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因式分解教案
在教學(xué)工作者開展教學(xué)活動前,時常需要用到教案,編寫教案有利于我們弄通教材內(nèi)容,進(jìn)而選擇科學(xué)、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。那么應(yīng)當(dāng)如何寫教案呢?以下是小編為大家收集的因式分解教案,歡迎大家借鑒與參考,希望對大家有所幫助。
因式分解教案1
教學(xué)目標(biāo)
1、 會運用因式分解進(jìn)行簡單的多項式除法。
2、 會運用因式分解解簡單的方程。
二、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點:
教學(xué)重點
因式分解在多項式除法和解方程兩方面的應(yīng)用。
教學(xué)難點:
應(yīng)用因式分解解方程涉及較多的推理過程。
三、教學(xué)過程
(一)引入新課
1、 知識回顧(1) 因式分解的幾種方法: ①提取公因式法: ma+mb=m(a+b) ②應(yīng)用平方差公式: = (a+b) (a—b)③應(yīng)用完全平方公式:a 2ab+b =(ab) (2) 課前熱身: ①分解因式:(x +4) y — 16x y
(二)師生互動,講授新課
1、運用因式分解進(jìn)行多項式除法例1 計算: (1) (2ab —8a b) (4a—b)(2)(4x —9) (3—2x)解:(1) (2ab —8a b)(4a—b) =—2ab(4a—b) (4a—b) =—2ab (2) (4x —9) (3—2x) =(2x+3)(2x—3) [—(2x—3)] =—(2x+3) =—2x—3
一個小問題 :這里的x能等于3/2嗎 ?為什么?
想一想:那么(4x —9) (3—2x) 呢?練習(xí):課本P162課內(nèi)練習(xí)
合作學(xué)習(xí)
想一想:如果已知 ( )( )=0 ,那么這兩個括號內(nèi)應(yīng)填入怎樣的數(shù)或代數(shù)式子才能夠滿足條件呢? (讓學(xué)生自己思考、相互之間討論!)事實上,若AB=0 ,則有下面的結(jié)論:(1)A和B同時都為零,即A=0,且B=0(2)A和B中有一個為零,即A=0,或B=0
試一試:你能運用上面的結(jié)論解方程(2x+1)(3x—2)=0 嗎?3、 運用因式分解解簡單的方程例2 解下列方程: (1) 2x +x=0 (2) (2x—1) =(x+2) 解:x(x+1)=0 解:(2x—1) —(x+2) =0則x=0,或2x+1=0 (3x+1)(x—3)=0原方程的根是x1=0,x2= 則3x+1=0,或x—3=0 原方程的'根是x1= ,x2=3注:只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做根,當(dāng)方程的根多于一個時,常用帶足標(biāo)的字母表示,比如:x1 ,x2
等練習(xí):課本P162課內(nèi)練習(xí)2
做一做!對于方程:x+2=(x+2) ,你是如何解該方程的,方程左右兩邊能同時除以(x+2)嗎?為什么?
教師總結(jié):運用因式分解解方程的基本步驟(1)如果方程的右邊是零,那么把左邊分解因式,轉(zhuǎn)化為解若干個一元一次方程;(2)如果方程的兩邊都不是零,那么應(yīng)該先移項,把方程的右邊化為零以后再進(jìn)行解方程;遇到方程兩邊有公因式,同樣需要先進(jìn)行移項使右邊化為零,切忌兩邊同時除以公因式!4、知識延伸解方程:(x +4) —16x =0解:將原方程左邊分解因式,得 (x +4) —(4x) =0(x +4+4x)(x +4—4x)=0(x +4x+4)(x —4x+4)=0 (x+2) (x—2) =0接著繼續(xù)解方程,5、 練一練 ①已知 a、b、c為三角形的三邊,試判斷 a —2ab+b —c 大于零?小于零?等于零?解: a —2ab+b —c =(a—b) —c =(a—b+c)(a—b—c)∵ a、b、c為三角形的三邊 a+c ﹥b a﹤b+c a—b+c﹥0 a—b—c ﹤0即:(a—b+c)(a—b—c) ﹤0 ,因此 a —2ab+b —c 小于零。6、 挑戰(zhàn)極限①已知:x=20xx,求∣4x —4x+3 ∣ —4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6的值。解: ∵4x — 4x+3= (4x —4x+1)+2 = (2x—1) +2 0x +2x+2 = (x +2x+1)+1 = (x+1) +10 ∣4x —4x+3 ∣ —4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6= 4x — 4x+3 —4(x +2x+2 ) +13x+6= 4x — 4x+3 —4x —8x —8+13x+6= x+1即:原式= x+1=20xx+1=20xx
(三)梳理知識,總結(jié)收獲因式分解的兩種應(yīng)用:
(1)運用因式分解進(jìn)行多項式除法
(2)運用因式分解解簡單的方程
(四)布置課后作業(yè)
作業(yè)本6、42、課本P163作業(yè)題(選做)
因式分解教案2
第6.4因式分解的簡單應(yīng)用
背景材料:
因式分解是初中數(shù)學(xué)中的一個重點內(nèi)容,也是一項重要的基本技能和基礎(chǔ)知識,更是一種數(shù)學(xué)的變形方法,在今后的學(xué)習(xí)中有著重要的作用。因此,除了單純的因式分解問題外,因式分解在解某些數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的作用,因式分解在三角形中的應(yīng)用,因式分解可以用來證明代數(shù)問題,用于代數(shù)式的求值,用于求不定方程,用于解應(yīng)用題解決有關(guān)復(fù)雜數(shù)值的計算,本節(jié)課的`例題因式分解在數(shù)學(xué)題中的簡單應(yīng)用。
教材分析:
本節(jié)課是本章的最后一節(jié),是學(xué)生學(xué)習(xí)因式分解初步應(yīng)用,首先要使學(xué)生體會到因式分解在數(shù)學(xué)中應(yīng)用,其次給學(xué)生提供更多機(jī)會體驗主動學(xué)習(xí)和探索的“過程”與“經(jīng)歷”,使多數(shù)學(xué)里擁有一定問題解決的經(jīng)驗。
教學(xué)目標(biāo):
1、在整除的情況下,會應(yīng)用因式分解,進(jìn)行多項式相除。
2、會應(yīng)用因式分解解簡單的一元二次方程。
3、體驗數(shù)學(xué)問題中的矛盾轉(zhuǎn)化思想。
4、培養(yǎng)觀察和動手能力,自主探索與合作交流能力。
教學(xué)重點:
學(xué)會應(yīng)用因式分解進(jìn)行多項式除法和解簡單一元二次方程。
教學(xué)難點:
應(yīng)用因式分解解簡單的一元二次方程。
設(shè)計理念:
根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點,主要采用師生合作控討式課堂教學(xué)方法,以教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體,動手實踐訓(xùn)練為主線,創(chuàng)新思維為核心,態(tài)度情感能力為目標(biāo),引導(dǎo)學(xué)生自主探索,動手實踐,合作交流。注重使學(xué)生經(jīng)辦觀察、操作、推理等探索過程。這種教學(xué)理念,反映了時代精神,有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),能有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中調(diào)動各種感官,進(jìn)行觀察與抽象、操作與思考、自主與交流等,進(jìn)而改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。
教學(xué)過程:
一、創(chuàng)設(shè)情境,復(fù)習(xí)提問
1、將正式各式因式分解
(1)(a+b)2-10(a+b)+25 (2)-xy+2x2y+x3y
(3)2 a2b-8a2b (4)4x2-9
[四位同學(xué)到黑板上演板,本課時用復(fù)習(xí)“練習(xí)引入”也不失為一種好方法,既先復(fù)習(xí)因式分解的提取分因式和公式法,又為下面解決多項式除法運算作鋪墊]
教師訂正
提出問題:怎樣計算(2 a2b-8a2b)÷(4a-b)
二、導(dǎo)入新課,探索新知
(先讓學(xué)生思考上面所提出的問題,教師從旁啟發(fā))
師:如果出現(xiàn)豎式計算,教師可以給予肯定;可能出現(xiàn)(2 a2b-8a2b)÷(4a-b)= ab-8a2追問學(xué)生怎么得來的,運算的依據(jù)是什么?這樣暴露學(xué)生的思維,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯誤之處;觀察2 a2b-8a2b=2 ab(b-4a),其中一個因式正好是除式4a-b的相反數(shù),如果用“換元”思想,我們就可以把問題轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式。
(2 a2b-8a2b)÷(4a-b)
=-2ab(4a-b)÷(4a-b)
=-2ab
(讓學(xué)生自己比較哪種方法好)
利用上面的數(shù)學(xué)解題思路,同學(xué)們嘗試計算
(4x2-9)÷(3-2x)
學(xué)生總結(jié)解題步驟:1、因式分解;2、約去公因式)
(全體學(xué)生動手動腦,然后叫學(xué)生回答,及時表揚,講練結(jié)合, [運用多項式的因式分解和換元的思想,可以把兩個多項式相除,轉(zhuǎn)化為單項式的除法]
練習(xí)計算
(1)(a2-4)÷(a+2)
(2)(x2+2xy+y2)÷(x+y)
(3)[(a-b)2+2(b-a)] ÷(a-b)
三、合作學(xué)習(xí)
1、以四人為一組討論下列問題
若A?B=0,下面兩個結(jié)論對嗎?
