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高中數學教案

時間:2022-11-04 22:55:48 高中數學教案 我要投稿

高中數學教案(合集15篇)

  作為一名教師,可能需要進行教案編寫工作,教案是保證教學取得成功、提高教學質量的基本條件。快來參考教案是怎么寫的吧!以下是小編收集整理的高中數學教案,僅供參考,歡迎大家閱讀。

高中數學教案(合集15篇)

高中數學教案1

  [學習目標]

  (1)會用坐標法及距離公式證明Cα+β;

  (2)會用替代法、誘導公式、同角三角函數關系式,由Cα+β推導Cα—β、Sα±β、Tα±β,切實理解上述公式間的關系與相互轉化;

  (3)掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β,并利用簡單的三角變換,解決求值、化簡三角式、證明三角恒等式等問題。

  [學習重點]

  兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

  [學習難點]

  余弦和角公式的推導

  [知識結構]

  1、兩角和的'余弦公式是三角函數一章和、差、倍公式系列的基礎。其公式的證明是用坐標法,利用三角函數定義及平面內兩點間的距離公式,把兩角和α+β的余弦,化為單角α、β的三角函數(證明過程見課本)

  2、通過下面各組數的值的比較:①cos(30°—90°)與cos30°—cos90°②sin(30°+60°)和sin30°+sin60°。我們應該得出如下結論:一般情況下,cos(α±β)≠cosα±cosβ,sin(α±β)≠sinα±sinβ。但不排除一些特例,如sin(0+α)=sin0+sinα=sinα。

  3、當α、β中有一個是的整數倍時,應首選誘導公式進行變形。注意兩角和與差的三角函數是誘導公式等的基礎,而誘導公式是兩角和與差的三角函數的特例。

  4、關于公式的正用、逆用及變用

高中數學教案2

  教學目的:掌握圓的標準方程,并能解決與之有關的問題

  教學重點:圓的標準方程及有關運用

  教學難點:標準方程的靈活運用

  教學過程:

  一、導入新課,探究標準方程

  二、掌握知識,鞏固練習

  練習:⒈說出下列圓的方程

  ⑴圓心(3,-2)半徑為5⑵圓心(0,3)半徑為3

  ⒉指出下列圓的圓心和半徑

  ⑴(x-2)2+(y+3)2=3

  ⑵x2+y2=2

  ⑶x2+y2-6x+4y+12=0

  ⒊判斷3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置關系

  ⒋圓心為(1,3),并與3x-4y-7=0相切,求這個圓的.方程

  三、引伸提高,講解例題

  例1、圓心在y=-2x上,過p(2,-1)且與x-y=1相切求圓的方程(突出待定系數的數學方法)

  練習:1、某圓過(-2,1)、(2,3),圓心在x軸上,求其方程。

  2、某圓過A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4),求圓的方程。

  例2:某圓拱橋的跨度為20米,拱高為4米,在建造時每隔4米加一個支柱支撐,求A2P2的長度。

  例3、點M(x0,y0)在x2+y2=r2上,求過M的圓的切線方程(一題多解,訓練思維)

  四、小結練習P771,2,3,4

  五、作業P811,2,3,4

高中數學教案3

  一、自我介紹

  我姓x,是你們的數學老師,因為是數學老師所以在自我介紹的時候喜歡給出自己的數字特征,也是希望通過這些方式能拓寬與大家交流的平臺,希望能與大家在課堂中相識,在生活中相知,不僅能成為你們知識的傳授者,方法的指引者,更希望成為你們情感上的依賴者。

  二、相信大家對于高中學習都充滿著好奇,和初中相比,高中課程與初中課程有很大的不同。今天這節課我們不急于上新課,我想和大家聊一聊數學,一起來思考為什么要學習數學及如何學好數學這兩個問題。

  (一)為什么要學習數學

  相信高一的第一節課是各位科任老師各顯神通的時候,通過各種有趣的方式來突出每門課的重要性,作為數學老師我表達上不如文科老師迂回婉轉和風趣幽默,我們更喜歡用數字說明問題。大家知道北大最的院系是什么系嗎?早在蔡元培先生任北大校長時,就列數學系為北大第一系,這種傳統一直保持到現在。為什么數學系在高校中有如此重要的地位?課本主編寄語是這樣描述的:數學是有用的,數學有助于提高能力。

  數學家華羅庚在《人民日報》精彩描述了數學在"宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,生物之謎,日用之繁"等方面無處不有重要貢獻。

  問題1:大家知道海王星是怎么發現的,冥王星又是怎么被請出十大行星行列的?

  海王星的發現是在數學計算過程中發現的,天文望遠鏡的觀測只是驗證了人們的推論。

  1812年,法國人布瓦德在計算天王星的運動軌道時,發現理論計算值同觀測資料發生了一系列誤差。這使許多天文學家紛紛致力這個問題的研究,進而發現天王星的脫軌與一個未知的引力的存在相關。也就是說有一個未知的天體作用于天王星。1846年9月23日。柏林天文臺收到來自法國巴黎的一封快信。發信人就是勒威耶。信中,勒威耶預告了一顆以往沒有發現的新星:在摩羯座8星東約5度的地方,有一顆8等小星,每天退行69角秒。當夜,柏林天文臺的加勒把巨大的天文望遠鏡對準摩羯座,果真在那里發現了一顆新的8等星。又過了-天,再次找到了這顆8等星,它的位置比前一天后退了70角秒。這與勒威耶預告的相差甚微。全世界都震動了。人們依照勒威耶的建議,按天文學慣例,用神話里的名字把這顆星命名為"海王星"。

  1930年美國天文學家湯博發現冥王星,當時錯估了冥王星的質量,以為冥王星比地球還大,所以命名為大行星。然而,經過近30年的進一步觀測和計算,發現它的直徑只有2300公里,比月球還要小,等到冥王星的大小被確認,"冥王星是大行星"早已被寫入教科書,以后也就將錯就錯了。經過多年的爭論,國際天文學聯合會通過投票表決做出最終決定,取消冥王星的行星資格。8月24日據國際天文學聯合會宣布,冥王星將被排除在行星行列之外,從而太陽系行星的數量將由九顆減為八顆。事實上,位居太陽系九大行星末席70多年的冥王星,自發現之日起地位就備受爭議。

  馬克思說:"一種科學只有在成功運用數學時,才算達到了真正完善的地步。"正因為數學是日常生活和進一步學習必不可少的基礎和工具,一切科學到了最后都歸結為數學問題。

  其實在我們的周圍有很多事情都是可以用數學可以來解決的,無非很多人都沒有用數學的眼光來看待。

  問題2:徒認為上帝是萬能的。你們認為呢?如何來證明你的結論呢?(讓同學發言)

  我的觀點:上帝不是萬能的。為什么呢?仔細聽我講來。

  證明:(反證法)假如上帝是萬能的

  那么他能夠制作出一塊無論什么力量都搬不動的石頭

  根據假設,既然上帝是萬能的,那么他一定能夠搬的動他自己制造的那石頭

  這與"無論什么力量都搬不動的石頭"相矛盾

  所以假設不成立

  所以上帝不是萬能的。問題3:抓鬮對個人來說公平嗎?5張票中有一張獎票,那么先抽還是后抽對個人還說公平嗎?

  當然,我們學習的數學只是數學學科體系中很基礎,很小的一部分。現在課本上學的未必能直接應用于生活,主要是為以后學習更高層次的理科打好基礎,同時,也為了掌握一些數學的思考方法以及分析問題解決問題的思維方式。哲學家培根說過:"讀詩使人靈秀,讀歷史使人明智,學邏輯使人周密,學哲學使人善辯,學數學使人聰明…",也有人形象地稱數學是思維的體操。下面我們通過具體的例子來體驗一下某些數學思想方法和思維方式。

  故事一:據說國際象棋是古印度的一位宰相發明的。國王很欣賞他的這項發明,問他的宰相要什么賞賜。聰明的宰相說,"我所要的從一粒谷子(沒錯,是1粒,不是1兩或1斤)開始。在這個有64格的棋盤上,第一格里放1粒谷子,第二格里放2粒,第三格里放4粒,即每下一格粒數加倍,……如此下去,一直放滿到棋盤上的64格。這就是我所要的賞賜。"國王覺得宰相要的實在不多,就叫人按宰相的要求賞賜。但后來發現即使把全國所有的谷子抬來也遠遠不夠。

  人們通常憑借自己掌握的數學知識耍些小聰明,使問題妙不可言。

  數學游戲:兩人相繼輪流往長方形桌子上放同樣大小的硬幣,硬幣一定要平放在桌面上,后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上,放最后一顆的硬幣的人算贏。應該先放還是后放才有必勝的把握。

  數學思想:退到最簡單、最特殊的地方。

  故事二:聰明的渡邊:20世紀40年代末,手寫工具突破性進展-圓珠筆問世,它以價廉、方便、書寫流利在社會上廣泛流傳,但寫到20萬字時就會因圓珠磨小而漏油,影響了銷售。工程師們從圓珠質量入手,從改進油墨性能入手進行改良,但收效甚微。于是廠家打出廣告:解決此問題獲獎金50萬元。當時山地制筆廠的青年工人渡邊看到女兒把圓珠筆用到快漏油時就德育不用這一現象中受到啟發,很好地解決了這一問題,你認為他會怎么做呢?

  渡邊的成功之處就在于思維角度新,從問題的側面輕巧取勝。也正體現了數學學習中經常用到的發散式思維。在數學學習中,既要有集中式思維又要有發散式思維。集中式思維是一種常用思維渠道,即為對問題的歸納,聯系思維方式,表現為對解題方法的模仿和繼承;而發散式思維即對問題開拓、創新,表現為對問題舉一反三,觸類旁通。在解決具體問題中,我們應該將兩種思維方式相結合。

  學數學有利于培養人的思維品質:結構意識、整體意識、抽象意識、化歸意識、優化意識、反思意識,盡管數學在培養學生的這些思維品質方面和其他學科存在著交集,但數學在其中的地位是無法被代替的。總之,學習數學可以使人思考問題更合乎邏輯,更有條理,更嚴密精確,更深入簡潔,更善于創造……

  (二)如何學好數學

  高中數學的內容多,抽象性、理論性強,高中很注重自學能力的培養的,高中不會像初中那樣老師一天到晚盯著你,在高中一定要注重自學能力的培養,誰的自學能力強,那么在一定的程度上影響著你的成績以及你將來你發展的前途。同時要注意以下幾點:

  第一:對數學學科特點有清楚的認識

  主編寄語里是這樣描述數學的特征的:數學是自然的。數學的概念、方法、思想都是人類長期實踐中自然發展形成的,以數域的發展為例,從自然數到有理數到實數再到復數,都是由自然的認知沖突引起的。因此,在學習過程中我們有必要了解知識產生的背景,它的形成過程以及它的應用,讓數學顯得合情合理,渾然天成。數學中沒有含糊不清的詞,對錯分明,凡事都要講個為什么,只要按照數學規則去學去想就能融會貫通,但是如果不把來龍去脈想清楚而是"想當然"的話,那就學不下去了。

  第二:要改變一個觀念。

  有人會說自己的基礎不好。那我問下什么是基礎?今天所學的知識就是明天的基礎。明天學習的知識就是后天的基礎。所以要學好每一天的內容,那么你打的基礎就是最扎實的了。所以現在你們是在同一個起跑線上的,無所謂基礎好不好。過去的幾年里我分別帶過五十一中和一中的學生,兩邊學生的課堂感覺差不多,應該說接受能力不相上下,有的時候我會選擇在五十一中開公開課,因為課堂氣氛活躍、輕松,但是成績差異卻是很大,原因在于我們同學外課自主時間的投入太少,學習習慣不太好。

  第三:學數學要摸索自己的學習方法

  學習、掌握并能靈活應用數學的.途徑有千萬條,每個人都可以有與眾不同的數學學習方法。做習題、用數學解決各種問題是必需的,理解、學會證明、領會思想、掌握方法也是必需的。此外,還要發揮問題的作用,學會提問,熱心幫助別人解決問題,用自己的問題和別人的問題帶動自己的學習。同時,注意前后知識的銜接,類比地學、聯系地學,既要從概念中看到它的具體背景,又要在具體的例子中想到它蘊含的一般概念。

  第四:養成良好的學習習慣(與一中學生相比較)

  ㈠課前預習。怎樣預習呢?就是自己在上課之前把內容先看一邊,把自己不懂的地方做個記號或者打個問號,以至于上課的時候重點聽,這樣才能夠很快提高自己的水平。但是預習不是很隨便的把課本看一邊,預習有個目標,那就是通過預習可以把書本后面的練習題可以自己獨立的完成。一中的同學預習就已經有好幾個層次了,先是課本,再是精編,再是高考題典,上課對于他們來說是第一輪高考復習。

  ㈡上課認真聽講。上課的時候準備課本,一只筆,一本草稿。做不做筆記你們自己決定,不過我不大提倡數學課做筆記的。不過有一點,有些知識點比較重要,課本上又沒有的,我要求你們把它寫在課本上的相應的空白地方。還有如果你覺得某個例題比較新或者比較重要,也可以把它記在書本的相應位置上,這樣以后復習起來就一目了然了。那么草稿要來干什么的呢?課堂上你可以自己演算還有做課堂練習。

  ㈢關于作業。絕對不允許有抄作業的情況發生。如果我發現有誰抄作業,那么既然他這樣喜歡抄,我就要你把當天的作業多抄幾遍給我。那有人會問,碰到不會做的題目怎么辦?有兩個辦法:一、向同學請教,請教做題目的思路,而不是整個過程和答案。同學之間也要相互幫助,如果你讓他抄襲你的作業這樣不是幫助他而是害他,這個道理大家應該明白吧。我非常提倡同學之間的相互討論問題的,這樣才能夠相互促進提高。二、向老師請教,要養成多想多問的習慣。我的辦公室在二樓二號,歡迎大家前來交流

  ㈣準備一本筆記本,作為自己的問題集。把平時自己不懂的和不大理解的還有易錯的記錄下來,并且要及時的消化,不懂的地方問老師。這是一個很好的辦法,到考試的時候就可以有重點、有針對性的自己復習了。我高中的時候就是采用這樣的方法把數學成績提高。

  好的開始是成功的一半,新的學期開始了,請大家調整好自己的思想,找到學習的原動力。播種一種思想,收獲一種行為;播種一種行為,收獲一種習慣;播種一種習慣,收獲一種性格;播種一種性格,收獲一種命運。愿每位同學都有個好的開始。

高中數學教案4

  教學準備

  1.教學目標

  1、知識與技能:

  函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型.高中階段不僅把函數看成變量之間的依

  賴關系,同時還用集合與對應的語言刻畫函數,高中階段更注重函數模型化的思想與意識.

