數學奧賽-1(托勒密定理)

時間：2023-05-01 11:30:01 資料我要投稿

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數學奧賽-1(托勒密定理)

托勒密定理

數學奧賽-1(托勒密定理)

定理的提出

一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴

谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。

定理的內容

托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。

原文：圓內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。

從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質．

證明

一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）

在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因為△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

又有比例式AB/AC=AE/AD

而∠BAC=∠DAE

所以△ABC∽△AED相似.

BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因為BE+ED≥BD

（僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”）所以命題得證

復數證明

用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的復數，則AB、CD、AD、B

C、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到復數恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、

B、C、D四點共圓等價。四點不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、

設ABCD是圓內接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD；因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·C

D + BC·DA；但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。三、

托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形ABCD，求證：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．

證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得.....又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得.....①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．

推論

1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·B

C，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。

2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對

對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內

接于一圓、

推廣

托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外

一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。