(1)A和B同時都為零,即A=0且B=0
(2)A和B至少有一個為零即A=0或B=0
[合作學(xué)習(xí),四個小組討論,教師逐步引導(dǎo),讓學(xué)生講自己的想法,及解題步驟,培養(yǎng)語言表達(dá)能力,體會運用因式分解的實際運用作用,增加學(xué)習(xí)興趣]
2、你能用上面的結(jié)論解方程
(1)(2x+3)(2x-3)=0 (2)2x2+x=0
解:
∵(2x+3)(2x-3)=0
∴2x+3=0或2x-3=0
∴方程的解為x=-3/2或x=3/2
解:x(2x+1)=0
則x=0或2x+1=0
∴原方程的解是x1=0,x2=-1/2
[讓學(xué)生先獨立完成,再組織交流,最后教師針對性地講解,讓學(xué)生總結(jié)步驟:1、移項,使方程一邊變形為零;2、等式左邊因式分解;3、轉(zhuǎn)化為解一元一次方程]
3、練習(xí),解下列方程
(1)x2-2x=0 4x2=(x-1)2
四、小結(jié)
(1)應(yīng)用因式分解和換元思想可以把某些多項式除法轉(zhuǎn)化為單項式除法。
(2)如果方程的等號一邊是零,另一邊含有未知數(shù)x的多項式可以分解成若干個x的一次式的積,那么就可以應(yīng)用因式分解把原方程轉(zhuǎn)化成幾個一元一次方程來解。
設(shè)計理念:
根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點,主要采用師生合作討論式課堂教學(xué)方法,以教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體,動手實踐訓(xùn)練為主線,創(chuàng)新思維為核心,態(tài)度情感能力為目標(biāo),引導(dǎo)學(xué)生自主探索,動手實踐,合作交流。注重使學(xué)生經(jīng)辦觀察、操作、推理等探索過程。這種教學(xué)理念,反映了時代精神,有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),能有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中調(diào)動各種感官,進(jìn)行觀察與抽象、操作與思考、自主與交流等,進(jìn)而改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。
因式分解教案3
課型 復(fù)習(xí)課 教法 講練結(jié)合
教學(xué)目標(biāo)(知識、能力、教育)
1.了解分解因式的意義,會用提公因式法、 平方差公式和完全平方公式(直接用公式不超過兩次)分解因式(指數(shù)是正整數(shù)).
2.通過乘法公式 , 的逆向變形,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生觀察、歸納、類比、概括等能力,發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力
教學(xué)重點 掌握用提取公因式法、公式法分解因式
教學(xué)難點 根據(jù)題目的形式和特征 恰當(dāng)選擇方法進(jìn)行分解,以提高綜合解題能力。
教學(xué)媒體 學(xué)案
教學(xué)過程
一:【 課前預(yù)習(xí)】
(一):【知識梳理】
1.分解因式:把一個多項式化成 的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.
2.分解困式的方法:
⑴提公團(tuán)式法:如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.
⑵運用公式法:平方差公式: ;
完全平方公式: ;
3.分解因式的步驟:
(1)分解 因式時,首先考慮是否有公因式,如果有公因式,一定先提取公團(tuán)式,然后再考慮是否能用公式法 分解.
(2)在用公式時,若是兩項,可考慮用平方差公式;若是三項,可考慮用完全平方公式;若是三項以上,可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M,然后分解因式。
4.分解因式時常見的思維誤區(qū):
提公因式時,其公因式應(yīng)找字母指數(shù)最低的,而不是以首項為準(zhǔn).若有一項被全部提出,括號內(nèi)的項 1易漏掉.分解不徹底,如保留中括號形式,還能繼續(xù)分解等
(二):【課前練習(xí)】
1.下列各組多項式中沒有公因式的是( )
A.3x-2與 6x2-4x B.3(a-b)2與11(b-a)3
C.mxmy與 nynx D.aba c與 abbc
2. 下列各題中,分解因式錯誤的是( )
3. 列多項式能用平方差公式分解因式的'是()
4. 分解因式:x2+2xy+y2-4 =_____
5. 分解因式:(1) ;
(2) ;(3) ;
(4) ;(5)以上三題用了 公式
二:【經(jīng)典考題剖析】
1. 分解因式:
(1) ;(2) ;(3) ;(4)
分析:①因式分解時,無論有幾項,首先考慮提取公因式。提公因式時,不僅注意數(shù),也要 注意字母,字母可能是單項式也可能是多項式,一次提盡。
②當(dāng)某項完全提出后,該項應(yīng)為1
③注意 ,
④分解結(jié)果(1)不帶中括號;(2)數(shù)字因數(shù)在前,字母因數(shù)在后;單項式在前,多項式在后;(3)相同因式寫成冪的形式;(4 )分解結(jié)果應(yīng)在指定范圍內(nèi)不能再分解為止;若無指定范圍,一般在有理數(shù)范圍內(nèi)分解。
2. 分解因式:(1) ;(2) ;(3)
分析:對于二次三項齊次式,將其中一個字母看作末知數(shù),另一個字母視為常數(shù)。首先考慮提公因式后,由余下因式的項數(shù)為3項,可考慮完全平方式或十字相乘法繼續(xù)分解;如果項數(shù)為2,可考慮平方差、立方差、立方和公式。(3)題無公因式,項數(shù)為2項,可考慮平方差公式先分解開,再由項數(shù)考慮選擇方法繼續(xù)分解。
3. 計算:(1)
(2)
分析:(1)此題先分解因式后約分,則余下首尾兩數(shù)。
(2)分解后,便有規(guī)可循,再求1到20xx的和。
4. 分解因式:(1) ;(2)
分析:對于四項或四項以上的多項式的因式分解,一般采用分組分解法,
5. (1)在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式: ;
(2)已知 、 、 是△ABC的三邊,且滿足 ,
求證:△ABC為等邊三角形。
分析:此題給出的是三邊之間的關(guān)系,而要證等邊三角形,則須考慮證 ,
從已知給出的等式結(jié)構(gòu)看出,應(yīng)構(gòu)造出三個完全平方式 ,
即可得證,將原式兩邊同乘以2即可。略證:
即△ABC為等邊三角形。
三:【課后訓(xùn)練】
1. 若 是一個完全平方式,那么 的值是( )
A.24 B.12 C.12 D.24
2. 把多項式 因式分解的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
3. 如果二次三項式 可分解為 ,則 的 值為( )
A .-1 B.1 C. -2 D.2
4. 已知 可以被在60~70之間的兩個整數(shù)整除,則這兩個數(shù)是( )
A.61、63 B.61、65 C.61、67 D.63、65
5. 計算:19982002= , = 。
6. 若 ,那么 = 。
7. 、 滿足 ,分解因式 = 。
8. 因式分解:
(1) ;(2)
(3) ;(4)
9. 觀察下列等式:
想一想,等式左邊各項冪的底數(shù)與右邊冪的底數(shù)有何關(guān) 系?猜一猜可引出什么規(guī)律?用等式將其規(guī)律表示出來: 。
10. 已知 是△ABC的三邊,且滿足 ,試判斷△ABC的形狀。閱讀下面解題過程:
解:由 得:
①
②
即 ③
△ABC為Rt△。 ④
試問:以上解題過程是否正確: ;若不正確,請指出錯在哪一步?(填代號) ;錯誤原因是 ;本題結(jié)論應(yīng)為 。
