解決數列問題，或以函數為載體構造數列，應用數列的知識求解;
(2)數列的幾何型綜合問題，探究幾何性質和規律特征建立數列的遞推關系式，然后求解問題.
高三數學教案11
內容提要：本文把常見的排列問題歸納成三種典型問題，并在排列的一般規定性下，對每一種類型的問題通過典型例題歸納出相應的解決方案，并附以近年的高考原題及解析，使我們對排列問題的認識更深入本質，對排列問題的解決更有章法可尋。
關鍵詞： 特殊優先，大元素，捆綁法，插空法，等機率法
排列問題的應用題是學生學習的難點，也是高考的必考內容，筆者在教學中嘗試將排列
問題歸納為三種類型來解決：
下面就每一種題型結合例題總結其特點和解法，并附以近年的高考原題供讀者參研。
一、能排不能排排列問題（即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題）
解決此類問題的關鍵是特殊元素或特殊位置優先。或使用間接法。
例1：（1）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？
（2）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？
（3）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？
（4）7位同學站成一排，其中甲不能在排頭、乙不能站排尾的排法共有多少種？
解析：
（1）先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個位置排另外6位同學，共 種方法；
（2）先考慮甲、乙站在兩端的排法有 種，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有 種，共 種方法；
（3） 先考慮在除兩端外的5個位置選2個安排甲、乙有 種，再在余下的5個位置排另外5位同學排法有 種，共 種方法；本題也可考慮特殊位置優先，即兩端的排法有 ，中間5個位置有 種，共 種方法；
（4）分兩類乙站在排頭和乙不站在排頭，乙站在排頭的排法共有 種，乙不站在排頭的排法總數為：先在除甲、乙外的5人中選1人安排在排頭的方法有 種，中間5個位置選1個安排乙的方法有 ，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有 ，故共有 種方法；本題也可考慮間接法，總排法為 ，不符合條件的甲在排頭和乙站排尾的排法均為 ，但這兩種情況均包含了甲在排頭和乙站排尾的情況，故共有 種。
例2。某天課表共六節課，要排政治、語文、數學、物理、化學、體育共六門課程，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，共有多少種不同的排課方法？
解法1：對特殊元素數學和體育進行分類解決
（1）數學、體育均不排在第一節和第六節，有 種，其他有 種，共有 種；
（2）數學排在第一節、體育排在第六節有一種，其他有 種，共有 種；
（3）數學排在第一節、體育不在第六節有 種，其他有 種，共有 種；
（4）數學不排在第一節、體育排在第六節有 種，其他有 種，共有 種；
所以符合條件的排法共有 種
解法2：對特殊位置第一節和第六節進行分類解決
（1）第一節和第六節均不排數學、體育有 種，其他有 種，共有 種；
（2）第一節排數學、第六節排體育有一種，其他有 種，共有 種；
（3）第一節排數學、第六節不排體育有 種，其他有 種，共有 種；
（4）第一節不排數學、第六節排體育有 種，其他有 種，共有 種；
所以符合條件的排法共有 種。
解法3：本題也可采用間接排除法解決
不考慮任何限制條件共有 種排法，不符合題目要求的排法有：（1）數學排在第六節有 種；（2）體育排在第一節有 種；考慮到這兩種情況均包含了數學排在第六節和體育排在第一節的情況 種所以符合條件的排法共有 種
附：
1、（20xx北京卷）五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有（ ）
（A） 種 （B） 種 （C） 種 （D） 種
解析：本題在解答時將五個不同的子項目理解為5個位置，五個工程隊相當于5個不同的元素，這時問題可歸結為能排不能排排列問題（即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題），先排甲工程隊有 ，其它4個元素在4個位置上的排法為 種，總方案為 種。故選（B）。
