大學數學實驗知識點總結

　　在平時的學習中，大家都背過不少知識點，肯定對知識點非常熟悉吧！知識點就是學習的重點。掌握知識點有助于大家更好的學習。以下是小編幫大家整理的大學數學實驗知識點總結，歡迎大家分享。

　　大學數學實驗知識點總結1

　　1、數列極限

　　定義：設|Xn|為一數列，如果存在常數a對于任意給定的正數ε（不論它多么小），總存在正整數N，使得當n>N時，

　　|Xn-a|<ε

　　都成立，那么就稱常數a是數列|Xn|的極限，或稱數列|Xn|收斂于a。記為limXn=a或Xn→a（n→∞）

　　2、確界原理

　　任一有上界的非空實數集必有上確界(為實數)。對偶地，任一有下界的非空實數集必有下確界(為實數)。在擴張的實數系R中，認為沒有上(下)界的非空實數集的上(下)確界為+∞(-∞)。這樣，在R中任何非空集都有上、下確界。

　　3、柯西收斂準則

　　定理敘述：

　　數列{xn}有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有一正整數N，當m,n>N時，有|xn-xm|<ε成立。

　　將柯西收斂原理推廣到函數極限中則有：

　　函數f(x)在無窮遠處有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有Z屬于實數，當x,y>Z時，有|f(x)-f(y)|<ε成立。

　　4、函數的連續性

　　如果函數f(x)在點x=a處及其附近有定義，而且函數在x=a處的極限值和f(a)相等，就說函數f(x)在x=a處連續。

　　函數若在區間(m,n)內所有點上都連續，就說函數在區間(m,n)內連續。

　　函數若在區間(m,n)內所有點上都連續，而且在x=m點上右極限等于f(m)，在x=n點上左極限等于f(n)，就說函數在區間[m,n]內連續。

　　5、導數的定義

　　一般地，假設一元函數y＝f(x)在x0點的附近(x0－a，x0＋a)內有定義;

　　當自變量的增量Δx＝x－x0→0時函數增量Δy＝f（x）－f（x0）與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數f在x0點可導，稱之為f在x0點的（或變化率).

　　導數的幾何意義

　　若函數f在區間I的每一點都可導，便得到一個以I為定義域的新函數，記作f(x)或y，稱之為f的導函數，簡稱為導數。

　　函數y＝f（x）在x0點的導數f（x0）的幾何意義：表示函數曲線在P0［x0，f（x0）］點的切線斜率

　　6、微分的定義

　　設函數y=f(x)在x的領域內有定義，x0及x0+Δx在此區間內。如果函數的增量Δy=f(x0+Δx)?f(x0)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy=AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部（△X→０）（其實我覺得導數和微分就是一個東西，不用太區分開了的）7拉格朗日中值定理

　　如果函數f(x)在（a，b）上可導，[a,b]上連續，則必有一ξ∈[a,b]使得

　　f(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

　　令f(x)為y，所以該公式可寫成△y=f(x+θ△x)*△x(0<θ<1)

　　7、泰勒公式

　　若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關于（x-x.)多項式和一個余項的和：

　　f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!?(x-x.)^2,+f(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn

　　其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間

　　8、不定積分

　　設F（x)是函數f(x)的一個原函數，我們把函數f(x)的所有原函數F(x)C（C為任意常數）叫做函數f(x)的不定積分，記作，即∫f(x)dx=F(x)C。

　　不定積分

　　其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數，求已知函數的不定積分的過程叫做對這個函數進行積分。

　　由定義可知：

　　求函數f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的`所有的原函數，由原函數的性質可知，只要求出函數f(x)的一個

　　原函數，再加上任意的常數C，就得到函數f(x)的不定積分。

　　9、實數的完備性

　　（1）確界原理（上面有）

　　（2）單調有界定理若數列{an}遞增（遞減）有上界（下界），則數列{an}收斂，即單調有界函數必有極限。

　　（3）區間套定理有無窮個閉區間，第二個閉區間被包含在第一個區間內部，第三個被包含在第二個內部，以此類推（后一個線段會被包含在前一個線段里面），這些區間的長度組成一個無窮數列，如果數列的極限趨近于0（即這些線段的長度最終會趨近于0），則這些區間的左端點最終會趨近于右端點，即左右端點收斂于數軸上唯一一點，而且這個點是此這些區間的唯一公共點。（開區間同理）

　　（4）有限覆蓋定理設H為閉區間[a,b]的一個（無限）開覆蓋，則從H中可選出有限個開區間來覆蓋[a,b].開覆蓋的定義：設S為數軸上的點集，H為開區間的集合，（即H中每一個元素都是形如(a,b)的開區間).若S中的任何一點都含在至少一個開區間內，則稱H為S的一個開覆蓋，或簡稱H覆蓋S.