四:【課后小結(jié)】
布置作業(yè) 地綱
因式分解教案4
教學(xué)目標(biāo):
1、進(jìn)一步鞏固因式分解的概念;
2、鞏固因式分解常用的三種方法
3、選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行因式分解4、應(yīng)用因式分解來解決一些實際問題
5、體驗應(yīng)用知識解決問題的樂趣
教學(xué)重點:靈活運用因式分解解決問題
教學(xué)難點:靈活運用恰當(dāng)?shù)囊蚴椒纸獾姆椒ǎ卣咕毩?xí)2、3
教學(xué)過程:
一、創(chuàng)設(shè)情景:若a=101,b=99,求a2—b2的值
利用因式分解往往能將一些復(fù)雜的運算簡單化,那么我們先來回顧一下什么是因式分解和怎樣來因式分解。
二、知識回顧
1、因式分解定義:把一個多項式化成幾個整式積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式。
判斷下列各式哪些是因式分解?(讓學(xué)生先思考,教師提問講解,讓學(xué)生明確因式分解的概念以及與乘法的關(guān)系)
(1)x2—4y2=(x+2y)(x—2y)因式分解(2)。2x(x—3y)=2x2—6xy整式乘法
(3)(5a—1)2=25a2—10a+1整式乘法(4)。x2+4x+4=(x+2)2因式分解
(5)(a—3)(a+3)=a2—9整式乘法(6)。m2—4=(m+4)(m—4)因式分解
(7)2πR+2πr=2π(R+r)因式分解
2、規(guī)律總結(jié)(教師講解):分解因式與整式乘法是互逆過程。
分解因式要注意以下幾點:
(1)分解的對象必須是多項式。
(2)分解的結(jié)果一定是幾個整式的乘積的形式。
(3)要分解到不能分解為止。
3、因式分解的方法
提取公因式法:—6x2+6xy+3x=—3x(2x—2y—1)公因式的概念;公因式的求法
公式法:平方差公式:a2—b2=(a+b)(a—b)完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2
4、強(qiáng)化訓(xùn)練
教學(xué)引入
師:教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話:把一個長方形折疊就可以得到一個正方形。現(xiàn)在請同學(xué)們拿出一個長方形紙條,按動畫所示進(jìn)行折疊處理。
動畫演示:
場景一:正方形折疊演示
師:這就是我們得到的正方形。下面請同學(xué)們拿出三角板(刻度尺)和圓規(guī),我們來研究正方形的幾何性質(zhì)—邊、角以及對角線之間的關(guān)系。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。
[學(xué)生活動:各自測量。]
鼓勵學(xué)生將測量結(jié)果與鄰近同學(xué)進(jìn)行比較,找出共同點。
講授新課
找一兩個學(xué)生表述其結(jié)論,表述是要注意糾正其語言的規(guī)范性。
動畫演示:
場景二:正方形的性質(zhì)
師:這些性質(zhì)里那些是矩形的性質(zhì)?
[學(xué)生活動:尋找矩形性質(zhì)。]
動畫演示:
場景三:矩形的性質(zhì)
師:同樣在這些性質(zhì)里尋找屬于菱形的性質(zhì)。
[學(xué)生活動;尋找菱形性質(zhì)。]
動畫演示:
場景四:菱形的性質(zhì)
師:這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質(zhì)。
及時提出問題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。
師:根據(jù)這些性質(zhì),我們能不能給正方形下一個定義?怎么樣給正方形下一個準(zhǔn)確的定義?
[學(xué)生活動:積極思考,有同學(xué)做躍躍欲試狀。]
師:請同學(xué)們回想矩形與菱形的定義,可以根據(jù)矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。
學(xué)生應(yīng)能夠向出十種左右的'定義方式,其余作相應(yīng)鼓勵,把以下三種板書:
“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”
“有一個角是直角的菱形叫做正方形。”
“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。”
[學(xué)生活動:討論這三個定義正確不正確?三個定義之間有什么共同和不同的地方?這出教材中采用的是第三種定義方式。]
師:根據(jù)定義,我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系梳理一下。
試一試把下列各式因式分解:
(1)1—x2=(1+x)(1—x)(2)。4a2+4a+1=(2a+1)2
(3)4x2—8x=4x(x—2)(4)。2x2y—6xy2=2xy(x—3y)
三、例題講解
例1、分解因式
(1)—x3y3+x2y+xy(2)6(x—2)+2x(2—x)
(3)(4)y2+y+
例2、分解因式
1、a3—ab2=2、(a—b)(x—y)—(b—a)(x+y)=3、(a+b)2+2(a+b)—15=
4、—1—2a—a2=5、x2—6x+9—y26、x2—4y2+x+2y=
例3、分解因式
1、72—2(13x—7)22、8a2b2—2a4b—8b3
四、知識應(yīng)用
1、(4x2—9y2)÷(2x+3y)2、(a2b—ab2)÷(b—a)
3、解方程:(1)x2=5x(2)(x—2)2=(2x+1)2
4、若x=—3,求20x2—60x的值。5、1993—199能被200整除嗎?還能被哪些整數(shù)整除?
五、拓展應(yīng)用
1、計算:7652×17—2352×17解:7652×17—2352×17=17(7652—2352)=17(765+235)(765—235)
2、20042+20xx被20xx整除嗎?
3、若n是整數(shù),證明(2n+1)2—(2n—1)2是8的倍數(shù)。
五、課堂小結(jié)
今天你對因式分解又有哪些新的認(rèn)識?
因式分解教案5
一、運用平方差公式分解因式
教學(xué)目標(biāo)1、使學(xué)生了解運用公式來分解因式的意義。
2、使學(xué)生理解平方差公式的意義,弄清平方差公式的形式和特點;使學(xué)生知道把乘法公式反過來就可以得到相應(yīng)的因式分解。
3、掌握運用平方差公式分解因式的方法,能正確運用平方差公式把多項式分解因式(直接用公式不超過兩次)
重點運用平方差公式分解因式
難點靈活運用平方差公式分解因式
教學(xué)方法對比發(fā)現(xiàn)法課型新授課教具投影儀
教師活動學(xué)生活動
情景設(shè)置:
同學(xué)們,你能很快知道992-1是100的倍數(shù)嗎?你是怎么想出來的?
(學(xué)生或許還有其他不同的`解決方法,教師要給予充分的肯定)
新課講解:
從上面992-1=(99+1)(99-1),我們?nèi)菀卓闯?這種方法利用了我們剛學(xué)過的哪一個乘法公式?
首先我們來做下面兩題:(投影)
1.計算下列各式:
(1)(a+2)(a-2)=;
(2)(a+b)(a-b)=;
(3)(3a+2b)(3a-2b)=.
2.下面請你根據(jù)上面的算式填空:
(1)a2-4=;
(2)a2-b2=;
(3)9a2-4b2=;
請同學(xué)們對比以上兩題,你發(fā)現(xiàn)什么呢?
事實上,像上面第2題那樣,把一個多項式寫成幾個整式積的形式叫做多項式的因式分解。(投影)
比如:a2–16=a2–42=(a+4)(a–4)
例題1:把下列各式分解因式;(投影)
(1)36–25x2;(2)16a2–9b2;
(3)9(a+b)2–4(a–b)2.
(讓學(xué)生弄清平方差公式的形式和特點并會運用)
例題2:如圖,求圓環(huán)形綠化區(qū)的面積
練習(xí):第87頁練一練第1、2、3題
小結(jié):
這節(jié)課你學(xué)到了什么知識,掌握什么方法?