2、（20xx全國卷Ⅱ）在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有 個。
解析：本題在解答時只須考慮個位和千位這兩個特殊位置的限制，個位為1、2、3、4中的某一個有4種方法，千位在余下的4個非0數中選擇也有4種方法，十位和百位方法數為 種，故方法總數為 種。
3、（20xx福建卷）從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （ ）
A、300種 B、240種 C、144種 D、96種
解析：本題在解答時只須考慮巴黎這個特殊位置的要求有4種方法，其他3個城市的排法看作標有這3個城市的3個簽在5個位置（5個人）中的排列有 種，故方法總數為 種。故選（B）。
上述問題歸結為能排不能排排列問題，從特殊元素和特殊位置入手解決，抓住了問題的本質，使問題清晰明了，解決起來順暢自然。
二、相鄰不相鄰排列問題（即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題）
相鄰排列問題一般采用大元素法，即將相鄰的元素捆綁作為一個元素，再與其他元素進行排列，解答時注意釋放大元素，也叫捆綁法。不相鄰排列問題（即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題）一般采用插空法。
例3：7位同學站成一排，
（1）甲、乙和丙三同學必須相鄰的排法共有多少種？
（2）甲、乙和丙三名同學都不能相鄰的排法共有多少種？
（3）甲、乙兩同學間恰好間隔2人的排法共有多少種？
解析：
（1）第一步、將甲、乙和丙三人捆綁成一個大元素與另外4人的排列為 種，
第二步、釋放大元素，即甲、乙和丙在捆綁成的大元素內的排法有 種，所以共 種；
（2）第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共 種方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后產生的5個空擋中的任何3個都符合要求，排法有 種，所以共有 種；（3）先排甲、乙，有 種排法，甲、乙兩人中間插入的2人是從其余5人中選，有 種排法，將已經排好的4人當作一個大元素作為新人參加下一輪4人組的排列，有 種排法，所以總的排法共有 種。
附：1、（20xx遼寧卷）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有 個。（用數字作答）
解析：第一步、將1和2捆綁成一個大元素，3和4捆綁成一個大元素，5和6捆綁成一個大元素，第二步、排列這三個大元素，第三步、在這三個大元素排好后產生的4個空擋中的任何2個排列7和8，第四步、釋放每個大元素（即大元素內的每個小元素在捆綁成的大元素內部排列），所以共有 個數。
2、 （20xx。 重慶理）某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，
二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰
好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為 （ ）
A、B、C、D。
解析：符合要求的基本事件（排法）共有：第一步、將一班的3位同學捆綁成一個大元素，第二步、這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列，第三步、在這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列排好后產生的7個空擋中排列二班的.2位同學，第四步、釋放一班的3位同學捆綁成的大元素，所以共有 個；而基本事件總數為 個，所以符合條件的概率為 。故選（ B ）。
3、（20xx京春理）某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目。如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為（ ）
A、42 B、30 C、20 D、12
解析：分兩類：增加的兩個新節目不相鄰和相鄰，兩個新節目不相鄰采用插空法，在5個節目產生的6個空擋排列共有 種，將兩個新節目捆綁作為一個元素叉入5個節目產生的6個空擋中的一個位置，再釋放兩個新節目 捆綁成的大元素，共有 種，再將兩類方法數相加得42種方法。故選（ A ）。