  2、過程與方法:

  (1)通過實例,進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型,在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數,體會對應關系在刻畫函數概念中的作用;

  (2)了解構成函數的要素;

  (3)會求一些簡單函數的定義域和值域;

  (4)能夠正確使用“區間”的符號表示函數的定義域;

  3、情感態度與價值觀,使學生感受到學習函數的必要性和重要性,激發學習的積極性.

  教學重點/難點

  重點:理解函數的模型化思想,用集合與對應的語言來刻畫函數;

  難點:符號“y=f(x)”的含義,函數定義域和值域的區間表示;

  教學用具

  多媒體

  4.標簽

  函數及其表示

  教學過程

  (一)創設情景,揭示課題

  1、復習初中所學函數的概念,強調函數的模型化思想;

  2、閱讀課本引例,體會函數是描述客觀事物變化規律的數學模型的思想:

  (1)炮彈的射高與時間的變化關系問題;

  (2)南極臭氧空洞面積與時間的變化關系問題;

  (3)“八五”計劃以來我國城鎮居民的恩格爾系數與時間的變化關系問題.

  3、分析、歸納以上三個實例,它們有什么共同點;

  4、引導學生應用集合與對應的語言描述各個實例中兩個變量間的依賴關系;

  5、根據初中所學函數的概念,判斷各個實例中的兩個變量間的關系是否是函數關系.

  (二)研探新知

  1、函數的有關概念

  (1)函數的概念:

  設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(function).

  記作:y=f(x),x∈A.

  其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數的定義域(domain);與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域(range).

  注意:

  ①“y=f(x)”是函數符號,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;

  ②函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數值,一個數,而不是f乘x.

  (2)構成函數的三要素是什么?

  定義域、對應關系和值域

  (3)區間的概念

  ①區間的.分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;

  ②無窮區間;

  ③區間的數軸表示.

  (4)初中學過哪些函數?它們的定義域、值域、對應法則分別是什么?

  通過三個已知的函數:y=ax+b(a≠0)

  y=ax2+bx+c(a≠0)

  y=(k≠0)比較描述性定義和集合,與對應語言刻畫的定義,談談體會.

  師:歸納總結

  (三)質疑答辯,排難解惑,發展思維。

  1、如何求函數的定義域

  例1:已知函數f(x)=+

  (1)求函數的定義域;

  (2)求f(-3),f()的值;

  (3)當a>0時,求f(a),f(a-1)的值.

  分析:函數的定義域通常由問題的實際背景確定,如前所述的三個實例.如果只給出解析式y=f(x),而沒有指明它的定義域,那么函數的定義域就是指能使這個式子有意義的實數的集合,函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.

  例2、設一個矩形周長為80,其中一邊長為x,求它的面積關于x的函數的解析式,并寫出定義域.

  分析:由題意知,另一邊長為x,且邊長x為正數,所以0<x<40.

  所以s==(40-x)x(0<x<40)

  引導學生小結幾類函數的定義域:

  (1)如果f(x)是整式,那么函數的定義域是實數集R.

  2)如果f(x)是分式,那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合.

  (3)如果f(x)是二次根式,那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合.

  (4)如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的,那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合.(即求各集合的交集)

  (5)滿足實際問題有意義.

  鞏固練習:課本P19第1

  2、如何判斷兩個函數是否為同一函數

  例3、下列函數中哪個與函數y=x相等?

  分析:

  1構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的,所以,如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致,即稱這兩個函數相等(或為同一函數)

  2兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致,而與表示自變量和函數值的字母無關。

  解:

  課本P18例2

  (四)歸納小結

  ①從具體實例引入了函數的概念,用集合與對應的語言描述了函數的定義及其相關概念;②初步介紹了求函數定義域和判斷同一函數的基本方法,同時引出了區間的概念.

  (五)設置問題,留下懸念

  1、課本P24習題1.2(A組)第1—7題(B組)第1題

  2、舉出生活中函數的例子(三個以上),并用集合與對應的語言來描述函數,同時說出函數的定義域、值域和對應關系.

  課堂小結

高中數學教案5

  教學目標:

  (1)了解坐標法和解析幾何的意義,了解解析幾何的基本問題。

  (2)進一步理解曲線的方程和方程的曲線。

  (3)初步掌握求曲線方程的方法。

  (4)通過本節內容的教學,培養學生分析問題和轉化的能力。

  教學重點、難點:

  求曲線的方程。

  教學用具:

  計算機。

  教學方法:

  啟發引導法,討論法。

  教學過程:

  【引入】

  1、提問:什么是曲線的方程和方程的曲線。

  學生思考并回答。教師強調。

  2、坐標法和解析幾何的意義、基本問題。

  對于一個幾何問題,在建立坐標系的基礎上,用坐標表示點;用方程表示曲線,通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質,這一研究幾何問題的方法稱為坐標法,這門科學稱為解析幾何。解析幾何的兩大基本問題就是:

  (1)根據已知條件,求出表示平面曲線的方程。

  (2)通過方程,研究平面曲線的性質。

  事實上,在前邊所學的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題。而且要先研究如何求出曲線方程,再研究如何用方程研究曲線。本節課就初步研究曲線方程的求法。

  【問題】

  如何根據已知條件,求出曲線的方程。

  【實例分析】

  例1:設、兩點的坐標是、(3,7),求線段的垂直平分線的方程。

  首先由學生分析:根據直線方程的知識,運用點斜式即可解決。

  解法一:易求線段的中點坐標為(1,3),

  由斜率關系可求得l的斜率為

  于是有

  即l的方程為

  ①

  分析、引導:上述問題是我們早就學過的,用點斜式就可解決。可是,你們是否想過①恰好就是所求的嗎?或者說①就是直線的方程?根據是什么,有證明嗎?

  (通過教師引導,是學生意識到這是以前沒有解決的問題,應該證明,證明的依據就是定義中的兩條)。

  證明:(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解。

  設是線段的垂直平分線上任意一點,則

  即

  將上式兩邊平方,整理得

  這說明點的坐標是方程的解。

  (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。

  設點的坐標是方程①的任意一解,則

  到、的距離分別為

  所以,即點在直線上。

  綜合(1)、(2),①是所求直線的方程。

  至此,證明完畢。回顧上述內容我們會發現一個有趣的現象:在證明(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解中,設是線段的垂直平分線上任意一點,最后得到式子,如果去掉腳標,這不就是所求方程嗎?可見,這個證明過程就表明一種求解過程,下面試試看:

  解法二:設是線段的垂直平分線上任意一點,也就是點屬于集合

  由兩點間的距離公式,點所適合的條件可表示為

  將上式兩邊平方,整理得

  果然成功,當然也不要忘了證明,即驗證兩條是否都滿足。顯然,求解過程就說明第一條是正確的(從這一點看,解法二也比解法一優越一些);至于第二條上邊已證。

  這樣我們就有兩種求解方程的方法,而且解法二不借助直線方程的理論,又非常自然,還體現了曲線方程定義中點集與對應的思想。因此是個好方法。

  讓我們用這個方法試解如下問題:

  例2:點與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數求點的軌跡方程。

  分析:這是一個純粹的幾何問題,連坐標系都沒有。所以首先要建立坐標系,顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標軸,建立直角坐標系。然后仿照例1中的解法進行求解。

  求解過程略。

  【概括總結】通過學生討論,師生共同總結:

  分析上面兩個例題的求解過程,我們總結一下求解曲線方程的大體步驟:

  首先應有坐標系;其次設曲線上任意一點;然后寫出表示曲線的點集;再代入坐標;最后整理出方程,并證明或修正。說得更準確一點就是:

  (1)建立適當的坐標系,用有序實數對例如表示曲線上任意一點的坐標;

  (2)寫出適合條件的點的集合

  ;

  (3)用坐標表示條件,列出方程;

  (4)化方程為最簡形式;

  (5)證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。

  一般情況下,求解過程已表明曲線上的點的坐標都是方程的解;如果求解過程中的轉化都是等價的,那么逆推回去就說明以方程的.解為坐標的點都是曲線上的點。所以,通常情況下證明可省略,不過特殊情況要說明。

  上述五個步驟可簡記為:建系設點;寫出集合;列方程;化簡;修正。

  下面再看一個問題:

  例3:已知一條曲線在軸的上方,它上面的每一點到點的距離減去它到軸的距離的差都是2,求這條曲線的方程。

  【動畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過程和形狀,在運動變化的過程中尋找關系。

  解:設點是曲線上任意一點,軸,垂足是(如圖2),那么點屬于集合

  由距離公式,點適合的條件可表示為

  ①

  將①式移項后再兩邊平方,得

  化簡得

  由題意,曲線在軸的上方,所以,雖然原點的坐標(0,0)是這個方程的解,但不屬于已知曲線,所以曲線的方程應為,它是關于軸對稱的拋物線,但不包括拋物線的頂點,如圖2中所示。

  【練習鞏固】

  題目:在正三角形內有一動點,已知到三個頂點的距離分別為、、,且有,求點軌跡方程。

  分析、略解:首先應建立坐標系,以正三角形一邊所在的直線為一個坐標軸,這條邊的垂直平分線為另一個軸,建立直角坐標系比較簡單,如圖3所示。設、的坐標為、,則的坐標為,的坐標為。

  根據條件,代入坐標可得

  化簡得

  ①

  由于題目中要求點在三角形內,所以,在結合①式可進一步求出、的范圍,最后曲線方程可表示為

  【小結】師生共同總結:

  (1)解析幾何研究研究問題的方法是什么?

  (2)如何求曲線的方程?

  (3)請對求解曲線方程的五個步驟進行評價。各步驟的作用,哪步重要,哪步應注意什么?

  【作業】課本第72頁練習1,2,3;

高中數學教案6

  內容分析:

  1、 集合是中學數學的一個重要的基本概念

  在小學數學中,就滲透了集合的初步概念,到了初中,更進一步應用集合的語言表述一些問題。例如,在代數中用到的有數集、解集等;在幾何中用到的有點集。至于邏輯,可以說,從開始學習數學就離不開對邏輯知識的掌握和運用,基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中,也是認識問題、研究問題不可缺少的工具。這些可以幫助學生認識學習本章的意義,也是本章學習的基礎。

  把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數學的最開始,是因為在高中數學中,這些知識與其他內容有著密切聯系,它們是學習、掌握和使用數學語言的基礎

  例如,下一章講函數的概念與性質,就離不開集合與邏輯。

  本節首先從初中代數與幾何涉及的集合實例入手,引出集合與集合的元素的概念,并且結合實例對集合的概念作了說明

  然后,介紹了集合的常用表示方法,包括列舉法、描述法,還給出了畫圖表示集合的例子。

  這節課主要學習全章的引言和集合的基本概念

  學習引言是引發學生的學習興趣,使學生認識學習本章的意義

  本節課的教學重點是集合的基本概念。

  集合是集合論中的原始的、不定義的概念

  在開始接觸集合的概念時,主要還是通過實例,對概念有一個初步認識

  教科書給出的“一般地,某些指定的對象集在一起就成為一個集合,也簡稱集

  ”這句話,只是對集合概念的描述性說明。

  教學過程:

  一、復習引入:

  1.簡介數集的發展,復習最大公約數和最小公倍數,質數與和數;

  2.教材中的章頭引言;

  3.集合論的創始人——康托爾(德國數學家)(見附錄);

  4.“物以類聚”,“人以群分”;

  5.教材中例子(P4)。

  二、講解新課:

  閱讀教材第一部分,問題如下:

  (1)有那些概念?是如何定義的?

  (2)有那些符號?是如何表示的?

  (3)集合中元素的特性是什么?

  (一)集合的有關概念:由一些數、一些點、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說,每一組對象的全體形成一個集合,或者說,某些指定的對象集在一起就成為一個集合,也簡稱集.集合中的每個對象叫做這個集合的元素.

  定義:一般地,某些指定的對象集在一起就成為一個集合.

  1、集合的概念

  (1)集合:某些指定的對象集在一起就形成一個集合(簡稱集)

  (2)元素:集合中每個對象叫做這個集合的元素

  2、常用數集及記法

  (1)非負整數集(自然數集):全體非負整數的集合,記作N,N={0,1,2,…}

  (2)正整數集:非負整數集內排除0的集,記作N*或N+,N*={1,2,3,…}

  (3)整數集:全體整數的'集合,記作Z ,Z={0,±1,±2,…}

  (4)有理數集:全體有理數的集合,記作Q,Q={整數與分數}

  (5)實數集:全體實數的集合,記作R,R={數軸上所有點所對應的數}

  注:(1)自然數集與非負整數集是相同的,也就是說,自然數集包括數0

  (2)非負整數集內排除0的集,記作N*或N+

  Q、Z、R等其它數集內排除0的集,也是這樣表示,例如,整數集內排除0的集,表示成Z*

  3、元素對于集合的隸屬關系

  (1)屬于:如果a是集合A的元素,就說a屬于A,記作a∈A

  (2)不屬于:如果a不是集合A的元素,就說a不屬于A,記作aA

  4、集合中元素的特性

  (1)確定性:按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里,或者不在,不能模棱兩可

  (2)互異性:集合中的元素沒有重復

  (3)無序性:集合中的元素沒有一定的順序(通常用正常的順序寫出)

  5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q……

  元素通常用小寫的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

  ⑵“∈”的開口方向,不能把a∈A顛倒過來寫。

高中數學教案7

  教學目標

  (1)使學生正確理解組合的意義,正確區分排列、組合問題;

  (2)使學生掌握組合數的計算公式;

  (3)通過學習組合知識,讓學生掌握類比的學習方法,并提高學生分析問題和解決問題的能力;

  教學重點難點

  重點是組合的定義、組合數及組合數的公式;

  難點是解組合的應用題.