教學(xué)素材:
A組題:
1.填空:81x2-=(9x+y)(9x-y);=
利用因式分解計算:=。
2、下列多項式中能用平方差公式分解因式的是()(A)(B)(C)(D)3.把下列各式分解因式
(1)1-16a2(2)9a2x2-b2y2
(3).49(a-b)2-16(a+b)2
B組題:
1分解因式81a4-b4=
2若a+b=1,a2+b2=1,則ab=;
3若26+28+2n是一個完全平方數(shù),則n=.
由學(xué)生自己先做(或互相討論),然后回答,若有答不全的,教師(或其他學(xué)生)補(bǔ)充.
學(xué)生回答1:
992-1=99×99-1=9801-1
=9800
學(xué)生回答2:992-1就是(99+1)(99-1)即100×98
學(xué)生回答:平方差公式
學(xué)生回答:
(1):a2-4
(2):a2-b2
(3):9a2-4b2
學(xué)生輕松口答
(a+2)(a-2)
(a+b)(a-b)
(3a+2b)(3a-2b)
學(xué)生回答:
把乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
反過來就得到
a2-b2=(a+b)(a-b)
學(xué)生上臺板演:
36–25x2=62–(5x)2
=(6+5x)(6–5x)
16a2–9b2=(4a)2–(3b)2
=(4a+3b)(4a–3b)
9(a+b)2–4(a–b)2
=[3(a+b)]2–[2(a–b)]2
=[3(a+b)+2(a–b)]
[3(a+b)–2(a–b)]
=(5a+b)(a+5b)
解:352π–152π
=π(352–152)
=(35+15)(35–15)π
=50×20π
=1000π(m2)
這個綠化區(qū)的面積是
1000πm2
學(xué)生歸納總結(jié)
因式分解教案6
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、了解因式分解的意義以及它與正式乘法的關(guān)系。
2、能確定多項式各項的公因式,會用提公因式法分解因式。
學(xué)習(xí)重點:能用提公因式法分解因式。
學(xué)習(xí)難點:確定因式的公因式。
學(xué)習(xí)關(guān)鍵,在確定多項式各項公因式時,應(yīng)抓住各項的公因式來提公因式。
學(xué)習(xí)過程
一.知識回顧
1、計算
(1)、n(n+1)(n-1)(2)、(a+1)(a-2)
(3)、m(a+b)(4)、2ab(x-2y+1)
二、自主學(xué)習(xí)
1、閱讀課文P72-73的內(nèi)容,并回答問題:
(1)知識點一:把一個多項式化為幾個整式的__________的形式叫做____________,也叫做把這個多項式__________。
(2)、知識點二:由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得
ma+mb+mc=m(a+b+c)
我們來分析一下多項式ma+mb+mc的特點;它的每一項都含有一個相同的因式m,m叫做各項的_________。如果把這個_________提到括號外面,這樣
ma+mb+mc就分解成兩個因式的積m(a+b+c),即ma+mb+mc=m(a+b+c)。這種________的方法叫做________。
2、練一練。P73練習(xí)第1題。
三、合作探究
1、(1)m(a-b)=ma-mb(2)a(x-y+2)=ax-ay+2a,由上可知,整式乘法是一種變形,左邊是幾個整式乘積形式,右邊是一個多項式。、
2、(1)ma-mb=m(a-b)(2)ax-ay+2a=a(x-y+2),由此可知,因式分解也是一種變形,左邊是_____________,右邊是_____________。
3、下列是由左到右的變形,哪些屬于整式乘法,哪些屬于因式分解?
(1)(a+b)(a-b)=a-b(2)a+2ab+b=(a+b)
(3)-6x3+18x2-12x=-16(x2-3x+2)(4)(x-1)(x+1)=x2-1
4、準(zhǔn)確地確定公因式時提公因式法分解因式的關(guān)鍵,確定公因式可分兩步進(jìn)行:
(1)確定公因式的'數(shù)字因數(shù),當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時,他們的最大公約數(shù)就是公因式的數(shù)字因數(shù)。
例如:8a2b-72abc公因式的數(shù)字因數(shù)為8。
(2)確定公因式的字母及其指數(shù),公因式的字母應(yīng)是多項式各項都含有的字母,其指數(shù)取最低的。故8a2b-72abc的公因式是8ab
四、展示提升
1、填空(1)a2b-ab2=ab(________)
(2)-4a2b+8ab-4b分解因式為__________________
(3)分解因式4x2+12x3+4x=__________________
(4)__________________=-2a(a-2b+3c)
2、P73練習(xí)第2題和第3題
五、達(dá)標(biāo)測試。
1、下列各式從左到右的變形中,哪些是整式乘法?哪些是因式分解?哪些兩者都不是?
(1)ax+bx+cx+m=x(a+b+c)+m(2)mx-2m=m(x-2)
(3)2a(b+c)=2ab+2ac(4)(x-3)(x+3)=(x+3)(x-3)
(5)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1(6)(x-2)(x+2)=x2-4
2.課本P77習(xí)題8.5第1題
學(xué)習(xí)反思
一、知識點
二、易錯題
三、你的困惑
因式分解教案7
(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、會用因式分解進(jìn)行簡單的多項式除法
2、會用因式分解解簡單的方程
(二)學(xué)習(xí)重難點重點:因式分解在多項式除法和解方程中兩方面的應(yīng)用。
難點:應(yīng)用因式分解解方程涉及到的較多的推理過程是本節(jié)課的'難點。
(三)教學(xué)過程設(shè)計
看一看
1.應(yīng)用因式分解進(jìn)行多項式除法.多項式除以多項式的一般步驟:
①________________②__________
2.應(yīng)用因式分解解簡單的一元二次方程.
依據(jù)__________,一般步驟:__________
做一做
1.計算:
(1)(-a2b2+16)÷(4-ab);
(2)(18x2-12xy+2y2)÷(3x-y).
2.解下列方程:
(1)3x2+5x=0;
(2)9x2=(x-2)2;
(3)x2-x+=0.
3.完成課后練習(xí)題
想一想
你還有哪些地方不是很懂?請寫出來。
____________________________________
(四)預(yù)習(xí)檢測
1.計算:
2.先請同學(xué)們思考、討論以下問題:
(1)如果A×5=0,那么A的值
(2)如果A×0=0,那么A的值
(3)如果AB=0,下列結(jié)論中哪個正確( )
①A、B同時都為零,即A=0,
且B=0;
②A、B中至少有一個為零,即A=0,或B=0;
(五)應(yīng)用探究
1.解下列方程
2.化簡求值:已知x-y=-3,-x+3y=2,求代數(shù)式x2-4xy+3y2的值
(六)拓展提高:
解方程:
1、(x2+4)2-16x2=0
2、已知a、b、c為三角形的三邊,試判斷a2-2ab+b2-c2大于零?小于零?等于零?
(七)堂堂清練習(xí)
1.計算
2.解下列方程
①7x2+2x=0
②x2+2x+1=0
③x2=(2x-5)2
④x2+3x=4x
因式分解教案8
第十五章 整式的乘除與因式分解
根據(jù)定義,我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式.請分別指出它們的'項和次數(shù).
15.1.2 整式的加減
(3)x-(1-2x+x2)+(-1-x2) (4)(8x-3x2)-5x-2(3x-2x2)
四、提高練習(xí):
1、已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,并且A+B+C=0,問C是什么樣的多項式?
2、設(shè)A=2x2-3x+2-x+2,B=4x2-6x+22-3x-,若│x-2a│+(+3)2=0,且B-2A=a,求A的值。
3、已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上(0為數(shù)軸原點)的對應(yīng)點如圖:
試化簡:│a│-│a+b│+│c-a│+│b+c│
小 結(jié):要善于在圖形變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,能熟練的對整式加減進(jìn)行運算。
作 業(yè):課本P14習(xí)題1.3:1(2)、(3)、(6),2。
《課堂感悟與探究》
因式分解教案9
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、 學(xué)會用公式法因式法分解
2、綜合運用提取公式法、公式法分解因式
學(xué)習(xí)重難點 重點:
完全平方公式分解因式.