三、機會均等排列問題（即某兩或某些元素按特定的方式或順序排列的排列問題）
解決機會均等排列問題通常是先對所有元素進行全排列，再借助等可能轉化，即乘以符合要求的某兩（或某些）元素按特定的方式或順序排列的排法占它們（某兩（或某些）元素）全排列的比例，稱為等機率法或將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決。
例4、 7位同學站成一排。
（1）甲必須站在乙的左邊？
（2）甲、乙和丙三個同學由左到右排列？
解析：
（1）7位同學站成一排總的排法共 種，包括甲、乙在內的7位同學排隊只有甲站在乙的左邊和甲站在乙的右邊兩類，它們的機會是均等的，故滿足要求的排法為 ，本題也可將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決，即先在7個位置中選出2個位置安排甲、乙， 由于甲在乙的左邊共有 種，再將其余5人在余下的5個位置排列有 種，得排法數為 種；
（2）參見（1）的分析得 （或 ）。
本文通過較為清晰的脈絡把排列問題分為三種類型，使我們對排列問題有了比較系統的認識。但由于排列問題種類繁多，總會有些問題不能囊括其中，也一定存在許多不足，希望讀者能和我一起研究完善。
高三數學教案12
根據學科特點，結合我校數學教學的實際情況制定以下教學計劃，第二學期高三數學教學計劃。
一、教學內容 高中數學所有內容：
抓基礎知識和基本技能，抓數學的通性通法，即教材與課程目標中要求我們把握的數學對象的基本性質，處理數學問題基本的、常用的數學思想方法，如歸納、演繹、分析、綜合、分類討論、數形結合等。提高學生的思維品質，以不變應萬變，使數學學科的復習更加高效優質。研究《考試說明》，全面掌握教材知識，按照考試說明的要求進行全面復習。把握課本是關鍵，夯實基礎是我們重要工作，提高學生的解題能力是我們目標。研究《課程標準》和《教材》，既要關心《課程標準》中調整的內容及變化的要求，又要重視今年數學不同版本《考試說明》的比較。結合上一年的新課改區高考數學評價報告，對《課程標準》進行橫向和縱向的分析，探求命題的變化規律。
二、學情分析：
我今年教授兩個班的數學：（17）班和（18）班，經過與同組的其他老師商討后，打算第一輪20xx年2月底；第二輪從20xx年2月底至5月上旬結束；第三輪從20xx年5月上旬至5月底結束。
（一）同備課組老師之間加強研究
1、研究《課程標準》、參照周邊省份20xx年《考試說明》，明確復習教學要求。
2、研究高中數學教材。
處理好幾種關系：課標、考綱與教材的關系；教材與教輔資料的關系；重視基礎知識與培養能力的關系。
3、研究08年新課程地區高考試題，把握考試趨勢。
特別是山東、廣東、江蘇、海南、寧夏等課改地區的試卷。
4、研究高考信息，關注考試動向。
及時了解09高考動態，適時調整復習方案。
5、研究本校數學教學情況、尤其是本屆高三學生的學情。
有的放矢地制訂切實可行的校本復習教學計劃。
（一）重視課本，夯實基礎，建立良好知識結構和認知結構體系 課本是考試內容的載體，是高考命題的依據，也是學生智能的生長點，是最有參考價值的資料。
（二）提升能力，適度創新 考查能力是高考的重點和永恒主題。
教育部已明確指出高考從“以知識立意命題”轉向“以能力立意命題”。
（三）強化數學思想方法 數學不僅僅是一種重要的工具，更重要的是一種思維模式，一種思想。
注重對數學思想方法的考查也是高考數學命題的顯著特點之一。
數學思想方法是對數學知識最高層次上的概括提煉，它蘊涵于數學知識的發生、發展和應用過程中，能夠遷移且廣泛應用于相關科學和社會生活，教學工作計劃《第二學期高三數學教學計劃》。
在復習備考中，要把數學思想方法滲透到每一章、每一節、每一課、每一套試題中去，任何一道精心編擬的數學試題，均蘊涵了極其豐富的數學思想方法，如果注意滲透，適時講解、反復強調，學生會深入于心，形成良好的思維品格，考試時才會思如泉涌、駕輕就熟，數學思想方法貫穿于整個高中數學的始終，因此在進入高三復習時就需不斷利用這些思想方法去處理實際問題，而并非只在高三復習將結束時去講一兩個專題了事。
（四）強化思維過程，提高解題質量 數學基礎知識的學習要充分重視知識的.形成過程，解數學題要著重研究解題的思維過程，弄清基本數學知識和基本數學思想在解題中的意義和作用，注意多題一解、一題多解和一題多變。
多題一解有利于培養學生的求同思維；一題多解有利于培養學生的求異思維；一題多變有利于培養學生思維的靈活性與深刻性。
在分析解決問題的過程中既構建知識的橫向聯系，又養成學生多角度思考問題的習慣。
