怎樣證明弦切角

怎樣證明弦切角

設(shè)圓心為O，連接OC，OB，OA。過(guò)點(diǎn)A作TP的平行線交BC于D，

則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半)

∵∠BOC=2∠CAB

∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)

2

接OB OC 過(guò)O做OE⊥BC

所以∠A=1/2

又因?yàn)椤螼CT=90°

∠OEC=90°

所以∠EOC=∠TCB

所以∠TCB=∠A

3

溫馨提示

設(shè)切點(diǎn)為A 切線AB 弦AC 圓心為O 過(guò)A作直徑AD 連OC

角CAB等于90度減角DAC

因?yàn)镺A等于OC 所以角AOC等于180度減去二倍的角DAC

即可證明 角AOC等于二倍的角CAB

參考資料：弦切角是這弦所對(duì)的圓心角的一半

4

線段AD與線段EF互相垂直平分。

證明:設(shè)AD交EF于點(diǎn)G.

因?yàn)锳P為切線，所以弦切角等于所對(duì)的圓周角，即∠PAC=∠B，

又因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，

從而∠PAC+∠DAC=∠B+∠BAD,

而∠PAC+∠DAC=∠PAD，

∠B+∠BAD=∠PDA，所以

∠PAD=∠PDA，則△PAD為等腰三角形，

因PM平分∠APD，所以PM垂直平分AD，則EF垂直平分AD，

從而AD垂直EF，

則∠AGE=∠AGF=90°，

再由∠GAF=∠GAE，得到

△EAG≌△FAG，

從而EG=FG，從而AD也垂直平分EF。

5

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,

∴∠CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.

過(guò)A作直徑AD交⊙O于D,

若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)E

那么，連接EC、ED、EA

則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴ ∠CEA=∠CAB

∴ (弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,

過(guò)A作直徑AD交⊙O于D

那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長(zhǎng).

解：連結(jié)OA，OB.

∵在Rt△ABC中, ∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).

求證：EF∥BC.

證明：連DF.

AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

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