難點:綜合運用兩種公式法因式分解
自學(xué)過程設(shè)計
完全平方公式:
完全平方公式的逆運用:
做一做:
1.(1)16x2-8x+_______=(4x-1)2;
(2)_______+6x+9=(x+3)2;
(3)16x2+_______+9y2=(4x+3y)2;
(4)(a-b)2-2(a-b)+1=(______-1)2.
2.在代數(shù)式(1)a2+ab+b2;(2)4a2+4a+1;(3)a2-b2+2ab;(4)-4a2+12ab-9b2中,可用完全平方公式因式分解的是_________(填序號)
3.下列因式分解正確的'是( )
A.x2+y2=(x+y)2 B.x2-xy+x2=(x-y)2
C.1+4x-4x2=(1-2x)2 D.4-4x+x2=(x-2)2
4.分解因式:(1)x2-22x+121 (2)-y2-14y-49 (3)(a+b)2+2(a+b)+1
5.計算:20062-40102006+20052=___________________.
6.若x+y=1,則 x2+xy+ y2的值是_________________.
想一想
你還有哪些地方不是很懂?請寫出來。
____________________________________________________________________________________ 預(yù)習(xí)展示一:
1.判別下列各式是不是完全平方式.
2、把下列各式因式分解:
(1)-x2+4xy-4y2
(2)3ax2+6axy+3ay2
(3)(2x+y)2-6(2x+y)+9
應(yīng)用探究:
1、用簡便方法計算
49.92+9.98 +0.12
拓展提高:
(1)( a2+b2)( a2+b2 10)+25=0 求a2+b2
(2)4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0
求x、y關(guān)系
(3)分解因式:m4+4
教后反思 考察利用公式法因式分解的題目不會很難,但是需要學(xué)生記住公式的形式,之后利用公式把式子進(jìn)行變形,從而達(dá)到進(jìn)行因式分解的目的,但是這里有用到實際中去的例子,對學(xué)生來說會難一些。
因式分解教案10
教學(xué)設(shè)計思想:
本小節(jié)依次介紹了平方差公式和完全平方公式,并結(jié)合公式講授如何運用公式進(jìn)行多項式的因式分解。第一課時的內(nèi)容是用平方差公式對多項式進(jìn)行因式分解,首先提出新問題:x2-4與y2-25怎樣進(jìn)行因式分解,讓學(xué)生自主探索,通過整式乘法的平方差公式,逆向得出用公式法分解因式的方法,發(fā)展學(xué)生的逆向思維和推理能力,然后讓學(xué)生獨立去做例題、練習(xí)中的題目,并對結(jié)果通過展示、解釋、相互點評,達(dá)到能較好的運用平方差公式進(jìn)行因式分解的目的。第二課時利用完全平方公式進(jìn)行多項式的'因式分解是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,因此在教學(xué)設(shè)計中,重點放在判斷一個多項式是否為完全平方式上,采取啟發(fā)式的教學(xué)方法,引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題,從中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。
教學(xué)目標(biāo)
知識與技能:
會用平方差公式對多項式進(jìn)行因式分解;
會用完全平方公式對多項式進(jìn)行因式分解;
能夠綜合運用提公因式法、平方差公式、完全平方公式對多項式進(jìn)行因式分解;
提高全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力。
過程與方法:
經(jīng)歷用公式法分解因式的探索過程,進(jìn)一步體會這兩個公式在因式分解和整式乘法中的不同方向,加深對整式乘法和因式分解這兩個相反變形的認(rèn)識,體會從正逆兩方面認(rèn)識和研究事物的方法。
情感態(tài)度價值觀:
通過學(xué)習(xí)進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識間有著密切的聯(lián)系。
教學(xué)重點和難點
重點:①運用平方差公式分解因式;②運用完全平方式分解因式。
難點:①靈活運用平方差公式分解因式,正確判斷因式分解的徹底性;②靈活運用完全平方公式分解因式
關(guān)鍵:把握住因式分解的基本思路,觀察多項式的特征,靈活地運用換元和劃歸思想。
因式分解教案11
整式乘除與因式分解
一.回顧知識點
1、主要知識回顧:
冪的運算性質(zhì):
aman=am+n(m、n為正整數(shù))
同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.
=amn(m、n為正整數(shù))
冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.
(n為正整數(shù))
積的乘方等于各因式乘方的積.
=am-n(a≠0,m、n都是正整數(shù),且m>n)
同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減.
零指數(shù)冪的概念:
a0=1(a≠0)
任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l.
負(fù)指數(shù)冪的概念:
a-p=(a≠0,p是正整數(shù))
任何一個不等于零的數(shù)的-p(p是正整數(shù))指數(shù)冪,等于這個數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù).
也可表示為:(m≠0,n≠0,p為正整數(shù))
單項式的乘法法則:
單項式相乘,把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘,作為積的因式;對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.
單項式與多項式的乘法法則:
單項式與多項式相乘,用單項式和多項式的每一項分別相乘,再把所得的積相加.
多項式與多項式的乘法法則:
多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘,再把所得的積相加.
單項式的除法法則:
單項式相除,把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除,作為商的因式:對于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.
多項式除以單項式的法則:
多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的.商相加.
2、乘法公式:
①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
文字語言敘述:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘,等于這兩個數(shù)的平方差.
②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
文字語言敘述:兩個數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍.
3、因式分解:
因式分解的定義.
把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解.
掌握其定義應(yīng)注意以下幾點:
(1)分解對象是多項式,分解結(jié)果必須是積的形式,且積的因式必須是整式,這三個要素缺一不可;
(2)因式分解必須是恒等變形;
(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.
弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.
因式分解與整式乘法是互逆變形,因式分解是把和差化為積的形式,而整式乘法是把積化為和差的形式.
二、熟練掌握因式分解的常用方法.
1、提公因式法
(1)掌握提公因式法的概念;
(2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式,公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分:①系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù);②字母——各項含有的相同字母;③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù);
(3)提公因式法的步驟:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致,這一點可用來檢驗是否漏項.
(4)注意點:①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式,即分解到“底”;②如果多項式的第一項的系數(shù)是負(fù)的,一般要提出“-”號,使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的.
2、公式法
運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用;
常用的公式:
①平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
因式分解教案12
因式分解
教材分析
因式分解是進(jìn)行代數(shù)式恒等變形的重要手段之一,因式分解是在學(xué)習(xí)整式四則運算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,它不僅僅在多項式的除法、簡便運算中等有直接的應(yīng)用,也為以后學(xué)習(xí)分式的約分與通分、解方程(組)及三解函數(shù)式的恒等變形帶給了必要的基礎(chǔ),因此學(xué)好因式分解對于代數(shù)知識的后續(xù)學(xué)習(xí),具有相當(dāng)重要的好處。由于本節(jié)課后學(xué)習(xí)提取公因式法,運用公式法,分組分解法來進(jìn)行因式分解,務(wù)必以理解因式分解的概念為前提,所以本節(jié)資料的重點是因式分解的概念。由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程,而逆向思維對初一學(xué)生還比較生疏,理解起來有必須難度,再者本節(jié)還沒涉及因式分解的具體方法,所以理解因式分解與整式乘法的相互關(guān)系,并運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法是教學(xué)中的難點。
教學(xué)目標(biāo)
認(rèn)知目標(biāo):(1)理解因式分解的概念和好處
(2)認(rèn)識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——相反變形,并會運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法。
潛力目標(biāo):由學(xué)生自行探求解題途徑,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、決定潛力和創(chuàng)新潛力,發(fā)展學(xué)生智能,深化學(xué)生逆向思維潛力和綜合運用潛力。
情感目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生理解矛盾的對立統(tǒng)一觀點,獨立思考,勇于探索的精神和實事求是的科學(xué)態(tài)度。
目標(biāo)制定的思想
1.目標(biāo)具體化、明確化,從學(xué)生實際出發(fā),具有針對性和可行性,同時便于上課操作,便于檢測和及時反饋。
2.課堂教學(xué)體現(xiàn)潛力立意。
3.寓德育教育于教學(xué)之中。
教學(xué)方法
1.采用以設(shè)疑探究的引課方式,激發(fā)學(xué)生的求知欲望,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)用心性。
2.把因式分解概念及其與整式乘法的關(guān)系作為主線,訓(xùn)練學(xué)生思維,以設(shè)疑——感知——概括——運用為教學(xué)程序,充分遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,使學(xué)生能順利地掌握重點,突破難點,提高潛力。
3.在課堂教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生體會知識的發(fā)生發(fā)展過程,堅持啟發(fā)式,鼓勵學(xué)生充分地動腦、動口、動手,用心參與到教學(xué)中來,充分體現(xiàn)了學(xué)生的主動性原則。
4.在充分尊重教材的前提下,融教材練習(xí)、想一想于教學(xué)過程中,增設(shè)了由淺入深、各不相同卻又緊密相關(guān)的訓(xùn)練題目,為學(xué)生順利掌握因式分解概念及其與整式乘法關(guān)系創(chuàng)造了有利條件。
5.改變傳統(tǒng)言傳身教的方式,利用計算機(jī)輔助教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué),增大教學(xué)的容量和直觀性,提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。
教學(xué)過程安排
一、提出問題,創(chuàng)設(shè)情境
問題:看誰算得快?(計算機(jī)出示問題)
(1)若a=101,b=99,則a2—b2=(a+b)(a—b)=(101+99)(101—99)=400
(2)若a=99,b=—1,則a2—2ab+b2=(a—b)2=(99+1)2=10000
(3)若x=—3,則20x2+60x=20x(x+3)=20x(—3)(—3+3)=0
二、觀察分析,探究新知
(1)請每題想得最快的'同學(xué)談思路,得出最佳解題方法(同時計算機(jī)出示答案)
(2)觀察:a2—b2=(a+b)(a—b)①的左邊是一個什么式子?右邊又是什么形式?
