向量證明重心

三角形ABC中，重心為O，AD是BC邊上的中線，用向量法證明AO=2OD

(1).AB=12b，AC=12c。AD是中線則AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中點。作DF//BE則EF=EC/2=AC/4=3c。平行線分線段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。

2

設BC中點為M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P為三角形ABC的重心。上來步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要條件是PA+PB+PC=0

3

如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1

設三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1

證明：用歸一法

不妨設AD與BE交于點O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b

因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設BO=xBE=(x/2)(a+b)

同理設AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形ABO中，AO=BO-BA

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因為向量a和b線性無關，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以A0：AD=BO：BE=2：3

故AO：OD=BO：OE=2:1

設AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1

所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

證畢!

4

設三角形ABC的頂點A,B,C的坐標分別為(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)證明：三角形ABC的重心(即三條中線的交點)M的坐標(X,Y)滿足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3\

設:AB的中點為D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M為三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3

5

如圖。設AB=a(向量)，AC=b, AD=(a+b)/2,AO=tAB=ta/2+tb/2.

BE=b/2-a. AO=a+sBE=(1-s)a+sb/2.

t/2=1-s, t/2=s/2.消去s.t=2/3.AO=(2/3)AB.OD=(1/3)AB,AO=2OD.

如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1

設三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1

證明：用歸一法

不妨設AD與BE交于點O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b

因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設BO=xBE=(x/2)(a+b)

同理設AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形ABO中，AO=BO-BA

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因為向量a和b線性無關，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以A0：AD=BO：BE=2：3

故AO：OD=BO：OE=2:1

設AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1

所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

證畢!

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