2015考研數學高等數學定理定義

2015年考研數學復習已經開始，考研高等數學基本定理定義需要在備考初期扎實掌握。下面為大家提供2015考研數學高等數學第一章到第八章定理定義匯總。

第一章 函數與極限

1、函數的有界性在定義域內有f(x)≥K1則函數f(x)在定義域上有下界，K1為下界;如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。

2、數列的極限定理(極限的唯一性)數列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。

定理(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂，那么數列{xn}一定有界。

如果數列{xn}無界，那么數列{xn}一定發散;但如果數列{xn}有界，卻不能斷定數列{xn}一定收斂，例如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數列有界但是發散，所以數列有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數列與其子數列的關系)如果數列{xn}收斂于a，那么它的任一子數列也收斂于a.如果數列{xn}有兩個子數列收斂于不同的極限，那么數列{xn}是發散的，如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發散的;同時一個發散的數列的子數列也有可能是收斂的。

3、函數的極限函數極限的定義中0

定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函數f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

一般的說，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮小;有界函數與無窮小的乘積是無窮小;常數與無窮小的乘積是無窮小;有限個無窮小的乘積也是無窮小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數該準則也成立。

單調有界數列必有極限。

6、函數的連續性設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數f(x)在點x0處連續。

不連續情形：1、在點x=x0沒有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數在x0處不連續或間斷。

如果x0是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

定理有限個在某點連續的函數的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續的函數。

定理如果函數f(x)在區間Ix上單調增加或減少且連續，那么它的反函數x=f(y)在對應的區間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增加或減少且連續。反三角函數在他們的定義域內都是連續的。

定理(最大值最小值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上一定有最大值和最小值。如果函數在開區間內連續或函數在閉區間上有間斷點，那么函數在該區間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)

推論在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

第二章 導數與微分

1、導數存在的充分必要條件函數f(x)在點x0處可導的充分必要條件是在點x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導數f-′(x0)右導數f+′(x0)存在相等。

2、函數f(x)在點x0處可導=>函數在該點處連續;函數f(x)在點x0處連續≠>在該點可導。即函數在某點連續是函數在該點可導的必要條件而不是充分條件。

3、原函數可導則反函數也可導，且反函數的導數是原函數導數的倒數。

4、函數f(x)在點x0處可微=>函數在該點處可導;函數f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數在該點處可導。

第三章 中值定理與導數的應用

1、定理(羅爾定理)如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ(a

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ(a

3、定理(柯西中值定理)如果函數f(x)及F(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且F’(x)在(a，b)內的每一點處均不為零，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

4、洛必達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函數單調性的判定法設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那么：(1)如果在(a，b)內f’(x)>0，那么函數f(x)在[a，b]上單調增加;(2)如果在(a，b)內f’(x)

如果函數在定義區間上連續，除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間，就能保證f’(x)在各個部分區間內保持固定符號，因而函數f(x)在每個部分區間上單調。

6、函數的極值如果函數f(x)在區間(a，b)內有定義，x0是(a，b)內的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值。

在函數取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數不一定取得極值，即可導函數的極值點必定是它的駐點(導數為0的點)，但函數的駐點卻不一定是極值點。

定理(函數取得極值的必要條件)設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數在x0的導數為零，即f’(x0)=0.定理(函數取得極值的第一種充分條件)設函數f(x)在x0一個鄰域內可導，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為正;當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為負;當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，那么函數f(x)在x0處沒有極值。

定理(函數取得極值的第二種充分條件)設函數f(x)在x0處具有二階導數且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當f’’(x0)0時，函數f(x)在x0處取得極小值;駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

7、函數的凹凸性及其判定設f(x)在區間Ix上連續，如果對任意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區間Ix上圖形是凸的。

定理設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內具有一階和二階導數，那么(1)若在(a，b)內f’’(x)>0，則f(x)在閉區間[a，b]上的圖形是凹的;(2)若在(a，b)內f’’(x)

判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區間(a，b)內的實根;(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。

在做函數圖形的時候，如果函數有間斷點或導數不存在的點，這些點也要作為分點。

第四章 不定積分

1、原函數存在定理定理如果函數f(x)在區間I上連續，那么在區間I上存在可導函數F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x)

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