（五）認真總結每一次測試的得失，提高試卷的講評效果 試卷講評要有科學性、針對性、輻射性。
講評不是簡單的公布正確答案，一是幫學生分析探求解題思路，二是分析錯誤原因，吸取教訓，三是適當變通、聯想、拓展、延伸，以例及類，探求規律。還可橫向比較，與其他班級比較，尋找個人教學的薄弱環節。根據所教學生實際有針對性地組題進行強化訓練，抓基礎題，得到基礎分對大部分學校而言就是高考成功，這已是不爭的共識。第二輪專題過關，對于高考數學的復習，應在一輪系統學習的基礎上，利用專題復習，更能提高數學備考的針對性和有效性。在這一階段，鍛煉學生的綜合能力與應試技巧，不要重視知識結構的先后次序，需配合著專題的學習，提高學生采用“配方法、待定系數法、數形結合，分類討論，換元”等方法解決數學問題的能力，同時針對選擇、填空的特色，學習一些解題的特殊技巧、方法，以提高在高考考試中的對時間的掌控力。第三輪綜合模擬，在前兩輪復習的基礎上，為了增強數學備考的針對性和應試功能，做一定量的高考模擬試題是必須的，也是十分有效的。
四、該階段需要解決的問題是：
1、強化知識的綜合性和交匯性，鞏固方法的選擇性和靈活性。
2、檢查復習的知識疏漏點和解題易錯點，探索解題的規律。
3、檢驗知識網絡的生成過程。
4、領會數學思想方法在解答一些高考真題和新穎的模擬試題時的工具性。
五、在有序做好復習工作的同時注意一下幾點:
（1）從班級實際出發，我要幫助學生切實做到對基礎訓練限時完成，加強運算能力的訓練，嚴格答題的規范化，如小括號、中括號等，特別是對那些書寫“像霧像雨又像風”的學生要加強指導，確保基本得分。
（2）在考試的方法和策略上做好指導工作，如心理問題的疏導，考試時間的合理安排等等。
（3）與備課組其他老師保持統一，對內協作，對外競爭。自己多做研究工作，如仔細研讀訂閱的雜志，研究典型試題，把握高考走勢。
（4）做到“有練必改，有改必評，有評必糾”。
（5）課內面向大多數同學，課外抓好優等生和邊緣生，尤其是邊緣生。
班級是一個集體，我們的目標是“水漲船高”，而不是“水落石出”。
（6）要改變教學方式，努力學習和實踐我校總結推出的“221”模式。
教學是一門藝術，藝術是無止境的，要一點天份，更要勤奮。
（7）教研組團隊合作 虛心學習別人的優點，博采眾長，對工作是很有利的。
（8）平等對待學生，關心每一位學生的成長，宗旨是教出來的學生不一定都很優秀，但肯定每一位都有進步；讓更多的學生喜歡數學。
高三數學教案13
1.導數概念及其幾何意義
(1)了解導數概念的實際背景;
(2)理解導數的幾何意義.
2.導數的運算
(1)能根據導數定義，求函數y=c(c為常數)，y=x，y=x2，y=x3，y= ，y= 的導數;
(2)能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(僅限于形如f(ax+b)的復合函數)的導數.
3.導數在研究函數中的應用
(1)了解函數單調性和導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次);
(2)了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件;會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數一般不超過三次);會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數一般不超過三次).
4.生活中的優化問題
會利用導數解決某些實際問題.
5.定積分與微積分基本定理
(1)了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念;
(2)了解微積分基本定理的含義. 本章重點：
1.導數的概念;
2.利用導數求切線的斜率;
3.利用導數判斷函數單調性或求單調區間;
4.利用導數求極值或最值;
5.利用導數求實際問題最優解.
本章難點：導數的綜合應用. 導數與定積分是微積分的核心概念之一，也是中學選學內容中較為重要的知識之一.由于其應用的廣泛性，為我們解決有關函數、數列問題提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知識在高考題中常在函數、數列等有關最值不等式問題中有所體現，既考查數形結合思想，分類討論思想，也考查學生靈活運用所學知識和方法的能力.考題可能以選擇題或填空題的形式來考查導數與定積分的基本運算與簡單的幾何意義，而以解答 題的形式來綜合考查學生的分析問題和解決問題的能力.