  教學過程設計

  (-)導入新課

  (教師活動)提出下列思考問題,打出字幕.

  [字幕]一條鐵路線上有6個火車站,(1)需準備多少種不同的普通客車票?(2)有多少種不同票價的普通客車票?上面問題中,哪一問是排列問題?哪一問是組合問題?

  (學生活動)討論并回答.

  答案提示:(1)排列;(2)組合.

  [評述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個,并按一定的順序排列,要求出排法的種數,屬于排列問題;(2)是從6個火車站中任選兩個并成一組,兩站無順序關系,要求出不同的組數,屬于組合問題.這節課著重研究組合問題.

  設計意圖:組合與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設計的問題目的是從排列知識中發現并提出新的問題.

  (二)新課講授

  [提出問題 創設情境]

  (教師活動)指導學生帶著問題閱讀課文.

  [字幕]1.排列的定義是什么?

  2.舉例說明一個組合是什么?

  3.一個組合與一個排列有何區別?

  (學生活動)閱讀回答.

  (教師活動)對照課文,逐一評析.

  設計意圖:激活學生的`思維,使其將所學的知識遷移過渡,并盡快適應新的環境.

  【歸納概括 建立新知】

  (教師活動)承接上述問題的回答,展示下面知識.

  [字幕]模型:從 個不同元素中取出 個元素并成一組,叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合.如前面思考題:6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票,是從6個元素中取出2個元素的一個組合.

  組合數:從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數,稱之,用符號 表示,如從6個元素中取出2個元素的組合數為 .

  [評述]區分一個排列與一個組合的關鍵是:該問題是否與順序有關,當取出元素后,若改變一下順序,就得到一種新的取法,則是排列問題;若改變順序,仍得原來的取法,就是組合問題.

  (學生活動)傾聽、思索、記錄.

  (教師活動)提出思考問題.

  [投影] 與 的關系如何?

  (師生活動)共同探討.求從 個不同元素中取出 個元素的排列數 ,可分為以下兩步:

  第1步,先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數為 ;

  第2步,求每一個組合中 個元素的全排列數為 .

  根據分步計數原理,得到

  [字幕]公式1:

  公式2:

  (學生活動)驗算 ,即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票.

  設計意圖:本著以認識概念為起點,以問題為主線,以培養能力為核心的宗旨,逐步展示知識的形成過程,使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去.

  (三)小結

  (師生活動)共同小結.

  本節主要內容有

  1.組合概念.

  2.組合數計算的兩個公式.

  (四)布置作業

  1.課本作業:習題10 3第1(1)、(4),3題.

  2.思考題:某學習小組有8個同學,從男生中選2人,女生中選1人參加數學、物理、化學三種學科競賽,要求每科均有1人參加,共有180種不同的選法,那么該小組中,男、女同學各有多少人?

  3.研究性題:

  在 的 邊上除頂點 外有 5個點,在 邊上有 4個點,由這些點(包括 )能組成多少個四邊形?能組成多少個三角形?

  (五)課后點評

  在學習了排列知識的基礎上,本節課引進了組合概念,并推導出組合數公式,同時調控進行訓練,從而培養學生分析問題、解決問題的能力.

  作業參考答案

  2.解;設有男同學 人,則有女同學 人,依題意有 ,由此解得 或 或2.即男同學有5人或6人,女同學相應為3人或2人.

  3.能組成 (注意不能用 點為頂點)個四邊形, 個三角形.

  探究活動

  同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,那么四張不同的分配萬式可有多少種?

  解 設四人分別為甲、乙、丙、丁,可從多種角度來解.

  解法一 可將拿賀卡的情況,按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類,即:

  甲拿乙制作的賀卡時,則賀卡有3種分配方法.

  甲拿丙制作的賀卡時,則賀卡有3種分配方法.

  甲拿丁制作的賀卡時,則賀卡有3種分配方法.

  由加法原理得,賀卡分配方法有3+3+3=9種.

  解法二 可從利用排列數和組合數公式角度來考慮.這時還存在正向與逆向兩種思考途徑.

  正向思考,即從滿足題設條件出發,分步完成分配.先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張,有 種取法,剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張,也有 種,最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡,其取法只有互取對方制作賀卡1種取法.根據乘法原理,賀卡的分配方法有 (種).

  逆向思考,即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設條件的取法.不滿足題設條件的取法為,其中只有1人取自己制作的賀卡,其中有2人取自己制作的賀卡,其中有3人取自己制作的賀卡(此時即為4人均拿自己制作的賀卡).其取法分別為 1.故符合題設要求的取法共有 (種).

高中數學教案8

  教學目標:

  (1)知識與技能:了解集合的含義,理解并掌握元素與集合的“屬于”關系、集合中元素的三個特性,識記數學中一些常用的的數集及其記法,能選擇自然語言、列舉法和描述法表示集合。

  (2)過程與方法:從圓、線段的垂直平分線的定義引出“集合”一詞,通過探討一系列的例子形成集合的概念,舉例剖析集合中元素的`三個特性,探討元素與集合的關系,比較用自然語言、列舉法和描述法表示集合。

  (3)情感態度與價值觀:感受集合語言的意義和作用,培養合作交流、勤于思考、積極探討的精神,發展用嚴密謹慎的集合語言描述問題的習慣。

  教學重難點:

  (1)重點:了解集合的含義與表示、集合中元素的特性。

  (2)難點:區別集合與元素的概念及其相應的符號,理解集合與元素的關系,表示具體的集合時,如何從列舉法與描述法中做出選擇。

  教學過程:

  【問題1】在初中我們已經學習了圓、線段的垂直平分線,大家回憶一下教材中是如何對它們進行定義的?

  [設計意圖]引出“集合”一詞。

  【問題2】同學們知道什么是集合嗎?請大家思考討論課本第2頁的思考題。

  [設計意圖]探討并形成集合的含義。

  【問題3】請同學們舉出認為是集合的例子。

  [設計意圖]點評學生舉出的例子,剖析并強調集合中元素的三大特性:確定性、互異性、無序性。

  【問題4】同學們知道用什么來表示一個集合,一個元素嗎?集合與元素之間有怎樣的關系?

  [設計意圖]區別表示集合與元素的的符號,介紹集合中一些常用的的數集及其記法。理解集合與元素的關系。

  【問題5】“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋},“方程(x-1)(x+2)=0的所有實數根”組成的集

  [設計意圖]引出并介紹列舉法。

  【問題6】例1的講解。同學們能用列舉法表示不等式x-7<3的解集嗎?

  【問題7】例2的講解。請同學們思考課本第6頁的思考題。

  [設計意圖]幫助學生在表示具體的集合時,如何從列舉法與描述法中做出選擇。

  【問題8】請同學們總結這節課我們主要學習了那些內容?有什么學習體會?

  [設計意圖]學習小結。對本節課所學知識進行回顧。

  布置作業。

高中數學教案9

  教學目標

  (1)掌握直線方程的一般形式,掌握直線方程幾種形式之間的互化.

  (2)理解直線與二元一次方程的關系及其證明

  (3)培養學生抽象概括能力、分類討論能力、逆向思維的習慣和形成特殊與一般辯證統一的觀點.

  教學重點、難點:直線方程的一般式.直線與二元一次方程 ( 、 不同時為0)的對應關系及其證明.

  教學用具:計算機

  教學方法:啟發引導法,討論法

  教學過程

  下面給出教學實施過程設計的簡要思路:

  教學設計思路

  (一)引入的設計

  前邊學習了如何根據所給條件求出直線方程的方法,看下面問題:

  問:說出過點 (2,1),斜率為2的直線的方程,并觀察方程屬于哪一類,為什么?

  答:直線方程是 ,屬于二元一次方程,因為未知數有兩個,它們的最高次數為一次.

  肯定學生回答,并糾正學生中不規范的表述.再看一個問題:

  問:求出過點 , 的直線的方程,并觀察方程屬于哪一類,為什么?

  答:直線方程是 (或其它形式),也屬于二元一次方程,因為未知數有兩個,它們的最高次數為一次.

  肯定學生回答后強調“也是二元一次方程,都是因為未知數有兩個,它們的'最高次數為一次”.

  啟發:你在想什么(或你想到了什么)?誰來談談?各小組可以討論討論.

  學生紛紛談出自己的想法,教師邊評價邊啟發引導,使學生的認識統一到如下問題:

  【問題1】“任意直線的方程都是二元一次方程嗎?”

  (二)本節主體內容教學的設計

  這是本節課要解決的第一個問題,如何解決?自己先研究研究,也可以小組研究,確定解決問題的思路.

  學生或獨立研究,或合作研究,教師巡視指導.

  經過一定時間的研究,教師組織開展集體討論.首先讓學生陳述解決思路或解決方案:

  思路一:…

  思路二:…

  ……

  教師組織評價,確定最優方案(其它待課下研究)如下:

  按斜率是否存在,任意直線 的位置有兩種可能,即斜率 存在或不存在.

  當 存在時,直線 的截距 也一定存在,直線 的方程可表示為 ,它是二元一次方程.

  當 不存在時,直線 的方程可表示為 形式的方程,它是二元一次方程嗎?

  學生有的認為是有的認為不是,此時教師引導學生,逐步認識到把它看成二元一次方程的合理性:

  平面直角坐標系中直線 上點的坐標形式,與其它直線上點的坐標形式沒有任何區別,根據直線方程的概念,方程 解的形式也是二元方程的解的形式,因此把它看成形如 的二元一次方程是合理的.

  綜合兩種情況,我們得出如下結論:

  在平面直角坐標系中,對于任何一條直線,都有一條表示這條直線的關于 、 的二元一次方程.

  至此,我們的問題1就解決了.簡單點說就是:直線方程都是二元一次方程.而且這個方程一定可以表示成 或 的形式,準確地說應該是“要么形如 這樣,要么形如 這樣的方程”.

  同學們注意:這樣表達起來是不是很啰嗦,能不能有一個更好的表達?

  學生們不難得出:二者可以概括為統一的形式.

  這樣上邊的結論可以表述如下:

  在平面直角坐標系中,對于任何一條直線,都有一條表示這條直線的形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程.

  啟發:任何一條直線都有這種形式的方程.你是否覺得還有什么與之相關的問題呢?

  【問題2】任何形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程都表示一條直線嗎?

  不難看出上邊的結論只是直線與方程相互關系的一個方面,這個問題是它的另一方面.這是顯然的嗎?不是,因此也需要像剛才一樣認真地研究,得到明確的結論.那么如何研究呢?

  師生共同討論,評價不同思路,達成共識:

  回顧上邊解決問題的思路,發現原路返回就是非常好的思路,即方程 (其中 、 不同時為0)系數 是否為0恰好對應斜率 是否存在,即

  (1)當 時,方程可化為

  這是表示斜率為 、在 軸上的截距為 的直線.

  (2)當 時,由于 、 不同時為0,必有 ,方程可化為

  這表示一條與 軸垂直的直線.

  因此,得到結論:

  在平面直角坐標系中,任何形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程都表示一條直線.

  為方便,我們把 (其中 、 不同時為0)稱作直線方程的一般式是合理的.

  【動畫演示】

  演示“直線各參數”文件,體會任何二元一次方程都表示一條直線.

  至此,我們的第二個問題也圓滿解決,而且我們還發現上述兩個問題其實是一個大問題的兩個方面,這個大問題揭示了直線與二元一次方程的對應關系,同時,直線方程的一般形式是對直線特殊形式的抽象和概括,而且抽象的層次越高越簡潔,我們還體會到了特殊與一般的轉化關系.

  (三)練習鞏固、總結提高、板書和作業等環節的設計

  略

高中數學教案10

  一、預習目標

  預習《平面向量應用舉例》,體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具,建立實際問題與向量的聯系。

  二、預習內容

  閱讀課本內容,整理例題,結合向量的運算,解決實際的幾何問題、物理問題。另外,在思考一下幾個問題:

  1、例1如果不用向量的方法,還有其他證明方法嗎?

  2、利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是什么?

  3、例3中,

  ⑴為何值時,|F1|最小,最小值是多少?

  ⑵|F1|能等于|G|嗎?為什么?

  三、提出疑惑

  同學們,通過你的自主學習,你還有哪些疑惑,請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容。

  課內探究學案

  一、學習內容

  1、運用向量的有關知識(向量加減法與向量數量積的運算法則等)解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的.平行、垂直、相等、夾角和距離等問題。

  2、運用向量的有關知識解決簡單的物理問題。

  二、學習過程

  探究一:

  (1)向量運算與幾何中的結論"若,則,且所在直線平行或重合"相類比,你有什么體會?

  (2)舉出幾個具有線性運算的幾何實例。

  例1、證明:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和。

  已知:平行四邊形ABCD。

  求證:

  試用幾何方法解決這個問題,利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”?

  (1)建立平面幾何與向量的聯系,

  (2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,

  (3)把運算結果“翻譯”成幾何關系。

  例2,如圖,平行四邊形ABCD中,點E、F分別是AD、DC邊的中點,BE、BF分別與AC交于R、T兩點,你能發現AR、RT、TC之間的關系嗎?

  探究二:兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力。在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力。這些力的問題是怎么回事?

  例3,在日常生活中,你是否有這樣的經驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上作引體向上運動,兩臂的夾角越小越省力。你能從數學的角度解釋這種現象嗎?

  請同學們結合剛才這個問題,思考下面的問題:

  ⑴為何值時,|F1|最小,最小值是多少?