a2—2ab+b2=(a—b)2②
20x2+60x=20x(x+3)③
(3)類比小學(xué)學(xué)過的因數(shù)分解概念,(例42=2×3×7④)得出因式分解概念。
板書課題:§7。1因式分解
1.因式分解概念:把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做因式分解,也叫分解因式。
三、獨立練習(xí),鞏固新知
練習(xí)
1.下列由左邊到右邊的變形,哪些是因式分解?哪些不是?為什么?(計算機(jī)演示)
①(x+2)(x—2)=x2—4
②x2—4=(x+2)(x—2)
③a2—2ab+b2=(a—b)2
④3a(a+2)=3a2+6a
⑤3a2+6a=3a(a+2)
⑥x2—4+3x=(x—2)(x+2)+3x
⑦k2++2=(k+)2
⑧x—2—1=(x—1+1)(x—1—1)
⑨18a3bc=3a2b·6ac
2.因式分解與整式乘法的關(guān)系:
因式分解
結(jié)合:a2—b2=========(a+b)(a—b)
整式乘法
說明:從左到右是因式分解其特點是:由和差形式(多項式)轉(zhuǎn)化成整式的積的形式;從右到左是整式乘法其特點是:由整式積的形式轉(zhuǎn)化成和差形式(多項式)。
結(jié)論:因式分解與整式乘法正好相反。
問題:你能利用因式分解與整式乘法正好相反這一關(guān)系,舉出幾個因式分解的例子嗎?
(如:由(x+1)(x—1)=x2—1得x2—1=(x+1)(x—1)
由(x+2)(x—1)=x2+x—2得x2+x—2=(x+2)(x—1)等等)
四、例題教學(xué),運用新知:
例:把下列各式分解因式:(計算機(jī)演示)
(1)am+bm(2)a2—9(3)a2+2ab+b2
(4)2ab—a2—b2(5)8a3+b6
練習(xí)2:填空:(計算機(jī)演示)
(1)∵2xy=2x2y—6xy2
∴2x2y—6xy2=2xy
(2)∵xy=2x2y—6xy2
∴2x2y—6xy2=xy
(3)∵2x=2x2y—6xy2
∴2x2y—6xy2=2x
五、強(qiáng)化訓(xùn)練,掌握新知:
練習(xí)3:把下列各式分解因式:(計算機(jī)演示)
(1)2ax+2ay(2)3mx—6nx(3)x2y+xy2
(4)x2+—x(5)x2—0。01(6)a3—1
(讓學(xué)生上來板演)
六、變式訓(xùn)練,擴(kuò)展新知(計算機(jī)演示)
1。若x2+mx—n能分解成(x—2)(x—5),則m=,n=
2.機(jī)動題:(填空)x2—8x+m=(x—4),且m=
七、整理知識,構(gòu)成結(jié)構(gòu)(即課堂小結(jié))
1.因式分解的概念因式分解是整式中的一種恒等變形
2.因式分解與整式乘法是兩種相反的恒等變形,也是思維方向相反的兩種思維方式,因此,因式分解的思維過程實際也是整式乘法的逆向思維的過程。
3.利用2中關(guān)系,能夠從整式乘法探求因式分解的結(jié)果。
4.教學(xué)中滲透對立統(tǒng)一,以不變應(yīng)萬變的辯證唯物主義的思想方法。
八、布置作業(yè)
1.作業(yè)本(一)中§7。1節(jié)
2.選做題:①x2+x—m=(x+3),且m=。
②x2—3x+k=(x—5),且k=。
評價與反饋
1.透過由學(xué)生自己得出因式分解概念及其與整式乘法的關(guān)系的結(jié)論,了解學(xué)生觀察、分析問題的潛力和逆向思維潛力及創(chuàng)新潛力。發(fā)現(xiàn)問題,及時反饋。
2.透過例題及練習(xí),了解學(xué)生對概念的理解程度和實際運用潛力,最大限度地讓學(xué)生暴露問題和認(rèn)知誤差,及時發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教與學(xué)中的遺漏和不足,從而及時調(diào)控教與學(xué)。
3.透過機(jī)動題,了解學(xué)生對概念的熟練程度和思維的靈敏性、深刻性、廣闊性及探研創(chuàng)造潛力,及時評價,及時矯正。
4.透過課后作業(yè),了解學(xué)生對知識的掌握狀況與綜合運用知識及靈活運用知識的潛力,教師及時批閱,及時反饋講評,同時對個別學(xué)生面批作業(yè),能夠更及時、更準(zhǔn)確地了解學(xué)生思維發(fā)展的狀況,矯正的針對性更強(qiáng)。
5.透過課堂小結(jié),了解學(xué)生對概念的熟悉程度和歸納概括潛力、語言表達(dá)潛力、知識運用潛力,教師恰當(dāng)?shù)亟o予引導(dǎo)和啟迪。
6.課堂上反饋信息除了語言和練習(xí)外,學(xué)生神情也是信息來源,而且這些信息更真實。學(xué)生神態(tài)、表情、坐姿都反映出學(xué)生對教師教學(xué)資料的理解和理解程度。教師應(yīng)用心捕捉學(xué)生在知識掌握、思維發(fā)展、潛力培養(yǎng)等各方面全方位的反饋信息,隨時評價,及時矯正,隨時調(diào)節(jié)教學(xué)。
因式分解教案13
知識點:
因式分解定義,提取公因式、應(yīng)用公式法、分組分解法、二次三項式的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步驟。
教學(xué)目標(biāo):
理解因式分解的概念,掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法,掌握利用二次方程求根公式分解二次二項式的方法,能把簡單多項式分解因式。
考查重難點與常見題型:
考查因式分解能力,在中考試題中,因式分解出現(xiàn)的頻率很高。重點考查的分式提取公因式、應(yīng)用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習(xí)題類型以填空題為多,也有選擇題和解答題。
教學(xué)過程:
因式分解知識點
多項式的因式分解,就是把一個多項式化為幾個整式的積。分解因式要進(jìn)行到每一個因式都不能再分解為止。分解因式的常用方法有:
(1)提公因式法
如多項式
其中m叫做這個多項式各項的公因式, m既可以是一個單項式,也可以是一個多項式。
(2)運用公式法,即用
寫出結(jié)果。
(3)十字相乘法
對于二次項系數(shù)為l的二次三項式 尋找滿足ab=q,a+b=p的'a,b,如有,則對于一般的二次三項式尋找滿足
a1a2=a,c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1,a2,c1,c2,如有,則
(4)分組分解法:把各項適當(dāng)分組,先使分解因式能分組進(jìn)行,再使分解因式在各組之間進(jìn)行。
分組時要用到添括號:括號前面是“+”號,括到括號里的各項都不變符號;括號前面是“-”號,括到括號里的各項都改變符號。
(5)求根公式法:如果有兩個根X1,X2,那么
2、教學(xué)實例:學(xué)案示例
3、課堂練習(xí):學(xué)案作業(yè)
4、課堂:
5、板書:
6、課堂作業(yè):學(xué)案作業(yè)
7、教學(xué)反思:
因式分解教案14
教學(xué)目標(biāo):
1、 理解運用平方差公式分解因式的方法。
2、 掌握提公因式法和平方差公式分解因式的綜合運用。
3、 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合、分析數(shù)學(xué)問題的能力。
教學(xué)重點:
運用平方差公式分解因式。
教學(xué)難點:
高次指數(shù)的轉(zhuǎn)化,提公因式法,平方差公式的靈活運用。
教學(xué)案例:
我們數(shù)學(xué)組的觀課議課主題:
1、關(guān)注學(xué)生的合作交流
2、如何使學(xué)困生能積極參與課堂交流。
在精心備課過程中,我設(shè)計了這樣的自學(xué)提示:
1、整式乘法中的平方差公式是___,如何用語言描述?把上述公式反過來就得到_____,如何用語言描述?