知識網絡
3 .1 導數的概念與運算
典例精析
題型一 導數 的概念
【例1】 已知函數f(x)=2ln 3x+8x，
求 f(1-2Δx)-f(1)Δx的值.
【解析】由導數的定義知：
f(1-2Δx)-f(1)Δx=-2 f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f′(1)=-20.
【點撥】導數的實質是求函數值相對于自變量的變化率，即求當Δx→0時， 平均變化率ΔyΔx的極限.
【變式訓練1】某市在一次降雨過程中，降雨量y(mm)與時間t(min)的函數關系可以近似地表示為f(t)=t2100，則在時刻t=10 min的降雨強度為( )
A.15 mm/min B.14 mm/min
C.12 mm/min D.1 mm/min
【解析】選A.
題型二 求導函數
【例2】 求下列函數的導數.
(1)y=ln(x+1+x2);
(2)y=(x2-2x+3)e2x;
(3)y=3x1-x.
【解析】運用求導數公式及復合函數求導數法則.
(1)y′=1x+1+x2(x+1+x2)′
=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2.
(2)y′=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x
=2(x2-x+2)e2x.
(3)y′=13(x1-x 1-x+x(1-x)2
=13(x1-x 1(1-x)2
=13x (1-x)
【變式訓練2】如下圖，函數f(x)的圖象是折線段ABC，其中A、B、C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))= ; f(1+Δx)-f(1)Δx= (用數字作答).
【解析】f(0)=4，f(f(0))=f(4)=2，
由導數定義 f(1+Δx)-f(1)Δx=f′(1).
當0≤x≤2時，f(x)=4-2x，f′(x)=-2，f′(1)=-2.
題型三 利用導數求切線的斜率
【例3】 已知曲線C：y=x3-3x2+2x， 直線l：y=kx，且l與C切于點P(x0，y0) (x0≠0)，求直線l的`方程及切點坐標.
【解析】由l過原點，知k=y0x0 (x0≠0)，又點P(x0，y0) 在曲線C上，y0=x30-3x20+2x0，
所以 y0x0=x20-3x0+2.
而y′=3x2-6x+2，k=3x20-6x0+2.
又 k=y0x0，
所以3x20-6x0+2=x20-3x0+2，其中x0≠0，
解得x0=32.
所以y0=-38，所以k=y0x0=-14，
所以直線l的方程為y=-14x，切點坐標為(32，-38).
【點撥】利用切點在曲線上，又曲線在切點處的切線的斜率為曲線在該點處的導數來列方程，即可求得切點的坐標.
【變式訓練3】若函數y=x3-3x+4的切線經過點(-2，2)，求此切線方程.
【解析】設切點為P(x0，y0)，則由
y′=3x2-3得切線的斜率為k=3x20-3.
所以函數y=x3-3x+4在P(x0，y0)處的切線方程為
y-y0=(3x20-3)(x-x0).
又切線經過點(-2,2)，得
2-y0=(3x20-3)(-2-x0)，①
而切點在曲線上，得y0=x30-3x0+4， ②
由①②解得x0=1或x0=-2.
則切線方程為y=2 或 9x-y+20=0.
總結提高
1.函數y=f(x)在x=x0處的導數通常有以下兩種求法：
(1) 導數的定義，即求 ΔyΔx= f(x0+Δx)-f(x0)Δx的值;
(2)先求導函數f′(x)，再將x=x0的值代入，即得f′(x0)的值.
2.求y=f(x)的導函數的幾種方法：
(1)利用常見函數的導數公式;
(2)利用四則運算的導數公式;
(3)利用復合函數的求導方法.
3.導數的幾何意義：函數y=f(x)在x=x0處的導數f′(x0)，就是函數y=f(x)的曲線在點P(x0，y0)處的切線的斜率.