　　若H中的開區間的個數是有限（無限）的，那么就稱H為S的一個有限（無限）覆蓋.

　　（5）聚點定理聚點定理(也稱為維爾斯特拉斯聚點定理)經典形式:實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點.（聚點：設S為數軸上的點集,e為定點(它可以屬于S,也可以不屬于S),若e的任何ε鄰域內都含有S中的無窮多個點,則稱e為點集S的一個聚點.）

　　（6）柯西收斂定理（上面有）

　　大學數學實驗知識點總結2

　　大學數學導數公式

　　1.y=c(c為常數) y'=0

　　2.y=x^n y'=nx^(n-1)

　　3.y=a^x y'=a^xlna

　　y=e^x y'=e^x

　　4.y=logax y'=logae/x

　　y=lnx y'=1/x

　　5.y=sinx y'=cosx

　　6.y=cosx y'=-sinx

　　7.y=tanx y'=1/cos^2x

　　8.y=cotx y'=-1/sin^2x

　　9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

　　10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanx y'=1/1+x^2

　　12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

　　大學數學常用推導公式

　　在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：

　　1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整個變量，而g'(x)中把x看作變量』

　　2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

　　3.y=f(x)的反函數是x=g(y)，則有y'=1/x'

　　證：1.顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導數的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

　　2.這個的推導暫且不證，因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果后能用復合函數的求導給予證明。

　　3.y=a^x,

　　⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

　　⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

　　如果直接令⊿x→0，是不能導出導函數的，必須設一個輔助的函數β=a^⊿x-1通過換元進行計算。由設的輔助函數可以知道：⊿x=loga(1+β)。

　　所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

　　顯然，當⊿x→0時，β也是趨向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

　　把這個結果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

　　可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。

　　4.y=logax

　　⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

　　⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

　　因為當⊿x→0時，⊿x/x趨向于0而x/⊿x趨向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有

　　lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。

　　可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。

　　這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

　　所以y'=e^nlnx(nlnx)'=x^nn/x=nx^(n-1)。

　　5.y=sinx

　　⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

　　⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

　　所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

　　6.類似地，可以導出y=cosx y'=-sinx。

　　7.y=tanx=sinx/cosx

　　y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

　　8.y=cotx=cosx/sinx

　　y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

　　9.y=arcsinx

　　x=siny

　　x'=cosy

　　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

　　10.y=arccosx

　　x=cosy

　　x'=-siny

　　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanx

　　x=tany

　　x'=1/cos^2y

　　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

　　12.y=arccotx

　　x=coty

　　x'=-1/sin^2y

　　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

　　另外在對雙曲函數shx,chx,thx等以及反雙曲函數arshx,archx,arthx等和其他較復雜的復合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與

　　4.y=u土v,y'=u'土v'

　　5.y=uv,y=u'v+uv'

　　均能較快捷地求得結果

　　大學數學實驗知識點總結3

　　定積分

　　關于定積分的定義及性質，這里要求同學們一定要理解近似、求和還有取極限這幾個步驟。與此同時還要求同學們知道其幾何意義及定義中我們所要注意的地方。對定積分定義這一部分的考察在每年考研中幾乎都是必考內容。因此希望這一部分能引起同學們的一定的重視。關于定積分的性子這一塊，同學們關鍵主要在于理解。定積分中的區間可加性、積分中值定理、比較定理這幾個是同學要掌握的。而對于微積分基本定理這一塊的知識點是非常重要的。這里面有一個新的函數叫做變上限積分函數。關于變上限積分函數的兩個性子是我們一定要掌握的。關于切線與法線，以及單調性、極值;凹凸性的應用與變上限積分函數是可以相關聯的。有了變上限積分函數的定義后，我們就要注意變限積分求導問題了，有關變上限積分的求導，希望同學們能夠會證明，以前考研真題中也出現過此類問題。所以，應當值得我們重視。

　　反常積分

　　對反常積分這一塊內容，要求同學們了解反常積分的基本定義，會利用定積分來判斷其收斂性，會計算反常積分就夠了。而關于反常積分的計算，同學們就當作定積分來求就可以了。

　　定積分的應用

　　最后，就是有關定積分的應用部分了。這一塊應用希望童鞋們要掌握住，其主要就是利用微元法在幾何上應用，對于數一和數二的同學還要求掌握物理上面的應用。而這里，同學們一定要知道數學一、二、三的區別。數學三的同學要掌握用定積分求面積及簡單的體積。而對于數學一和數學二還要求掌握用定積分求曲線弧長、旋轉曲面面積。而數學一和數學二也要掌握物理方面的應用，這里主要要求數一數二的同學掌握用定積分求變力做功、抽水做功及液太靜壓力和質心問題。而這里最要的是同學們一定要掌握微元法這種思想方法。

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