2、下列多項式能用平方差公式分解因式嗎?若能,請寫出分解過程,若不能,說出為什么?
①-x2+y2 ②-x2-y2 ③4-9x2
④ (x+y)2-(x-y)2 ⑤ a4-b4
3、試總結(jié)運用平方差公式因式分解的條件是什么?
4、仿照例4的分析及旁白你能把x3y-xy因式分解嗎?
5、試總結(jié)因式分解的步驟是什么?
師巡回指導(dǎo),生自主探究后交流合作。
生交流熱情很高,但把全部問題分析完已用了30分鐘。
生展示自學(xué)成果。
生1: -x2+y2能用平方差公式分解,可分解為(y+x)(y-x)
生2: -x2+y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)
師:這兩種方法都可以,但第二種方法提出負(fù)號后,一定要注意括號里的各項要變號。
生3:4-9x2 也能用平方差公式分解,可分解為(2+9x)(2-9x)
生4:不對,應(yīng)分解為(2+3x)(2-3x),要運用平方差公式必須化為兩個數(shù)或整式的平方差的形式。
生5: a4-b4可分解為(a2+b2)(a2-b2)
生6:不對,a2-b2 還能繼續(xù)分解為a+b)(a-b)
師:大家爭論的很好,運用平方差公式分解因式,必須化為兩個數(shù)或兩個整式的平方的差的形式,另因式分解必須分解到不能再分解為止。……
反思:這節(jié)課我備課比較認(rèn)真,自學(xué)提示的設(shè)計也動了一番腦筋,為讓學(xué)生順利得出運用平方差公式因式分解的'條件,我設(shè)計了問題2,為讓學(xué)生能更容易總結(jié)因式分解的步驟,我又設(shè)計了問題4,自認(rèn)為,本節(jié)課一定會上的非常成功,學(xué)生的交流、合作,自學(xué)展示一定會很精彩,結(jié)果卻出乎我的意料,本節(jié)課沒有按計劃完成教學(xué)任務(wù),學(xué)生練習(xí)很少,作業(yè)有很大一部分同學(xué)不能獨立完成,反思這節(jié)課主要有以下幾個問題:
(1) 我在備課時,過高估計了學(xué)生的能力,問題2中的③、④、⑤ 多數(shù)學(xué)生剛預(yù)習(xí)后不能熟練解答,導(dǎo)致在小組交流時,多數(shù)學(xué)生都在交流這幾題該怎樣分解,耽誤了寶貴的時間,也分散了學(xué)生的注意力,導(dǎo)致難點、重點不突出,若能把問題2改為:
下列多項式能用平方差公式因式分解嗎?為什么?可能效果會更好。
(2) 教師備課時,要考慮學(xué)生的知識層次,能力水平,真正把學(xué)生放在第一位,要考慮學(xué)生的接受能力,安排習(xí)題要循序漸進(jìn),切莫過于心急,過分追求課堂容量、習(xí)題類型全等等,例如在問題2的設(shè)計時可寫一些簡單的,像④、⑤ 可到練習(xí)時再出現(xiàn),發(fā)現(xiàn)問題后再強(qiáng)調(diào)、歸納,效果也可能會更好。
我及時調(diào)整了自學(xué)提示的內(nèi)容,在另一個班也上了這節(jié)課。果然,學(xué)生的討論有了重點,很快(大約10分鐘)便合作得出了結(jié)論,課堂氣氛非常活躍,練習(xí)量大,準(zhǔn)確率高,但隨之我又發(fā)現(xiàn)我在處理課后練習(xí)時有點不能應(yīng)對自如。例如:師:下面我們把課后練習(xí)做一下,話音剛落,大家紛紛拿著本到我面前批改。師:都完了?生:全完了。我很興奮。來:“我們再做幾題試試。”生又開始緊張地練習(xí)……下課后,無意間發(fā)現(xiàn)竟還有好幾個同學(xué)課后題沒做。原因是預(yù)習(xí)時不會,上課又沒時間,還有幾位同學(xué)練習(xí)題竟然有誤,也沒改正,原因是上課慌著展示自己,沒顧上改……。看來,以后上課不能單聽學(xué)生的齊答,要發(fā)揮組長的職責(zé),注重過關(guān)落實。給學(xué)生一點機(jī)動時間,讓學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生有機(jī)會釋疑,練習(xí)不在于多,要注意融會貫通,會舉一反三。
確實,“學(xué)海無涯,教海無邊”。我們備課再認(rèn)真,預(yù)設(shè)再周全,面對不同的學(xué)生,不同的學(xué)情,仍然會產(chǎn)生新的問題,“沒有最好,只有更好!”我會一直探索、努力,不斷完善教學(xué)設(shè)計,更新教育觀念,直到永遠(yuǎn)……
因式分解教案15
15.1.1 整式
教學(xué)目標(biāo)
1.單項式、單項式的定義.
2.多項式、多項式的次數(shù).
3、理解整式概念.
教學(xué)重點
單項式及多項式的有關(guān)概念.
教學(xué)難點
單項式及多項式的有關(guān)概念.
教學(xué)過程
Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境
在七年級,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母可以表示數(shù),思考下列問題
1.要表示△ABC的周長需要什么條件?要表示它的面積呢?
2.小王用七小時行駛了Skm的路程,請問他的平均速度是多少?
結(jié)論:
1、要表示△ABC的周長,需要知道它的各邊邊長.要表示△ABC的面積需要知道一條邊長和這條邊上的高.如果設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.AB邊上的高為h,那么△ABC的周長可以表示為a+b+c;△ABC的面積可以表示為 ?c?h.
2.小王的平均速度是 .
問題:這些式子有什么特征呢?
(1)有數(shù)字、有表示數(shù)字的字母.
(2)數(shù)字與字母、字母與字母之間還有運算符號連接.
歸納:用基本的運算符號(運算包括加、減、乘、除、乘方與開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式.
判斷上面得到的三個式子:a+b+c、 ch、 是不是代數(shù)式?(是)
代數(shù)式可以簡明地表示數(shù)量和數(shù)量的關(guān)系.今天我們就來學(xué)習(xí)和代數(shù)式有關(guān)的整式.
Ⅱ.明確和鞏固整式有關(guān)概念
(出示投影)
結(jié)論:(1)正方形的周長:4x.
(2)汽車走過的路程:vt.
(3)正方體有六個面,每個面都是正方形,這六個正方形全等,所以它的表面積為6a2;正方體的體積為長×寬×高,即a3.
(4)n的相反數(shù)是-n.
分析這四個數(shù)的特征.