高三數學教案14
【命題趨向】
綜觀歷屆全國各套數學，我們發現對極限的考查有以下一些類型與特點：
1。數學歸納法
①客觀性試題主要考查對數學歸納法的實質的理解，掌握數學歸納法的證題步驟（特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恒等變換的運用）。
②解答題大多以考查數學歸納法內容為主，并涉及到函數、方程、數列、不等式等綜合性的知識，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想，是屬于中高檔難度的題目
③數學歸納法是高考考查的重點內容之一。類比與猜想是應用數學歸納法所體現的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用數學歸納法的一種主要思想方法。 在由n=k時命題成立，證明n=k 1命題也成立時，要注意設法化去增加的項，通常要用到拆項、組合、添項、減項、分解、化簡等技巧，這一點要高度注意。
2。 數列的極限
①客觀性試題主要考查極限的四則運算法則、無窮遞縮等比數列所有項和等內容，對基本的計算技能要求比較高，直接運用四則運算法則求極限。
②解答題大多結合數列的計算求極限等，涉及到函數、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想方法，是屬于中高檔難度的題目。
③數列與幾何：由同樣的'方法得到非常有規律的同一類幾何圖形，通常相關幾何量構成等比數列，這是一類新題型。
3。函數的極限
①此部分為新增內容，本章內容在高考中以填空題和解答題為主。應著重在概念的理解，通過考查函數在自變量的某一變化過程中，函數值的變化趨勢，說出函數的極限。
②利用極限的運算法則求函數的極限進行簡單的運算。
③利用兩個重要極限求函數的極限。
④函數的連續性是新教材新增加的內容之一。它把的極限知識與知識緊密聯在一起。在高考中，必將這一塊內容溶入到函數內容中去，因而一定成為高考的又一個熱點。
4。在一套高題中，極限一般分別有1個客觀題或1個解答題，分值在5分—12分之間。
5。在高考試題中，極限題多以低檔或中檔題目為主，一般不會出現較難題，更不會出現難題，因而極限題是高考中的得分點。
6。注意掌握以下思想方法
① 極限思想：在變化中求不變，在運動中求靜止的思想;
② 數形結合思想，如用導數的幾何意義及用導數求單調性、極值等。
此類題大多以解答題的形式出現，這類題主要考查學生的綜合應用，分析問題和學生解決問題的，對運算要求較高。
【考點透視】
1。理解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題。
2。了解數列極限和函數極限的概念。
3。掌握極限的四則運算法則;會求某些數列與函數的極限。
4。了解函數連續的意義，了解閉區間上連續函數有最大值和最小值的性質。
【例題解析】
考點1 數列的極限
1。數列極限的定義：一般地，如果當項數n無限增大時，無窮數列{an}的項an無限地趨近于某個常數a（即an—a無限地接近于0），那么就說數列{an}以a為極限。
注意：a不一定是{an}中的項。
2。幾個常用的極限：① C=C（C為常數）;② =0;③ qn=0（q<1）。
3。數列極限的四則運算法則：設數列{an}、{bn}，
當 an=a， bn=b時， （an±bn）=a±b;
例1。 （ 20xx年湖南卷）數列{ }滿足： ，且對于任意的正整數m，n都有 ，則 （ ）
A。 B。 C。 D。2
[考查目的]本題考查無窮遞縮等比數列求和公式和公式 的應用。
[解答過程]由 和 得
故選A。
例2。（20xx年安徽卷）設常數 ， 展開式中 的系數為 ，則 _____。