  ⑵|F1|能等于|G|嗎?為什么?

  例4如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度m,一艘船從A處出發到河對岸。已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,問行駛航程最短時,所用的時間是多少(精確到0。1min)?

  變式訓練:兩個粒子A、B從同一源發射出來,在某一時刻,它們的位移分別為,(1)寫出此時粒子B相對粒子A的位移s;(2)計算s在方向上的投影。

  三、反思總結

  結合圖形特點,選定正交基底,用坐標表示向量進行運算解決幾何問題,體現幾何問題。

  代數化的特點,數形結合的數學思想體現的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運算簡練標致,又體現了數學的美。有關長方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法。

  本節主要研究了用向量知識解決平面幾何問題和物理問題;掌握向量法和坐標法,以及用向量解決實際問題的步驟。

高中數學教案11

  1.1.1 任意角

  教學目標

  (一) 知識與技能目標

  理解任意角的概念(包括正角、負角、零角) 與區間角的概念.

  (二) 過程與能力目標

  會建立直角坐標系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合;掌握區間角的集合的書寫.

  (三) 情感與態度目標

  1. 提高學生的推理能力;

  2.培養學生應用意識. 教學重點

  任意角概念的理解;區間角的集合的書寫. 教學難點

  終邊相同角的集合的表示;區間角的集合的書寫.

  教學過程

  一、引入:

  1.回顧角的定義

  ①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.

  ②角的第二種定義是角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.

  二、新課:

  1.角的有關概念:

  ①角的定義:

  角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.

  ②角的名稱:

  ③角的分類: A

  正角:按逆時針方向旋轉形成的角 零角:射線沒有任何旋轉形成的角

  負角:按順時針方向旋轉形成的角

  ④注意:

  ⑴在不引起混淆的情況下,“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”;

  ⑵零角的終邊與始邊重合,如果α是零角α =0°;

  ⑶角的概念經過推廣后,已包括正角、負角和零角.

  ⑤練習:請說出角α、β、γ各是多少度?

  2.象限角的概念:

  ①定義:若將角頂點與原點重合,角的始邊與x軸的.非負半軸重合,那么角的終邊(端點除外)在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.

  例1.在直角坐標系中,作出下列各角,并指出它們是第幾象限的角.

  ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°;

  答:分別為1、2、3、4、1、2象限角.

  3.探究:教材P3面

  終邊相同的角的表示:

  所有與角α終邊相同的角,連同α在內,可構成一個集合S={ β | β = α +

  k·360° ,

  k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整個周角的和. 注意: ⑴ k∈Z

  ⑵ α是任一角;

  ⑶ 終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無限個,它們相差

  360°的整數倍;

  ⑷ 角α + k·720°與角α終邊相同,但不能表示與角α終邊相同的所有角.

  例2.在0°到360°范圍內,找出與下列各角終邊相等的角,并判斷它們是第幾象限角.

  ⑴-120°;

  ⑵640°;

  ⑶-950°12’.

  答:⑴240°,第三象限角;

  ⑵280°,第四象限角;

  ⑶129°48’,第二象限角;

  例4.寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}.

  例5.寫出終邊在y?x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來.

  4.課堂小結

  ①角的定義;

  ②角的分類:

  正角:按逆時針方向旋轉形成的角 零角:射線沒有任何旋轉形成的角

  負角:按順時針方向旋轉形成的角

  ③象限角;

  ④終邊相同的角的表示法.

  5.課后作業:

  ①閱讀教材P2-P5;

  ②教材P5練習第1-5題;

  ③教材P.9習題1.1第1、2、3題 思考題:已知α角是第三象限角,則2α,

  解:??角屬于第三象限,

  ? k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z)

  因此,2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°(k∈Z) 即(2k +1)360°<2α<(2k +1)360°+180°(k∈Z)

  故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角. 又k·180°+90°<

  各是第幾象限角?

  <k·180°+135°(k∈Z) .

  <n·360°+135°(n∈Z) ,

  當k為偶數時,令k=2n(n∈Z),則n·360°+90°<此時,

  屬于第二象限角

  <n·360°+315°(n∈Z) ,

  當k為奇數時,令k=2n+1 (n∈Z),則n·360°+270°<此時,

  屬于第四象限角

  因此

  屬于第二或第四象限角.

  1.1.2弧度制

  (一)

  教學目標

  (二) 知識與技能目標

  理解弧度的意義;了解角的集合與實數集R之間的可建立起一一對應的關系;熟記特殊角的弧度數.

  (三) 過程與能力目標

  能正確地進行弧度與角度之間的換算,能推導弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式,并能運用公式解決一些實際問題

  (四) 情感與態度目標

  通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進,培養學生求異創新的精神;通過對弧度制與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比,讓學生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美. 教學重點

  弧度的概念.弧長公式及扇形的面積公式的推導與證明. 教學難點

  “角度制”與“弧度制”的區別與聯系.

  教學過程

  一、復習角度制:

  初中所學的角度制是怎樣規定角的度量的? 規定把周角的作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制.

  二、新課:

  1.引 入:

  由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的, 角度制的度量是60進制的,運用起來不太方便.在數學和其他許多科學研究中還要經常用到另一種度量角的制度—弧度制,它是如何定義呢?

  2.定 義

  我們規定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角;用弧度來度量角的單位制叫做弧度制.在弧度制下, 1弧度記做1rad.在實際運算中,常常將rad單位省略.

  3.思考:

  (1)一定大小的圓心角?所對應的弧長與半徑的比值是否是確定的?與圓的半徑大小有關嗎?

  (2)引導學生完成P6的探究并歸納: 弧度制的性質:

  ①半圓所對的圓心角為

  ②整圓所對的圓心角為

  ③正角的弧度數是一個正數.

  ④負角的弧度數是一個負數.

  ⑤零角的弧度數是零.

  ⑥角α的弧度數的絕對值|α|= .

  4.角度與弧度之間的轉換:

  ①將角度化為弧度:

  ②將弧度化為角度:

  5.常規寫法:

  ① 用弧度數表示角時,常常把弧度數寫成多少π 的形式, 不必寫成小數.

  ② 弧度與角度不能混用.

  弧長等于弧所對應的圓心角(的弧度數)的絕對值與半徑的積.

  例1.把67°30’化成弧度.

  例2.把? rad化成度.

  例3.計算:

  (1)sin4

  (2)tan1.5.

  8.課后作業:

  ①閱讀教材P6 –P8;

  ②教材P9練習第1、2、3、6題;

  ③教材P10面7、8題及B2、3題.

高中數學教案12

  1.課題

  填寫課題名稱(高中代數類課題)

  2.教學目標

  (1)知識與技能:

  通過本節課的學習,掌握......知識,提高學生解決實際問題的能力;

  (2)過程與方法:

  通過......(討論、發現、探究),提高......(分析、歸納、比較和概括)的能力;

  (3)情感態度與價值觀:

  通過本節課的學習,增強學生的學習興趣,將數學應用到實際生活中,增加學生數學學習的樂趣。

  3.教學重難點

  (1)教學重點:本節課的知識重點

  (2)教學難點:易錯點、難以理解的知識點

  4.教學方法(一般從中選擇3個就可以了)

  (1)討論法

  (2)情景教學法

  (3)問答法

  (4)發現法

  (5)講授法

  5.教學過程

  (1)導入

  簡單敘述導入課題的方式和方法(例:復習、類比、情境導出本節課的課題)

  (2)新授課程(一般分為三個小步驟)

  ①簡單講解本節課基礎知識點(例:奇函數的定義)。

  ②歸納總結該課題中的重點知識內容,尤其對該注意的一些情況設置易錯點,進行強調。可以設計分組討論環節(分組判斷幾組函數圖像是否為奇函數,并歸納奇函數圖像的特點。設置定義域不關于原點對稱的函數是否為奇函數的易錯點)。

  ③拓展延伸,將所學知識拓展延伸到實際題目中,去解決實際生活中的問題。

  (在新授課里面一定要表下出講課的大體流程,但是不必太過詳細。)

  (3)課堂小結

  教師提問,學生回答本節課的收獲。

  (4)作業提高

  布置作業(盡量與實際生活相聯系,有所創新)。

  6.教學板書

  2.高中數學教案格式

  一.課題(說明本課名稱)

  二.教學目的(或稱教學要求,或稱教學目標,說明本課所要完成的教學任務)

  三.課型(說明屬新授課,還是復習課)

  四.課時(說明屬第幾課時)

  五.教學重點(說明本課所必須解決的關鍵性問題)

  六.教學難點(說明本課的學習時易產生困難和障礙的知識傳授與能力培養點)

  七.教學方法要根據學生實際,注重引導自學,注重啟發思維

  八.教學過程(或稱課堂結構,說明教學進行的內容、方法步驟)

  九.作業處理(說明如何布置書面或口頭作業)

  十.板書設計(說明上課時準備寫在黑板上的內容)

  十一.教具(或稱教具準備,說明輔助教學手段使用的工具)

  十二.教學反思:(教者對該堂課教后的感受及學生的收獲、改進方法)

  3.高中數學教案范文

  【教學目標】

  1.知識與技能

  (1)理解等差數列的定義,會應用定義判斷一個數列是否是等差數列:

  (2)賬務等差數列的通項公式及其推導過程:

  (3)會應用等差數列通項公式解決簡單問題。

  2.過程與方法

  在定義的理解和通項公式的推導、應用過程中,培養學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力,體驗從特殊到一般,一般到特殊的認知規律,提高熟悉猜想和歸納的能力,滲透函數與方程的思想。

  3.情感、態度與價值觀

  通過教師指導下學生的自主學習、相互交流和探索活動,培養學生主動探索、用于發現的求知精神,激發學生的學習興趣,讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中,使學生養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好習慣。

  【教學重點】

  ①等差數列的概念;

  ②等差數列的通項公式

  【教學難點】

  ①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義;

  ②等差數列的通項公式的推導過程.

  【學情分析】

  我所教學的學生是我校高一(7)班的學生(平行班學生),經過一年的高中數學學習,大部分學生知識經驗已較為豐富,他們的智力發展已到了形式運演階段,具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力,但也有一部分學生的基礎較弱,學習數學的興趣還不是很濃,所以我在授課時注重從具體的生活實例出發,注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理發展特點,從而促進思維能力的進一步發展。

  【設計思路】

  1、教法

  ①啟發引導法:這種方法有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點,突破難點;有利于調動學生的主動性和積極性,發揮其創造性.

  ②分組討論法:有利于學生進行交流,及時發現問題,解決問題,調動學生的積極性.

  ③講練結合法:可以及時鞏固所學內容,抓住重點,突破難點.

  2、學法

  引導學生首先從三個現實問題(數數問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數組特點并抽象出等差數列的概念;接著就等差數列概念的特點,推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法.

  【教學過程】

  一、創設情境,引入新課

  1、從0開始,將5的倍數按從小到大的順序排列,得到的數列是什么?

  2、水庫管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境,用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個水庫的水位為18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m.那么從開始放水算起,到可以進行清理工作的那天,水庫每天的水位(單位:m)組成一個什么數列?

  3、我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利,即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元錢,年利率是0.72%,那么按照單利,5年內各年末的本利和(單位:元)組成一個什么數列?

  教師:以上三個問題中的數蘊涵著三列數.

  學生:

  ①0,5,10,15,20,25,….

  ②18,15.5,13,10.5,8,5.5.

  ③10072,10144,10216,10288,10360.

  (設置意圖:從實例引入,實質是給出了等差數列的現實背景,目的是讓學生感受到等差數列是現實生活中大量存在的數學模型.通過分析,由特殊到一般,激發學生學習探究知識的自主性,培養學生的歸納能力.

  二、觀察歸納,形成定義

  ①0,5,10,15,20,25,….

  ②18,15.5,13,10.5,8,5.5.

  ③10072,10144,10216,10288,10360.

  思考1上述數列有什么共同特點?

  思考2根據上數列的共同特點,你能給出等差數列的一般定義嗎?

  思考3你能將上述的文字語言轉換成數學符號語言嗎?

  教師:引導學生思考這三列數具有的共同特征,然后讓學生抓住數列的特征,歸納得出等差數列概念.

  學生:分組討論,可能會有不同的答案:前數和后數的差符合一定規律;這些數都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定.

  教師引導歸納出:等差數列的定義;另外,教師引導學生從數學符號角度理解等差數列的定義.

  (設計意圖:通過對一定數量感性材料的觀察、分析,提煉出感性材料的本質屬性;使學生體會到等差數列的規律和共同特點;一開始抓住:“從第二項起,每一項與它的前一項的差為同一常數”,落實對等差數列概念的準確表達.)

  三、舉一反三,鞏固定義

  1、判定下列數列是否為等差數列?若是,指出公差d.

  (1)1,1,1,1,1;

  (2)1,0,1,0,1;

  (3)2,1,0,-1,-2;

  (4)4,7,10,13,16.

  教師出示題目,學生思考回答.教師訂正并強調求公差應注意的問題.

  注意:公差d是每一項(第2項起)與它的前一項的差,防止把被減數與減數弄顛倒,而且公差可以是正數,負數,也可以為0.

  (設計意圖:強化學生對等差數列“等差”特征的理解和應用).

  2、思考4:設數列{an}的通項公式為an=3n+1,該數列是等差數列嗎?為什么?

  (設計意圖:強化等差數列的'證明定義法)

  四、利用定義,導出通項

  1、已知等差數列:8,5,2,…,求第200項?

  2、已知一個等差數列{an}的首項是a1,公差是d,如何求出它的任意項an呢?

  教師出示問題,放手讓學生探究,然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示.根據學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導,總結推導方法,體會歸納思想以及累加求通項的方法;讓學生初步嘗試處理數列問題的常用方法.

  (設計意圖:引導學生觀察、歸納、猜想,培養學生合理的推理能力.學生在分組合作探究過程中,可能會找到多種不同的解決辦法,教師要逐一點評,并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創新的品質,激發學生的創造意識.鼓勵學生自主解答,培養學生運算能力)

  五、應用通項,解決問題

  1、判斷100是不是等差數列2,9,16,…的項?如果是,是第幾項?