它們符合代數(shù)式的定義.這五個式子都是數(shù)與字母或字母與字母的積,而a+b+c、 ch、 中還有和與商的運算符號.還可以發(fā)現(xiàn)這五個代數(shù)式中字母指數(shù)各不相同,字母的個數(shù)也不盡相同.
請同學(xué)們閱讀課本P160~P161單項式有關(guān)概念.
根據(jù)這些定義判斷4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、 ch、 這些代數(shù)式中,哪些是單項式?是單項式的,寫出它的系數(shù)和次數(shù).
結(jié)論:4x、vt、6a2、a3、-n、 ch是單項式.它們的系數(shù)分別是4、1、6、1、-1、 .它們的次數(shù)分別是1、2、2、3、1、2.所以4x、-n都是一次單項式;vt、6a2、 ch都是二次單項式;a3是三次單項式.
問題:vt中v和t的指數(shù)都是1,它不是一次單項式嗎?
結(jié)論:不是.根據(jù)定義,單項式vt中含有兩個字母,所以它的次數(shù)應(yīng)該是這兩個字母的指數(shù)的和,而不是單個字母的指數(shù),所以vt是二次單項式而不是一次單項式.
生活中不僅僅有單項式,像a+b+c,它不是單項式,和單項式有什么聯(lián)系呢?
寫出下列式子(出示投影)
結(jié)論:(1)t-5.(2)3x+5y+2z.
(3)三角尺的面積應(yīng)是直角三角形的面積減去圓的面積,即 ab-3.12r2.
(4)建筑面積等于四個矩形的面積之和.而右邊兩個已知矩形面積分別為3×2、4×3,所以它們的面積和是18.于是得這所住宅的建筑面積是x2+2x+18.
我們可以觀察下列代數(shù)式:
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18.發(fā)現(xiàn)它們都是由單項式的和組成的式子.是多個單項式的和,能不能叫多項式?
這樣推理合情合理.請看投影,熟悉下列概念.
根據(jù)定義,我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式.請分別指出它們的項和次數(shù).
a+b+c的項分別是a、b、c.
t-5的項分別是t、-5,其中-5是常數(shù)項.
3x+5y+2z的項分別是3x、5y、2z.
ab-3.12r2的項分別是 ab、-3.12r2.
x2+2x+18的項分別是x2、2x、18. 找多項式的次數(shù)應(yīng)抓住兩條,一是找準(zhǔn)每個項的次數(shù),二是取每個項次數(shù)的最大值.根據(jù)這兩條很容易得到這五個多項式中前三個是一次多項式,后兩個是二次多項式.
這節(jié)課,通過探究我們得到單項式和多項式的有關(guān)概念,它們可以反映變化的世界.同時,我們也到符號的魅力所在.我們把單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.
Ⅲ.隨堂練習(xí)
1.課本P162練習(xí)
Ⅳ.課時小結(jié)
通過探究,我們了解了整式的概念.理解并掌握單項式、多項式的有關(guān)概念是本節(jié)的重點,特別是它們的次數(shù).在現(xiàn)實情景中進(jìn)一步理解了用字母表示數(shù)的意義,發(fā)展符號感.
Ⅴ.課后作業(yè)
1.課本P165~P166習(xí)題15.1─1、5、8、9題.
2.預(yù)習(xí)“整式的加減”.
課后作業(yè):《課堂感悟與探究》
15.1.2 整式的加減(1)
教學(xué)目的:
1、解字母表示數(shù)量關(guān)系的過程,發(fā)展符號感。
2、會進(jìn)行整式加減的運算,并能說明其中的算理,發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力。
教學(xué)重點:
會進(jìn)行整式加減的運算,并能說明其中的算理。
教學(xué)難點:
正確地去括號、合并同類項,及符號的正確處理。
教學(xué)過程:
一、課前練習(xí):
1、填空:整式包括 和
2、單項式 的系數(shù)是 、次數(shù)是
3、多項式 是 次 項式,其中二次項
系數(shù)是 一次項是 ,常數(shù)項是
4、下列各式,是同類項的一組是( )
(A) 與 (B) 與 (C) 與
5、去括號后合并同類項:
二、探索練習(xí):
1、如果用a 、b分別表示一個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字,那么這個兩位數(shù)可以表示為 交換這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字后得到的兩位數(shù)為
這兩個兩位數(shù)的和為
2、如果用a 、b、c分別表示一個三位數(shù)的百位數(shù)字、十位數(shù)字和個位數(shù)字,那么這個三位數(shù)可以表示為 交換這個三位數(shù)的百位數(shù)字和個位數(shù)字后得到的三位數(shù)為
這兩個三位數(shù)的差為
●議一議:在上面的兩個問題中,分別涉及到了整式的什么運算?
說說你是如何運算的?
▲整式的'加減運算實質(zhì)就是
運算的結(jié)果是一個多項式或單項式。
三、鞏固練習(xí):
1、填空:(1) 與 的差是
(2)、單項式 、 、 、 的和為
(3)如圖所示,下面為由棋子所組成的三角形,
一個三角形需六個棋子,三個三角形需
( )個棋子,n個三角形需 個棋子
2、計算:
(1)
(2)
(3)
3、(1)求 與 的和
(2)求 與 的差
4、先化簡,再求值: 其中
四、提高練習(xí):
1、若A是五次多項式,B是三次多項式,則A+B一定是
(A)五次整式 (B)八次多項式
(C)三次多項式 (D)次數(shù)不能確定
2、足球比賽中,如果勝一場記3a分,平一場記a分,負(fù)一場
記0分,那么某隊在比賽勝5場,平3場,負(fù)2場,共積多
少分?
3、一個兩位數(shù)與把它的數(shù)字對調(diào)所成的數(shù)的和,一定能被14
整除,請證明這個結(jié)論。
4、如果關(guān)于字母x的二次多項式 的值與x的取值無關(guān),
試求m、n的值。
五、小結(jié):整式的加減運算實質(zhì)就是去括號和合并同類項。
六、作業(yè):第8頁習(xí)題1、2、3
15.1.2整式的加減(2)
教學(xué)目標(biāo):1.會進(jìn)行整式加減的運算,并能說明其中的算理,發(fā)展有條理的思考及其語言表達(dá)能力。
2.通過探索規(guī)律的問題,進(jìn)一步符號表示的意義,發(fā)展符號感,發(fā)展推理能力。
教學(xué)重點:整式加減的運算。
教學(xué)難點:探索規(guī)律的猜想。
教學(xué)方法:嘗試練習(xí)法,討論法,歸納法。
教學(xué)用具:投影儀
教學(xué)過程:
I探索練習(xí):
擺第1個“小屋子”需要5枚棋子,擺第2個需要 枚棋子,擺第3個需要 枚棋子。按照這樣的方式繼續(xù)擺下去。
(1)擺第10個這樣的“小屋子”需要 枚棋子
(2)擺第n個這樣的“小屋子”需要多少枚棋子?你是如何得到的?你能用不同的方法解決這個問題嗎?小組討論。
二、例題講解:
三、鞏固練習(xí):
1、計算:
(1)(14x3-2x2)+2(x3-x2) (2)(3a2+2a-6)-3(a2-1)
(3)x-(1-2x+x2)+(-1-x2) (4)(8xy-3x2)-5xy-2(3xy-2x2)
2、已知:A=x3-x2-1,B=x2-2,計算:(1)B-A (2)A-3B
3、列方程解應(yīng)用題:三角形三個內(nèi)角的和等于180°,如果三角形中第一個角等于第二個角的3倍,而第三個角比第二個角大15°,那么
(1)第一個角是多少度?
(2)其他兩個角各是多少度?
四、提高練習(xí):
1、已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,并且A+B+C=0,問C是什么樣的多項式?
2、設(shè)A=2x2-3xy+y2-x+2y,B=4x2-6xy+2y2-3x-y,若│x-2a│+
(y+3)2=0,且B-2A=a,求A的值。
3、已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上(0為數(shù)軸原點)的對應(yīng)點如圖:
試化簡:│a│-│a+b│+│c-a│+│b+c│
小 結(jié):要善于在圖形變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,能熟練的對整式加減進(jìn)行運算。
作 業(yè):課本P14習(xí)題1.3:1(2)、(3)、(6),2。
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