勾股定理的無字證明

在學習勾股定理時，我們學會運用圖(1)驗證它的正確性;圖中大正方形的面積可表示為 ，也可表示為 ，即 由此推出勾股定理 ，這種根據圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱“無字證明”。

(1)請你用圖(2)(2002年國際數字家大會會標)的面積表達式驗證勾股定理(其中四個直角三角形全等)。

(2)請你用(3)提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證 ：

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(3)請你自己設計圖形的組合，用其面積表達式驗證：

(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq

2這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數的泰勒級數)來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環論證)。

利用相似三角形的證法

利用相似三角形證明

有許多勾股定理的證明方式，都是基于相似三角形中兩邊長的比例。

設ABC為一直角三角形, 直角于角C(看附圖). 從點C畫上三角形的高，并將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角(這又是由于“高”的定義)，而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三只角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關系衍生出以下的比率關系：

因為BC=a,AC=b,AB=c

所以a/c=HB/a and b/c=AH/b

可以寫成a*a=c*HB and b*b=C*AH

綜合這兩個方程式，我們得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c

換句話說:a*a+b*b=c*c

[*]----為乘號

歐幾里得的證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。

在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：

如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。(SAS定理) 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積(據輔助定理3)。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉并轉換成下方的兩個同等面積的長方形。

其證明如下：

設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等于△FBC。 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于△ABD。 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC。 把這兩個結果相加， AB+ AC = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是個正方形，因此AB + AC = C。 此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的

其余見： 勾股定理的美妙證明 [梁卷明網站： 梁卷明

2009年3月24日晚，我參加了廣西教研網的主題研討活動之后，對勾股定理的證明作了進一步的研究，2009年3月28日下午我終于發現了一個美妙的證明：

勾股定理：如圖，直角三角形ABC中：AC+BC=AB.

證明：如圖1,分別以AC、CB、BA為邊長作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，則易知⊿ABC≌⊿RBS,從而點Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使點B與點R重合,則梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置;顯然⊿RSB≌⊿PTA, 如圖2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使點B與點A重合，則⊿RSB必與⊿PTA重合!

故有：正方形ACNM的面積+正方形CBSQ的面積=正方形BAPR的面積，即得：AC+BC=AB.

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