  2、在等差數列{an}中,已知a5=10,a12=31,求a1,d和an.

  3、求等差數列3,7,11,…的第4項和第10項

  教師:給出問題,讓學生自己操練,教師巡視學生答題情況.

  學生:教師叫學生代表總結此類題型的解題思路,教師補充:已知等差數列的首項和公差就可以求出其通項公式

  (設計意圖:主要是熟悉公式,使學生從中體會公式與方程之間的聯系.初步認識“基本量法”求解等差數列問題.)

  六、反饋練習:教材13頁練習1

  七、歸納總結:

  1、一個定義:

  等差數列的定義及定義表達式

  2、一個公式:

  等差數列的通項公式

  3、二個應用:

  定義和通項公式的應用

  教師:讓學生思考整理,找幾個代表發言,最后教師給出補充

  (設計意圖:引導學生去聯想本節課所涉及到的各個方面,溝通它們之間的聯系,使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念,并靈活運用基本概念.)

  【設計反思】

  本設計從生活中的數列模型導入,有助于發揮學生學習的主動性,增強學生學習數列的興趣.在探索的過程中,學生通過分析、觀察,歸納出等差數列定義,然后由定義導出通項公式,強化了由具體到抽象,由特殊到一般的思維過程,有助于提高學生分析問題和解決問題的能力.本節課教學采用啟發方法,以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑,以相互補充展開教學,總結科學合理的知識體系,形成師生之間的良性互動,提高課堂教學效率.

高中數學教案13

  教學目標1.進一步理解線性規劃的概念;會解簡單的線性規劃問題;

  2.在運用建模和數形結合等數學思想方法分析、解決問題的過程中;提高解決問題的能力;

  3.進一步提高學生的合作意識和探究意識。

  教學重點:線性規劃的概念及其解法

  教學難點

  代數問題幾何化的過程

  教學方法:啟發探究式

  教學手段運用多媒體技術

  教學過程:1.實際問題引入。

  問題一:小王和小李合租了一輛小轎車外出旅游.小王駕車平均速度為每小時70公里,平均耗油量為每小時6公升;小李駕車平均速度為每小時50公里,平均耗油量為每小時4公升.現知道油箱內油量為60公升,兩人駕車時間累計不能超過12小時.問小王和小李分別駕車多少時間時,行駛路程最遠?

  2.探究和討論下列問題。

  (1)實際問題轉化為一個怎樣的數學問題?

  (2)滿足不等式組①的條件的點構成的區域如何表示?

  (3)關于x、y的一個表達式z=70x+50y的幾何意義是什么?

  (4)z的幾何意義是什么?

  (5)z的最大值如何確定?

  讓學生達成以下共識:小王駕車時間x和小李駕車時間y受到時間(12小時)和油量(60公升)的限制,即

  x+y≤12

  6x+4y≤60 ①

  x≥0

  y≥0

  行駛路程可以表示成關于x、y的一個表達式:z=70x+50y 由數形結合可知:經過點B(6,6)的直線所對應的z最大.

  則zmax=6×70+6×50=720

  結論:小王和小李分別駕車6小時時,行駛路程最遠為720公里.

  解題反思:

  問題解決過程中體現了那些重要的數學思想?

  3.線性規劃的有關概念。

  什么是“線性規劃問題”?涉及約束條件、線性約束條件、目標函數、線性目標函數、可行解、可行域和最優解等概念.

  4.進一步探究線性規劃問題的解。

  問題二:若小王和小李駕車平均速度為每小時60公里和40公里,其它條件不變,問小王和小李分別駕車多少時間時,行駛路程最遠?

  要求:請你寫出約束條件、目標函數,作出可行域,求出最優解。

  問題三:如果把不等式組①中的兩個“≤”改為“≥”,是否存在最優解?

  5.小結。

  (1)數學知識;(2)數學思想。

  6.作業。

  (1)閱讀教材:P.60-63;

  (2)課后練習:教材P.65-2,3;

  (3)在自己生活中尋找一個簡單的線性規劃問題,寫出約束條件,確定目標函數,作出可行域,并求出最優解。

  《一個數列的研究》教學設計

  教學目標:

  1.進一步理解和掌握數列的有關概念和性質;

  2.在對一個數列的探究過程中,提高提出問題、分析問題和解決問題的能力;

  3.進一步提高問題探究意識、知識應用意識和同伴合作意識。

  教學重點:

  問題的提出與解決

  教學難點:

  如何進行問題的探究

  教學方法:

  啟發探究式

  教學過程:

  問題:已知{an}是首項為1,公比為 的無窮等比數列。對于數列{an},提出你的問題,并進行研究,你能得到一些什么樣的結論?

  研究方向提示:

  1.數列{an}是一個等比數列,可以從等比數列角度來進行研究;

  2.研究所給數列的項之間的關系;

  3.研究所給數列的`子數列;

  4.研究所給數列能構造的新數列;

  5.數列是一種特殊的函數,可以從函數性質角度來進行研究;

  6.研究所給數列與其它知識的聯系(組合數、復數、圖形、實際意義等)。

  針對學生的研究情況,對所提問題進行歸類,選擇部分類型問題共同進行研究、分析與解決。

  課堂小結:

  1.研究一個數列可以從哪些方面提出問題并進行研究?

  2.你最喜歡哪位同學的研究?為什么?

  課后思考題: 1.將{an}推廣為一般的無窮等比數列:1,q,q2,…,qn-1,… ,上述一些研究結論會有什么變化?

  2.若將{an}改為等差數列:1,1+d,2+d,…,1+(n-1)d,… ,是否可以進行類比研究?

  開展研究性學習,培養問題解決能力

  一、對“研究性學習”和“問題解決”的認識 研究性學習是一種與接受性學習相對應的學習方式,泛指學生主動探究問題的學習。研究性學習也可以說是一種學習活動:學生在教師指導下,在自己的學習生活和社會生活中選擇課題,以類似科學研究的方式去主動地獲取知識、應用知識、解決問題。

  “問題解決”(problem solving)是美國數學教育界在二十世紀八十年代的主要口號,即認為應當以“問題解決”作為學校數學教育的中心。

  問題解決能力是一種重要的數學能力,其核心是“創新精神”與“實踐能力”。在數學教學活動中開展研究性學習是培養問題解決能力的主要途徑。

  二、“問題解決”課堂教學模式的建構與實踐 以研究性學習活動為載體,以培養問題解決能力為核心的課堂教學模式(以下簡稱為“問題解決”課堂教學模式)試圖通過問題情境創設,激發學生的求知欲,以獨立思考和交流討論的形式,發現、分析并解決問題,培養處理信息、獲取新知、應用知識的能力,提高合作意識、探究意識和創新意識。

  (一)關于“問題解決”課堂教學模式

  通過實施“問題解決”課堂教學模式,希望能夠達到以下的功能目標:學習發現問題的方法,開掘創造性思維潛力,培養主動參與、團結協作精神,增進師生、同伴之間的情感交流,形成自覺運用數學基礎知識、基本技能和數學思想方法分析問題、解決問題的能力和意識。

  (二)數學學科中的問題解決能力的培養目標

  數學問題解決能力培養的目標可以有不同層次的要求:會審題,會建模,會轉化,會歸類,會反思,會編題。

  (三)“問題解決”課堂教學模式的教學流程

  (四)“問題解決”課堂教學評價標準

  1. 教學目標的確定;

  2. 教學方法的選擇;

  3. 問題的選擇;

  4. 師生主體意識的體現;

  5.教學策略的運用。

  (五)了解學生的數學問題解決能力的途徑

  (六)開展研究性學習活動對教師的能力要求

高中數學教案14

  教學目標:

  1.結合實際問題情景,理解分層抽樣的必要性和重要性;

  2.學會用分層抽樣的方法從總體中抽取樣本;

  3.并對簡單隨機抽樣、系統抽樣及分層抽樣方法進行比較,揭示其相互關系.

  教學重點:

  通過實例理解分層抽樣的方法.

  教學難點:

  分層抽樣的步驟.

  教學過程:

  一、問題情境

  1.復習簡單隨機抽樣、系統抽樣的概念、特征以及適用范圍.

  2.實例:某校高一、高二和高三年級分別有學生名,為了了解全校學生的視力情況,從中抽取容量為的樣本,怎樣抽取較為合理?

  二、學生活動

  能否用簡單隨機抽樣或系統抽樣進行抽樣,為什么?

  指出由于不同年級的學生視力狀況有一定的差異,用簡單隨機抽樣或系統抽樣進行抽樣不能準確反映客觀實際,在抽樣時不僅要使每個個體被抽到的機會相等,還要注意總體中個體的層次性.

  由于樣本的容量與總體的個體數的`比為100∶2500=1∶25,

  所以在各年級抽取的個體數依次是,,,即40,32,28.

  三、建構數學

  1.分層抽樣:當已知總體由差異明顯的幾部分組成時,為了使樣本更客觀地反映總體的情況,常將總體按不同的特點分成層次比較分明的幾部分,然后按各部分在總體中所占的比進行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣,其中所分成的各部分叫“層”.

  說明:①分層抽樣時,由于各部分抽取的個體數與這一部分個體數的比等于樣本容量與總體的個體數的比,每一個個體被抽到的可能性都是相等的;

  ②由于分層抽樣充分利用了我們所掌握的信息,使樣本具有較好的代表性,而且在各層抽樣時可以根據具體情況采取不同的抽樣方法,所以分層抽樣在實踐中有著非常廣泛的應用.

  2.三種抽樣方法對照表:

  類別

  共同點

  各自特點

  相互聯系

  適用范圍

  簡單隨機抽樣

  抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的

  從總體中逐個抽取

  總體中的個體數較少

  系統抽樣

  將總體均分成幾個部分,按事先確定的規則在各部分抽取

  在第一部分抽樣時采用簡單隨機抽樣

  總體中的個體數較多

  分層抽樣

  將總體分成幾層,分層進行抽取

  各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統

  總體由差異明顯的幾部分組成

  3.分層抽樣的步驟:

  (1)分層:將總體按某種特征分成若干部分.

  (2)確定比例:計算各層的個體數與總體的個體數的比.

  (3)確定各層應抽取的樣本容量.

  (4)在每一層進行抽樣(各層分別按簡單隨機抽樣或系統抽樣的方法抽取),綜合每層抽樣,組成樣本.

  四、數學運用

  1.例題.

  例1(1)分層抽樣中,在每一層進行抽樣可用_________________.

  (2)①教育局督學組到學校檢查工作,臨時在每個班各抽調2人參加座談;

  ②某班期中考試有15人在85分以上,40人在60-84分,1人不及格.現欲從中抽出8人研討進一步改進教和學;

  ③某班元旦聚會,要產生兩名“幸運者”.

  對這三件事,合適的抽樣方法為()

  A.分層抽樣,分層抽樣,簡單隨機抽樣

  B.系統抽樣,系統抽樣,簡單隨機抽樣

  C.分層抽樣,簡單隨機抽樣,簡單隨機抽樣

  D.系統抽樣,分層抽樣,簡單隨機抽樣

  例2某電視臺在因特網上就觀眾對某一節目的喜愛程度進行調查,參加調查的總人數為12000人,其中持各種態度的人數如表中所示:

  很喜愛

  喜愛

  一般

  不喜愛

  2435

  4567

  3926

  1072

  電視臺為進一步了解觀眾的具體想法和意見,打算從中抽取60人進行更為詳細的調查,應怎樣進行抽樣?

  解:抽取人數與總的比是60∶12000=1∶200,

  則各層抽取的人數依次是12.175,22.835,19.63,5.36,

  取近似值得各層人數分別是12,23,20,5.

  然后在各層用簡單隨機抽樣方法抽取.

  答用分層抽樣的方法抽取,抽取“很喜愛”、“喜愛”、“一般”、“不喜愛”的人

  數分別為12,23,20,5.

  說明:各層的抽取數之和應等于樣本容量,對于不能取整數的情況,取其近似值.

  (3)某學校有160名教職工,其中教師120名,行政人員16名,后勤人員24名.為了了解教職工對學校在校務公開方面的某意見,擬抽取一個容量為20的樣本.

  分析:(1)總體容量較小,用抽簽法或隨機數表法都很方便.

  (2)總體容量較大,用抽簽法或隨機數表法都比較麻煩,由于人員沒有明顯差異,且剛好32排,每排人數相同,可用系統抽樣.

  (3)由于學校各類人員對這一問題的看法可能差異較大,所以應采用分層抽樣方法.

  五、要點歸納與方法小結

  本節課學習了以下內容:

  1.分層抽樣的概念與特征;

  2.三種抽樣方法相互之間的區別與聯系.

