證明二重極限不存在

時間：2023-04-29 18:03:43 證明范文我要投稿

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證明二重極限不存在

如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在,是二元函數這一節的難點,在這里筆者對這一問題不打算做詳細的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時,一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找幾條通過(或趨于)定點(x0,y0)的特殊曲線,如果動點(x,y)沿這些曲線趨于(x0,y0)時,f(x,y)趨于不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經過(x0,y0),并且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時,所得的結論就不同(這時f(x,y)→1)。為什么會出現這種情況呢?仔細分析一下就不難得到答案

證明二重極限不存在

若用沿曲線，( ，y)一g( ，y)=0趨近于( ，y0)來討論，一0g ，Y 。。可能會出現錯誤，只有證明了( ，)不是孤立點后才不會出錯。[關鍵詞】二重極限;存在性;孤立點[中圖分類號]o13 [文獻標識碼]A [文章編號]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在。是二元函數這一節的難點，在這里筆者對這一問題不打算做詳細的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時。一個值得注意的問題。由二重極限的定義知，要討論limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找幾條通過(或趨于)定點(xo，Yo)的特殊曲線，如果動點(x，Y)沿這些曲線趨于(xo，Y。)時，f(x，Y)趨于不同的值，則可判定二重極限limf(x，Y)不存在，這一方I—’10 r’Y0 法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲線時，是有一定技巧的，不過不管找哪條曲線，這條曲線一定要經過(xo，Y。)，并且定點是這條曲線的非孤立點，這一點很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對于型如2 的極限，在判卜’Io g x，Y y—·y0 斷其不存在時，不少人找的曲線是f(x，y)一g(x，y)：0，這樣做就很容易出錯。

當沿曲線y=-x+x^2趨于(0 0)時，極限為 lim (-x^2+x^3)/x^2=-1;

當沿直線y=x趨于(0 0)時，極限為 lim x^2/2x=0。故極限不存在。

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次極限存在：

x-y+x^2+y^2

l i m l i m ———————— =-1

y->0x->0 x+y

x-y+x^2+y^2

l i m l i m ———————— =1

x->0y->0 x+y