[考查目的]本題考查利用二項式定理求出關鍵數， 再求極限的能力。
[解答過程] ，由 ，所以 ，所以為1。
例3。 （20xx年福建卷理）把 展開成關于 的多項式，其各項系數和為 ，則 等于（ ） （ ）
A。 B。 C。 D。2
[考查目的]本題考查無窮遞縮等比數列求和公式和公式 的應用。
[解答過程]
故選D
高三數學教案15
一、教材與學情分析
《隨機抽樣》是人教版職教新教材《數學(必修)》下冊第六章第一節的內容，“簡單隨機抽樣”是“隨機抽樣”的基礎，“隨機抽樣”又是“統計學‘的基礎，因此，在“統計學”中，“簡單隨機抽樣”是基礎的基礎針對這樣的情況，我做了如下的教學設想。
二、教學設想
(一)教學目標：
(1)理解抽樣的必要性，簡單隨機抽樣的概念，掌握簡單隨機抽樣的兩種方法;
(2)通過實例分析、解決，體驗簡單隨機抽樣的科學性及其方法的可靠性，培養分析問題，解決問題的能力;
(3)通過身邊事例研究，體會抽樣調查在生活中的應用，培養抽樣思考問題意識，養成良好的個性品質。
(二)教學重點、難點
重點：掌握簡單隨機抽樣常見的兩種方法(抽簽法、隨機數表法)
難點：理解簡單隨機抽樣的科學性，以及由此推斷結論的可靠性
為了突出重點，突破難點，達到預期的教學目標，我再從教法、學法上談談我的`教學思路及設想。
下面我再具體談談教學實施過程，分四步完成。
三、教學過程
(一)設置情境，提出問題
〈屏幕出示〉例1：請問下列調查宜“普查”還是“抽樣”調查?
A、一鍋水餃的味道
B、旅客上飛機前的安全檢查
C、一批炮彈的殺傷半徑
D、一批彩電的質量情況
E、美國總統的民意支持率
學生討論后，教師指出生活中處處有“抽樣”，并板書課題——XXXX抽樣
「設計意圖」
生活中處處有“抽樣”調查，明確學習“抽樣”的必要性。
(二)主動探究，構建新知
〈屏幕出示〉例2：語文老師為了了解電(1)班同學對某首詩的背誦情況，應采用下列哪種抽查方式?為什么?
A、在班級12名班委名單中逐個抽查5位同學進行背誦
B、在班級45名同學中逐一抽查10位同學進行背誦
先讓學生分析、選擇B后，師生一起歸納其特征：
(1)不放回逐一抽樣，
(2)抽樣有代表性(個體被抽到可能性相等)，
學生體驗B種抽樣的科學性后，教師指出這是簡單隨機抽樣，并復習初中講過的有關概念，最后教師補充板書課題——(簡單隨機)抽樣及其定義。
從例1、例2中的正反兩方面，讓學生體驗隨機抽樣的科學性。這是突破教學難點的重要環節之一。
復習基本概念，如“總體”、“個體”、“樣本”、“樣本容量”等。
〈屏幕出示〉例4我們班有44名學生，現從中抽出5名學生去參加學生座談會，要使每名學生的機會均等，我們應該怎么做?談談你的想法。
先讓學生獨立思考，然后分小組合作學習，最后各小組推薦一位同學發言，最后師生一起歸納“抽簽法”步驟：
(1)編號制簽
(2)攪拌均勻
(3)逐個不放回抽取n次。教師板書上面步驟。
請一位同學說說例3采用“抽簽法”的實施步驟。
「設計意圖」
1、反饋練習落實知識點突出重點。
2、體會“抽簽法”具有“簡單、易行”的優點。
〈屏幕出示〉例5、第07374期特等獎號碼為08+25+09+21+32+27+13，本期銷售金額19872409元，中獎金額500萬。
提問：特等獎號碼如何確定呢?彩票中獎號碼適合用抽簽法確定嗎?
讓學生觀看觀看電視搖獎過程，分析抽簽法的局限性，從而引入隨機數表法。教師出示一份隨機數表，并介紹隨機數表，強調數表上的數字都是隨機的，各個數字出現的可能性均等，結合上例讓學生討論隨機數表法的步驟，最后師生一起歸納步驟：
(1)編號
(2)在隨機數表上確定起始位置
(3)取數。教師板書上面步驟。
請一位同學說說例3采用“隨機數表法”的實施步驟。
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