高中數學教案15

  教學目標

  (1)了解算法的含義,體會算法思想。

  (2)會用自然語言和數學語言描述簡單具體問題的算法;

  (3)學習有條理地、清晰地表達解決問題的步驟,培養邏輯思維能力與表達能力。

  教學重難點

  重點:算法的含義、解二元一次方程組的算法設計。

  難點:把自然語言轉化為算法語言。

  情境導入

  電影《神槍手》中描述的凌靖是一個天生的狙擊手,他百發百中,最難打的位置對他來說也是輕而易舉,是香港警察狙擊手隊伍的第一神槍手、作為一名狙擊手,要想成功地完成一次狙擊任務,一般要按步驟完成以下幾步:

  第一步:觀察、等待目標出現(用望遠鏡或瞄準鏡);

  第二步:瞄準目標;

  第三步:計算(或估測)風速、距離、空氣濕度、空氣密度;

  第四步:根據第三步的結果修正彈著點;

  第五步:開槍;

  第六步:迅速轉移(或隱蔽)

  以上這種完成狙擊任務的方法、步驟在數學上我們叫算法。

  課堂探究

  預習提升

  1、定義:算法可以理解為由基本運算及規定的運算順序所構成的完整的解題步驟,或者看成按照要求設計好的有限的確切的計算序列,并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問題。

  2、描述方式

  自然語言、數學語言、形式語言(算法語言)、框圖。

  3、算法的要求

  (1)寫出的算法,必須能解決一類問題,且能重復使用;

  (2)算法過程要能一步一步執行,每一步執行的操作,必須確切,不能含混不清,而且經過有限步后能得出結果。

  4、算法的特征

  (1)有限性:一個算法應包括有限的操作步驟,能在執行有窮的操作步驟之后結束。

  (2)確定性:算法的計算規則及相應的計算步驟必須是唯一確定的。

  (3)可行性:算法中的每一個步驟都是可以在有限的時間內完成的基本操作,并能得到確定的結果。

  (4)順序性:算法從初始步驟開始,分為若干個明確的步驟,前一步是后一步的前提,后一步是前一步的后續,且除了最后一步外,每一個步驟只有一個確定的后續。

  (5)不唯一性:解決同一問題的算法可以是不唯一的

  課堂典例講練

  命題方向1對算法意義的理解

  例1、下列敘述中,

  ①植樹需要運苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟;

  ②按順序進行下列運算:1+1=2,2+1=3,3+1=4,…99+1=100;

  ③從青島乘動車到濟南,再從濟南乘飛機到倫敦觀看奧運會開幕式;

  ④3x>x+1;

  ⑤求所有能被3整除的正數,即3,6,9,12。

  能稱為算法的個數為(  )

  A、2

  B、3

  C、4

  D、5

  【解析】根據算法的含義和特征:①②③都是算法;④⑤不是算法、其中④,3x>x+1不是一個明確的步驟,不符合明確性;⑤的步驟是無窮的,與算法的有限性矛盾。

  【答案】B

  [規律總結]

  1、正確理解算法的概念及其特點是解決問題的'關鍵、

  2、針對判斷語句是否是算法的問題,要看它的步驟是否是明確的和有效的,而且能在有限步驟之內解決這一問題、

  【變式訓練】下列對算法的理解不正確的是________

  ①一個算法應包含有限的步驟,而不能是無限的

  ②算法可以理解為由基本運算及規定的運算順序構成的完整的解題步驟

  ③算法中的每一步都應當有效地執行,并得到確定的結果

  ④一個問題只能設計出一個算法

  【解析】由算法的有限性指包含的步驟是有限的故①正確;

  由算法的明確性是指每一步都是確定的故②正確;

  由算法的每一步都是確定的,且每一步都應有確定的結果故③正確;

  由對于同一個問題可以有不同的算法故④不正確。

  【答案】④

  命題方向2解方程(組)的算法

  例2、給出求解方程組的一個算法。

  [思路分析]解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法,這兩種方法沒有本質的差別,為了適用于解一般的線性方程組,以便于在計算機上實現,我們用高斯消元法(即先將方程組化為一個三角形方程組,再通過回代方程求出方程組的解)解線性方程組、

  [規范解答]方法一:算法如下:

  第一步,①×(-2)+②,得(-2+5)y=-14+11

  即方程組可化為

  第二步,解方程③,可得y=-1,④

  第三步,將④代入①,可得2x-1=7,x=4

  第四步,輸出4,-1

  方法二:算法如下:

  第一步,由①式可以得到y=7-2x,⑤

  第二步,把y=7-2x代入②,得x=4

  第三步,把x=4代入⑤,得y=-1

  第四步,輸出4,-1

  [規律總結]1、本題用了2種方法求解,對于問題的求解過程,我們既要強調對“通法、通解”的理解,又要強調對所學知識的靈活運用。

  2、設計算法時,經常遇到解方程(組)的問題,一般是按照數學上解方程(組)的方法進行設計,但應注意全面考慮方程解的情況,即先確定方程(組)是否有解,有解時有幾個解,然后根據求解步驟設計算法步驟。

  【變式訓練】

  【解】算法如下:S1,①+2×②得5x=1;③

  S2,解③得x=;

  S3,②-①×2得5y=3;④

  S4,解④得y=;

  命題方向3篩選問題的算法設計

  例3、設計一個算法,對任意3個整數a、b、c,求出其中的最小值、

  [思路分析]比較a,b比較m與c―→最小數

  [規范解答]算法步驟如下:

  1、比較a與b的大小,若a

  2、比較m與c的大小,若m

  [規律總結]求最小(大)數就是從中篩選出最小(大)的一個,篩選過程中的每一步都是比較兩個數的大小,保證了篩選的可行性,這種方法可以推廣到從多個不同數中篩選出滿足要求的一個。

  【變式訓練】在下列數字序列中,寫出搜索89的算法:

  21,3,0,9,15,72,89,91,93

  [解析]1、先找到序列中的第一個數m,m=21;

  2、將m與89比較,是否相等,如果相等,則搜索到89;

  3、如果m與89不相等,則往下執行;

  4、繼續將序列中的其他數賦給m,重復第2步,直到搜索到89。

  命題方向4非數值性問題的算法

  例4、一個人帶三只狼和三只羚羊過河,只有一條船,同船可以容一個人和兩只動物,沒有人在的時候,如果狼的數量不少于羚羊的數量,狼就會吃掉羚羊。

  (1)設計安全渡河的算法;

  (2)思考每一步算法所遵循的共同原則是什么?

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高中數學教案(合集15篇)

  作為一名教師,可能需要進行教案編寫工作,教案是保證教學取得成功、提高教學質量的基本條件。快來參考教案是怎么寫的吧!以下是小編收集整理的高中數學教案,僅供參考,歡迎大家閱讀。

高中數學教案(合集15篇)

高中數學教案1

  [學習目標]

  (1)會用坐標法及距離公式證明Cα+β;

  (2)會用替代法、誘導公式、同角三角函數關系式,由Cα+β推導Cα—β、Sα±β、Tα±β,切實理解上述公式間的關系與相互轉化;

  (3)掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β,并利用簡單的三角變換,解決求值、化簡三角式、證明三角恒等式等問題。

  [學習重點]

  兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

  [學習難點]

  余弦和角公式的推導

  [知識結構]

  1、兩角和的'余弦公式是三角函數一章和、差、倍公式系列的基礎。其公式的證明是用坐標法,利用三角函數定義及平面內兩點間的距離公式,把兩角和α+β的余弦,化為單角α、β的三角函數(證明過程見課本)

  2、通過下面各組數的值的比較:①cos(30°—90°)與cos30°—cos90°②sin(30°+60°)和sin30°+sin60°。我們應該得出如下結論:一般情況下,cos(α±β)≠cosα±cosβ,sin(α±β)≠sinα±sinβ。但不排除一些特例,如sin(0+α)=sin0+sinα=sinα。

  3、當α、β中有一個是的整數倍時,應首選誘導公式進行變形。注意兩角和與差的三角函數是誘導公式等的基礎,而誘導公式是兩角和與差的三角函數的特例。

  4、關于公式的正用、逆用及變用

高中數學教案2

  教學目的:掌握圓的標準方程,并能解決與之有關的問題

  教學重點:圓的標準方程及有關運用

  教學難點:標準方程的靈活運用

  教學過程:

  一、導入新課,探究標準方程

  二、掌握知識,鞏固練習

  練習:⒈說出下列圓的方程

  ⑴圓心(3,-2)半徑為5⑵圓心(0,3)半徑為3

  ⒉指出下列圓的圓心和半徑

  ⑴(x-2)2+(y+3)2=3

  ⑵x2+y2=2

  ⑶x2+y2-6x+4y+12=0

  ⒊判斷3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置關系

  ⒋圓心為(1,3),并與3x-4y-7=0相切,求這個圓的.方程

  三、引伸提高,講解例題

  例1、圓心在y=-2x上,過p(2,-1)且與x-y=1相切求圓的方程(突出待定系數的數學方法)

  練習:1、某圓過(-2,1)、(2,3),圓心在x軸上,求其方程。

  2、某圓過A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4),求圓的方程。

  例2:某圓拱橋的跨度為20米,拱高為4米,在建造時每隔4米加一個支柱支撐,求A2P2的長度。

  例3、點M(x0,y0)在x2+y2=r2上,求過M的圓的切線方程(一題多解,訓練思維)

  四、小結練習P771,2,3,4

  五、作業P811,2,3,4

高中數學教案3

  一、自我介紹

  我姓x,是你們的數學老師,因為是數學老師所以在自我介紹的時候喜歡給出自己的數字特征,也是希望通過這些方式能拓寬與大家交流的平臺,希望能與大家在課堂中相識,在生活中相知,不僅能成為你們知識的傳授者,方法的指引者,更希望成為你們情感上的依賴者。

  二、相信大家對于高中學習都充滿著好奇,和初中相比,高中課程與初中課程有很大的不同。今天這節課我們不急于上新課,我想和大家聊一聊數學,一起來思考為什么要學習數學及如何學好數學這兩個問題。

  (一)為什么要學習數學

  相信高一的第一節課是各位科任老師各顯神通的時候,通過各種有趣的方式來突出每門課的重要性,作為數學老師我表達上不如文科老師迂回婉轉和風趣幽默,我們更喜歡用數字說明問題。大家知道北大最的院系是什么系嗎?早在蔡元培先生任北大校長時,就列數學系為北大第一系,這種傳統一直保持到現在。為什么數學系在高校中有如此重要的地位?課本主編寄語是這樣描述的:數學是有用的,數學有助于提高能力。

  數學家華羅庚在《人民日報》精彩描述了數學在"宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,生物之謎,日用之繁"等方面無處不有重要貢獻。

  問題1:大家知道海王星是怎么發現的,冥王星又是怎么被請出十大行星行列的?

  海王星的發現是在數學計算過程中發現的,天文望遠鏡的觀測只是驗證了人們的推論。

  1812年,法國人布瓦德在計算天王星的運動軌道時,發現理論計算值同觀測資料發生了一系列誤差。這使許多天文學家紛紛致力這個問題的研究,進而發現天王星的脫軌與一個未知的引力的存在相關。也就是說有一個未知的天體作用于天王星。1846年9月23日。柏林天文臺收到來自法國巴黎的一封快信。發信人就是勒威耶。信中,勒威耶預告了一顆以往沒有發現的新星:在摩羯座8星東約5度的地方,有一顆8等小星,每天退行69角秒。當夜,柏林天文臺的加勒把巨大的天文望遠鏡對準摩羯座,果真在那里發現了一顆新的8等星。又過了-天,再次找到了這顆8等星,它的位置比前一天后退了70角秒。這與勒威耶預告的相差甚微。全世界都震動了。人們依照勒威耶的建議,按天文學慣例,用神話里的名字把這顆星命名為"海王星"。

  1930年美國天文學家湯博發現冥王星,當時錯估了冥王星的質量,以為冥王星比地球還大,所以命名為大行星。然而,經過近30年的進一步觀測和計算,發現它的直徑只有2300公里,比月球還要小,等到冥王星的大小被確認,"冥王星是大行星"早已被寫入教科書,以后也就將錯就錯了。經過多年的爭論,國際天文學聯合會通過投票表決做出最終決定,取消冥王星的行星資格。8月24日據國際天文學聯合會宣布,冥王星將被排除在行星行列之外,從而太陽系行星的數量將由九顆減為八顆。事實上,位居太陽系九大行星末席70多年的冥王星,自發現之日起地位就備受爭議。

  馬克思說:"一種科學只有在成功運用數學時,才算達到了真正完善的地步。"正因為數學是日常生活和進一步學習必不可少的基礎和工具,一切科學到了最后都歸結為數學問題。

  其實在我們的周圍有很多事情都是可以用數學可以來解決的,無非很多人都沒有用數學的眼光來看待。

  問題2:徒認為上帝是萬能的。你們認為呢?如何來證明你的結論呢?(讓同學發言)

  我的觀點:上帝不是萬能的。為什么呢?仔細聽我講來。

  證明:(反證法)假如上帝是萬能的

  那么他能夠制作出一塊無論什么力量都搬不動的石頭

  根據假設,既然上帝是萬能的,那么他一定能夠搬的動他自己制造的那石頭

  這與"無論什么力量都搬不動的石頭"相矛盾

  所以假設不成立

  所以上帝不是萬能的。問題3:抓鬮對個人來說公平嗎?5張票中有一張獎票,那么先抽還是后抽對個人還說公平嗎?

  當然,我們學習的數學只是數學學科體系中很基礎,很小的一部分。現在課本上學的未必能直接應用于生活,主要是為以后學習更高層次的理科打好基礎,同時,也為了掌握一些數學的思考方法以及分析問題解決問題的思維方式。哲學家培根說過:"讀詩使人靈秀,讀歷史使人明智,學邏輯使人周密,學哲學使人善辯,學數學使人聰明…",也有人形象地稱數學是思維的體操。下面我們通過具體的例子來體驗一下某些數學思想方法和思維方式。

  故事一:據說國際象棋是古印度的一位宰相發明的。國王很欣賞他的這項發明,問他的宰相要什么賞賜。聰明的宰相說,"我所要的從一粒谷子(沒錯,是1粒,不是1兩或1斤)開始。在這個有64格的棋盤上,第一格里放1粒谷子,第二格里放2粒,第三格里放4粒,即每下一格粒數加倍,……如此下去,一直放滿到棋盤上的64格。這就是我所要的賞賜。"國王覺得宰相要的實在不多,就叫人按宰相的要求賞賜。但后來發現即使把全國所有的谷子抬來也遠遠不夠。

  人們通常憑借自己掌握的數學知識耍些小聰明,使問題妙不可言。

  數學游戲:兩人相繼輪流往長方形桌子上放同樣大小的硬幣,硬幣一定要平放在桌面上,后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上,放最后一顆的硬幣的人算贏。應該先放還是后放才有必勝的把握。

  數學思想:退到最簡單、最特殊的地方。

  故事二:聰明的渡邊:20世紀40年代末,手寫工具突破性進展-圓珠筆問世,它以價廉、方便、書寫流利在社會上廣泛流傳,但寫到20萬字時就會因圓珠磨小而漏油,影響了銷售。工程師們從圓珠質量入手,從改進油墨性能入手進行改良,但收效甚微。于是廠家打出廣告:解決此問題獲獎金50萬元。當時山地制筆廠的青年工人渡邊看到女兒把圓珠筆用到快漏油時就德育不用這一現象中受到啟發,很好地解決了這一問題,你認為他會怎么做呢?

  渡邊的成功之處就在于思維角度新,從問題的側面輕巧取勝。也正體現了數學學習中經常用到的發散式思維。在數學學習中,既要有集中式思維又要有發散式思維。集中式思維是一種常用思維渠道,即為對問題的歸納,聯系思維方式,表現為對解題方法的模仿和繼承;而發散式思維即對問題開拓、創新,表現為對問題舉一反三,觸類旁通。在解決具體問題中,我們應該將兩種思維方式相結合。

  學數學有利于培養人的思維品質:結構意識、整體意識、抽象意識、化歸意識、優化意識、反思意識,盡管數學在培養學生的這些思維品質方面和其他學科存在著交集,但數學在其中的地位是無法被代替的。總之,學習數學可以使人思考問題更合乎邏輯,更有條理,更嚴密精確,更深入簡潔,更善于創造……

  (二)如何學好數學

  高中數學的內容多,抽象性、理論性強,高中很注重自學能力的培養的,高中不會像初中那樣老師一天到晚盯著你,在高中一定要注重自學能力的培養,誰的自學能力強,那么在一定的程度上影響著你的成績以及你將來你發展的前途。同時要注意以下幾點:

  第一:對數學學科特點有清楚的認識

  主編寄語里是這樣描述數學的特征的:數學是自然的。數學的概念、方法、思想都是人類長期實踐中自然發展形成的,以數域的發展為例,從自然數到有理數到實數再到復數,都是由自然的認知沖突引起的。因此,在學習過程中我們有必要了解知識產生的背景,它的形成過程以及它的應用,讓數學顯得合情合理,渾然天成。數學中沒有含糊不清的詞,對錯分明,凡事都要講個為什么,只要按照數學規則去學去想就能融會貫通,但是如果不把來龍去脈想清楚而是"想當然"的話,那就學不下去了。

  第二:要改變一個觀念。

  有人會說自己的基礎不好。那我問下什么是基礎?今天所學的知識就是明天的基礎。明天學習的知識就是后天的基礎。所以要學好每一天的內容,那么你打的基礎就是最扎實的了。所以現在你們是在同一個起跑線上的,無所謂基礎好不好。過去的幾年里我分別帶過五十一中和一中的學生,兩邊學生的課堂感覺差不多,應該說接受能力不相上下,有的時候我會選擇在五十一中開公開課,因為課堂氣氛活躍、輕松,但是成績差異卻是很大,原因在于我們同學外課自主時間的投入太少,學習習慣不太好。

  第三:學數學要摸索自己的學習方法

  學習、掌握并能靈活應用數學的.途徑有千萬條,每個人都可以有與眾不同的數學學習方法。做習題、用數學解決各種問題是必需的,理解、學會證明、領會思想、掌握方法也是必需的。此外,還要發揮問題的作用,學會提問,熱心幫助別人解決問題,用自己的問題和別人的問題帶動自己的學習。同時,注意前后知識的銜接,類比地學、聯系地學,既要從概念中看到它的具體背景,又要在具體的例子中想到它蘊含的一般概念。

  第四:養成良好的學習習慣(與一中學生相比較)

  ㈠課前預習。怎樣預習呢?就是自己在上課之前把內容先看一邊,把自己不懂的地方做個記號或者打個問號,以至于上課的時候重點聽,這樣才能夠很快提高自己的水平。但是預習不是很隨便的把課本看一邊,預習有個目標,那就是通過預習可以把書本后面的練習題可以自己獨立的完成。一中的同學預習就已經有好幾個層次了,先是課本,再是精編,再是高考題典,上課對于他們來說是第一輪高考復習。

  ㈡上課認真聽講。上課的時候準備課本,一只筆,一本草稿。做不做筆記你們自己決定,不過我不大提倡數學課做筆記的。不過有一點,有些知識點比較重要,課本上又沒有的,我要求你們把它寫在課本上的相應的空白地方。還有如果你覺得某個例題比較新或者比較重要,也可以把它記在書本的相應位置上,這樣以后復習起來就一目了然了。那么草稿要來干什么的呢?課堂上你可以自己演算還有做課堂練習。

  ㈢關于作業。絕對不允許有抄作業的情況發生。如果我發現有誰抄作業,那么既然他這樣喜歡抄,我就要你把當天的作業多抄幾遍給我。那有人會問,碰到不會做的題目怎么辦?有兩個辦法:一、向同學請教,請教做題目的思路,而不是整個過程和答案。同學之間也要相互幫助,如果你讓他抄襲你的作業這樣不是幫助他而是害他,這個道理大家應該明白吧。我非常提倡同學之間的相互討論問題的,這樣才能夠相互促進提高。二、向老師請教,要養成多想多問的習慣。我的辦公室在二樓二號,歡迎大家前來交流

  ㈣準備一本筆記本,作為自己的問題集。把平時自己不懂的和不大理解的還有易錯的記錄下來,并且要及時的消化,不懂的地方問老師。這是一個很好的辦法,到考試的時候就可以有重點、有針對性的自己復習了。我高中的時候就是采用這樣的方法把數學成績提高。

  好的開始是成功的一半,新的學期開始了,請大家調整好自己的思想,找到學習的原動力。播種一種思想,收獲一種行為;播種一種行為,收獲一種習慣;播種一種習慣,收獲一種性格;播種一種性格,收獲一種命運。愿每位同學都有個好的開始。

高中數學教案4

  教學準備

  1.教學目標

  1、知識與技能:

  函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型.高中階段不僅把函數看成變量之間的依

  賴關系,同時還用集合與對應的語言刻畫函數,高中階段更注重函數模型化的思想與意識.

  2、過程與方法:

  (1)通過實例,進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型,在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數,體會對應關系在刻畫函數概念中的作用;

  (2)了解構成函數的要素;

  (3)會求一些簡單函數的定義域和值域;

  (4)能夠正確使用“區間”的符號表示函數的定義域;

  3、情感態度與價值觀,使學生感受到學習函數的必要性和重要性,激發學習的積極性.

  教學重點/難點

  重點:理解函數的模型化思想,用集合與對應的語言來刻畫函數;

  難點:符號“y=f(x)”的含義,函數定義域和值域的區間表示;

  教學用具

  多媒體

  4.標簽

  函數及其表示

  教學過程

  (一)創設情景,揭示課題

  1、復習初中所學函數的概念,強調函數的模型化思想;

  2、閱讀課本引例,體會函數是描述客觀事物變化規律的數學模型的思想:

  (1)炮彈的射高與時間的變化關系問題;

  (2)南極臭氧空洞面積與時間的變化關系問題;

  (3)“八五”計劃以來我國城鎮居民的恩格爾系數與時間的變化關系問題.

  3、分析、歸納以上三個實例,它們有什么共同點;

  4、引導學生應用集合與對應的語言描述各個實例中兩個變量間的依賴關系;

  5、根據初中所學函數的概念,判斷各個實例中的兩個變量間的關系是否是函數關系.

  (二)研探新知

  1、函數的有關概念

  (1)函數的概念:

  設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(function).

  記作:y=f(x),x∈A.

  其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數的定義域(domain);與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域(range).

  注意:

  ①“y=f(x)”是函數符號,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;

  ②函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數值,一個數,而不是f乘x.

  (2)構成函數的三要素是什么?

  定義域、對應關系和值域

  (3)區間的概念

  ①區間的.分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;

  ②無窮區間;

  ③區間的數軸表示.

  (4)初中學過哪些函數?它們的定義域、值域、對應法則分別是什么?

  通過三個已知的函數:y=ax+b(a≠0)

  y=ax2+bx+c(a≠0)

  y=(k≠0)比較描述性定義和集合,與對應語言刻畫的定義,談談體會.

  師:歸納總結

  (三)質疑答辯,排難解惑,發展思維。

  1、如何求函數的定義域

  例1:已知函數f(x)=+

  (1)求函數的定義域;

  (2)求f(-3),f()的值;

  (3)當a>0時,求f(a),f(a-1)的值.

  分析:函數的定義域通常由問題的實際背景確定,如前所述的三個實例.如果只給出解析式y=f(x),而沒有指明它的定義域,那么函數的定義域就是指能使這個式子有意義的實數的集合,函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.

  例2、設一個矩形周長為80,其中一邊長為x,求它的面積關于x的函數的解析式,并寫出定義域.

  分析:由題意知,另一邊長為x,且邊長x為正數,所以0<x<40.

  所以s==(40-x)x(0<x<40)

  引導學生小結幾類函數的定義域:

  (1)如果f(x)是整式,那么函數的定義域是實數集R.

  2)如果f(x)是分式,那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合.

  (3)如果f(x)是二次根式,那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合.

  (4)如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的,那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合.(即求各集合的交集)

  (5)滿足實際問題有意義.

  鞏固練習:課本P19第1

  2、如何判斷兩個函數是否為同一函數

  例3、下列函數中哪個與函數y=x相等?

  分析:

  1構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的,所以,如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致,即稱這兩個函數相等(或為同一函數)

  2兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致,而與表示自變量和函數值的字母無關。

  解:

  課本P18例2

  (四)歸納小結

  ①從具體實例引入了函數的概念,用集合與對應的語言描述了函數的定義及其相關概念;②初步介紹了求函數定義域和判斷同一函數的基本方法,同時引出了區間的概念.

  (五)設置問題,留下懸念

  1、課本P24習題1.2(A組)第1—7題(B組)第1題

  2、舉出生活中函數的例子(三個以上),并用集合與對應的語言來描述函數,同時說出函數的定義域、值域和對應關系.

  課堂小結

高中數學教案5

  教學目標:

  (1)了解坐標法和解析幾何的意義,了解解析幾何的基本問題。

  (2)進一步理解曲線的方程和方程的曲線。

  (3)初步掌握求曲線方程的方法。

  (4)通過本節內容的教學,培養學生分析問題和轉化的能力。

  教學重點、難點:

  求曲線的方程。

  教學用具:

  計算機。

  教學方法:

  啟發引導法,討論法。

  教學過程:

  【引入】

  1、提問:什么是曲線的方程和方程的曲線。

  學生思考并回答。教師強調。

  2、坐標法和解析幾何的意義、基本問題。

  對于一個幾何問題,在建立坐標系的基礎上,用坐標表示點;用方程表示曲線,通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質,這一研究幾何問題的方法稱為坐標法,這門科學稱為解析幾何。解析幾何的兩大基本問題就是:

  (1)根據已知條件,求出表示平面曲線的方程。

  (2)通過方程,研究平面曲線的性質。

  事實上,在前邊所學的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題。而且要先研究如何求出曲線方程,再研究如何用方程研究曲線。本節課就初步研究曲線方程的求法。

  【問題】

  如何根據已知條件,求出曲線的方程。

  【實例分析】

  例1:設、兩點的坐標是、(3,7),求線段的垂直平分線的方程。

  首先由學生分析:根據直線方程的知識,運用點斜式即可解決。

  解法一:易求線段的中點坐標為(1,3),

  由斜率關系可求得l的斜率為

  于是有

  即l的方程為

  ①

  分析、引導:上述問題是我們早就學過的,用點斜式就可解決。可是,你們是否想過①恰好就是所求的嗎?或者說①就是直線的方程?根據是什么,有證明嗎?

  (通過教師引導,是學生意識到這是以前沒有解決的問題,應該證明,證明的依據就是定義中的兩條)。

  證明:(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解。

  設是線段的垂直平分線上任意一點,則

  即

  將上式兩邊平方,整理得

  這說明點的坐標是方程的解。

  (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。

  設點的坐標是方程①的任意一解,則

  到、的距離分別為

  所以,即點在直線上。

  綜合(1)、(2),①是所求直線的方程。

  至此,證明完畢。回顧上述內容我們會發現一個有趣的現象:在證明(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解中,設是線段的垂直平分線上任意一點,最后得到式子,如果去掉腳標,這不就是所求方程嗎?可見,這個證明過程就表明一種求解過程,下面試試看:

  解法二:設是線段的垂直平分線上任意一點,也就是點屬于集合

  由兩點間的距離公式,點所適合的條件可表示為

  將上式兩邊平方,整理得

  果然成功,當然也不要忘了證明,即驗證兩條是否都滿足。顯然,求解過程就說明第一條是正確的(從這一點看,解法二也比解法一優越一些);至于第二條上邊已證。

  這樣我們就有兩種求解方程的方法,而且解法二不借助直線方程的理論,又非常自然,還體現了曲線方程定義中點集與對應的思想。因此是個好方法。

  讓我們用這個方法試解如下問題:

  例2:點與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數求點的軌跡方程。

  分析:這是一個純粹的幾何問題,連坐標系都沒有。所以首先要建立坐標系,顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標軸,建立直角坐標系。然后仿照例1中的解法進行求解。

  求解過程略。

  【概括總結】通過學生討論,師生共同總結:

  分析上面兩個例題的求解過程,我們總結一下求解曲線方程的大體步驟:

  首先應有坐標系;其次設曲線上任意一點;然后寫出表示曲線的點集;再代入坐標;最后整理出方程,并證明或修正。說得更準確一點就是:

  (1)建立適當的坐標系,用有序實數對例如表示曲線上任意一點的坐標;

  (2)寫出適合條件的點的集合

  ;

  (3)用坐標表示條件,列出方程;

  (4)化方程為最簡形式;

  (5)證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。

  一般情況下,求解過程已表明曲線上的點的坐標都是方程的解;如果求解過程中的轉化都是等價的,那么逆推回去就說明以方程的.解為坐標的點都是曲線上的點。所以,通常情況下證明可省略,不過特殊情況要說明。

  上述五個步驟可簡記為:建系設點;寫出集合;列方程;化簡;修正。

  下面再看一個問題:

  例3:已知一條曲線在軸的上方,它上面的每一點到點的距離減去它到軸的距離的差都是2,求這條曲線的方程。

  【動畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過程和形狀,在運動變化的過程中尋找關系。

  解:設點是曲線上任意一點,軸,垂足是(如圖2),那么點屬于集合

  由距離公式,點適合的條件可表示為

  ①

  將①式移項后再兩邊平方,得

  化簡得

  由題意,曲線在軸的上方,所以,雖然原點的坐標(0,0)是這個方程的解,但不屬于已知曲線,所以曲線的方程應為,它是關于軸對稱的拋物線,但不包括拋物線的頂點,如圖2中所示。

  【練習鞏固】

  題目:在正三角形內有一動點,已知到三個頂點的距離分別為、、,且有,求點軌跡方程。

  分析、略解:首先應建立坐標系,以正三角形一邊所在的直線為一個坐標軸,這條邊的垂直平分線為另一個軸,建立直角坐標系比較簡單,如圖3所示。設、的坐標為、,則的坐標為,的坐標為。

  根據條件,代入坐標可得

  化簡得

  ①

  由于題目中要求點在三角形內,所以,在結合①式可進一步求出、的范圍,最后曲線方程可表示為

  【小結】師生共同總結:

  (1)解析幾何研究研究問題的方法是什么?

  (2)如何求曲線的方程?

  (3)請對求解曲線方程的五個步驟進行評價。各步驟的作用,哪步重要,哪步應注意什么?

  【作業】課本第72頁練習1,2,3;

高中數學教案6

  內容分析:

  1、 集合是中學數學的一個重要的基本概念

  在小學數學中,就滲透了集合的初步概念,到了初中,更進一步應用集合的語言表述一些問題。例如,在代數中用到的有數集、解集等;在幾何中用到的有點集。至于邏輯,可以說,從開始學習數學就離不開對邏輯知識的掌握和運用,基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中,也是認識問題、研究問題不可缺少的工具。這些可以幫助學生認識學習本章的意義,也是本章學習的基礎。

  把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數學的最開始,是因為在高中數學中,這些知識與其他內容有著密切聯系,它們是學習、掌握和使用數學語言的基礎

  例如,下一章講函數的概念與性質,就離不開集合與邏輯。

  本節首先從初中代數與幾何涉及的集合實例入手,引出集合與集合的元素的概念,并且結合實例對集合的概念作了說明

  然后,介紹了集合的常用表示方法,包括列舉法、描述法,還給出了畫圖表示集合的例子。

  這節課主要學習全章的引言和集合的基本概念

  學習引言是引發學生的學習興趣,使學生認識學習本章的意義

  本節課的教學重點是集合的基本概念。

  集合是集合論中的原始的、不定義的概念

  在開始接觸集合的概念時,主要還是通過實例,對概念有一個初步認識

  教科書給出的“一般地,某些指定的對象集在一起就成為一個集合,也簡稱集

  ”這句話,只是對集合概念的描述性說明。

  教學過程:

  一、復習引入:

  1.簡介數集的發展,復習最大公約數和最小公倍數,質數與和數;

  2.教材中的章頭引言;

  3.集合論的創始人——康托爾(德國數學家)(見附錄);

  4.“物以類聚”,“人以群分”;

  5.教材中例子(P4)。

  二、講解新課:

  閱讀教材第一部分,問題如下:

  (1)有那些概念?是如何定義的?

  (2)有那些符號?是如何表示的?

  (3)集合中元素的特性是什么?

  (一)集合的有關概念:由一些數、一些點、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說,每一組對象的全體形成一個集合,或者說,某些指定的對象集在一起就成為一個集合,也簡稱集.集合中的每個對象叫做這個集合的元素.

  定義:一般地,某些指定的對象集在一起就成為一個集合.

  1、集合的概念

  (1)集合:某些指定的對象集在一起就形成一個集合(簡稱集)

  (2)元素:集合中每個對象叫做這個集合的元素

  2、常用數集及記法

  (1)非負整數集(自然數集):全體非負整數的集合,記作N,N={0,1,2,…}

  (2)正整數集:非負整數集內排除0的集,記作N*或N+,N*={1,2,3,…}

  (3)整數集:全體整數的'集合,記作Z ,Z={0,±1,±2,…}

  (4)有理數集:全體有理數的集合,記作Q,Q={整數與分數}

  (5)實數集:全體實數的集合,記作R,R={數軸上所有點所對應的數}

  注:(1)自然數集與非負整數集是相同的,也就是說,自然數集包括數0

  (2)非負整數集內排除0的集,記作N*或N+

  Q、Z、R等其它數集內排除0的集,也是這樣表示,例如,整數集內排除0的集,表示成Z*

  3、元素對于集合的隸屬關系

  (1)屬于:如果a是集合A的元素,就說a屬于A,記作a∈A

  (2)不屬于:如果a不是集合A的元素,就說a不屬于A,記作aA

  4、集合中元素的特性

  (1)確定性:按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里,或者不在,不能模棱兩可

  (2)互異性:集合中的元素沒有重復

  (3)無序性:集合中的元素沒有一定的順序(通常用正常的順序寫出)

  5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q……

  元素通常用小寫的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

  ⑵“∈”的開口方向,不能把a∈A顛倒過來寫。

高中數學教案7

  教學目標

  (1)使學生正確理解組合的意義,正確區分排列、組合問題;

  (2)使學生掌握組合數的計算公式;

  (3)通過學習組合知識,讓學生掌握類比的學習方法,并提高學生分析問題和解決問題的能力;

  教學重點難點

  重點是組合的定義、組合數及組合數的公式;

  難點是解組合的應用題.

  教學過程設計

  (-)導入新課

  (教師活動)提出下列思考問題,打出字幕.

  [字幕]一條鐵路線上有6個火車站,(1)需準備多少種不同的普通客車票?(2)有多少種不同票價的普通客車票?上面問題中,哪一問是排列問題?哪一問是組合問題?

  (學生活動)討論并回答.

  答案提示:(1)排列;(2)組合.

  [評述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個,并按一定的順序排列,要求出排法的種數,屬于排列問題;(2)是從6個火車站中任選兩個并成一組,兩站無順序關系,要求出不同的組數,屬于組合問題.這節課著重研究組合問題.

  設計意圖:組合與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設計的問題目的是從排列知識中發現并提出新的問題.

  (二)新課講授

  [提出問題 創設情境]

  (教師活動)指導學生帶著問題閱讀課文.

  [字幕]1.排列的定義是什么?

  2.舉例說明一個組合是什么?

  3.一個組合與一個排列有何區別?

  (學生活動)閱讀回答.

  (教師活動)對照課文,逐一評析.

  設計意圖:激活學生的`思維,使其將所學的知識遷移過渡,并盡快適應新的環境.

  【歸納概括 建立新知】

  (教師活動)承接上述問題的回答,展示下面知識.

  [字幕]模型:從 個不同元素中取出 個元素并成一組,叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合.如前面思考題:6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票,是從6個元素中取出2個元素的一個組合.

  組合數:從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數,稱之,用符號 表示,如從6個元素中取出2個元素的組合數為 .

  [評述]區分一個排列與一個組合的關鍵是:該問題是否與順序有關,當取出元素后,若改變一下順序,就得到一種新的取法,則是排列問題;若改變順序,仍得原來的取法,就是組合問題.

  (學生活動)傾聽、思索、記錄.

  (教師活動)提出思考問題.

  [投影] 與 的關系如何?

  (師生活動)共同探討.求從 個不同元素中取出 個元素的排列數 ,可分為以下兩步:

  第1步,先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數為 ;

  第2步,求每一個組合中 個元素的全排列數為 .

  根據分步計數原理,得到

  [字幕]公式1:

  公式2:

  (學生活動)驗算 ,即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票.

  設計意圖:本著以認識概念為起點,以問題為主線,以培養能力為核心的宗旨,逐步展示知識的形成過程,使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去.

  (三)小結

  (師生活動)共同小結.

  本節主要內容有

  1.組合概念.

  2.組合數計算的兩個公式.

  (四)布置作業

  1.課本作業:習題10 3第1(1)、(4),3題.

  2.思考題:某學習小組有8個同學,從男生中選2人,女生中選1人參加數學、物理、化學三種學科競賽,要求每科均有1人參加,共有180種不同的選法,那么該小組中,男、女同學各有多少人?

  3.研究性題:

  在 的 邊上除頂點 外有 5個點,在 邊上有 4個點,由這些點(包括 )能組成多少個四邊形?能組成多少個三角形?

  (五)課后點評

  在學習了排列知識的基礎上,本節課引進了組合概念,并推導出組合數公式,同時調控進行訓練,從而培養學生分析問題、解決問題的能力.

  作業參考答案

  2.解;設有男同學 人,則有女同學 人,依題意有 ,由此解得 或 或2.即男同學有5人或6人,女同學相應為3人或2人.

  3.能組成 (注意不能用 點為頂點)個四邊形, 個三角形.

  探究活動

  同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,那么四張不同的分配萬式可有多少種?

  解 設四人分別為甲、乙、丙、丁,可從多種角度來解.

  解法一 可將拿賀卡的情況,按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類,即:

  甲拿乙制作的賀卡時,則賀卡有3種分配方法.

  甲拿丙制作的賀卡時,則賀卡有3種分配方法.

  甲拿丁制作的賀卡時,則賀卡有3種分配方法.

  由加法原理得,賀卡分配方法有3+3+3=9種.

  解法二 可從利用排列數和組合數公式角度來考慮.這時還存在正向與逆向兩種思考途徑.

  正向思考,即從滿足題設條件出發,分步完成分配.先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張,有 種取法,剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張,也有 種,最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡,其取法只有互取對方制作賀卡1種取法.根據乘法原理,賀卡的分配方法有 (種).

  逆向思考,即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設條件的取法.不滿足題設條件的取法為,其中只有1人取自己制作的賀卡,其中有2人取自己制作的賀卡,其中有3人取自己制作的賀卡(此時即為4人均拿自己制作的賀卡).其取法分別為 1.故符合題設要求的取法共有 (種).

高中數學教案8

  教學目標:

  (1)知識與技能:了解集合的含義,理解并掌握元素與集合的“屬于”關系、集合中元素的三個特性,識記數學中一些常用的的數集及其記法,能選擇自然語言、列舉法和描述法表示集合。

  (2)過程與方法:從圓、線段的垂直平分線的定義引出“集合”一詞,通過探討一系列的例子形成集合的概念,舉例剖析集合中元素的`三個特性,探討元素與集合的關系,比較用自然語言、列舉法和描述法表示集合。

  (3)情感態度與價值觀:感受集合語言的意義和作用,培養合作交流、勤于思考、積極探討的精神,發展用嚴密謹慎的集合語言描述問題的習慣。

  教學重難點:

  (1)重點:了解集合的含義與表示、集合中元素的特性。

  (2)難點:區別集合與元素的概念及其相應的符號,理解集合與元素的關系,表示具體的集合時,如何從列舉法與描述法中做出選擇。

  教學過程:

  【問題1】在初中我們已經學習了圓、線段的垂直平分線,大家回憶一下教材中是如何對它們進行定義的?

  [設計意圖]引出“集合”一詞。

  【問題2】同學們知道什么是集合嗎?請大家思考討論課本第2頁的思考題。

  [設計意圖]探討并形成集合的含義。

  【問題3】請同學們舉出認為是集合的例子。

  [設計意圖]點評學生舉出的例子,剖析并強調集合中元素的三大特性:確定性、互異性、無序性。

  【問題4】同學們知道用什么來表示一個集合,一個元素嗎?集合與元素之間有怎樣的關系?

  [設計意圖]區別表示集合與元素的的符號,介紹集合中一些常用的的數集及其記法。理解集合與元素的關系。

  【問題5】“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋},“方程(x-1)(x+2)=0的所有實數根”組成的集

  [設計意圖]引出并介紹列舉法。

  【問題6】例1的講解。同學們能用列舉法表示不等式x-7<3的解集嗎?

  【問題7】例2的講解。請同學們思考課本第6頁的思考題。

  [設計意圖]幫助學生在表示具體的集合時,如何從列舉法與描述法中做出選擇。

  【問題8】請同學們總結這節課我們主要學習了那些內容?有什么學習體會?

  [設計意圖]學習小結。對本節課所學知識進行回顧。

  布置作業。

高中數學教案9

  教學目標

  (1)掌握直線方程的一般形式,掌握直線方程幾種形式之間的互化.

  (2)理解直線與二元一次方程的關系及其證明

  (3)培養學生抽象概括能力、分類討論能力、逆向思維的習慣和形成特殊與一般辯證統一的觀點.

  教學重點、難點:直線方程的一般式.直線與二元一次方程 ( 、 不同時為0)的對應關系及其證明.

  教學用具:計算機

  教學方法:啟發引導法,討論法

  教學過程

  下面給出教學實施過程設計的簡要思路:

  教學設計思路

  (一)引入的設計

  前邊學習了如何根據所給條件求出直線方程的方法,看下面問題:

  問:說出過點 (2,1),斜率為2的直線的方程,并觀察方程屬于哪一類,為什么?

  答:直線方程是 ,屬于二元一次方程,因為未知數有兩個,它們的最高次數為一次.

  肯定學生回答,并糾正學生中不規范的表述.再看一個問題:

  問:求出過點 , 的直線的方程,并觀察方程屬于哪一類,為什么?

  答:直線方程是 (或其它形式),也屬于二元一次方程,因為未知數有兩個,它們的最高次數為一次.

  肯定學生回答后強調“也是二元一次方程,都是因為未知數有兩個,它們的'最高次數為一次”.

  啟發:你在想什么(或你想到了什么)?誰來談談?各小組可以討論討論.

  學生紛紛談出自己的想法,教師邊評價邊啟發引導,使學生的認識統一到如下問題:

  【問題1】“任意直線的方程都是二元一次方程嗎?”

  (二)本節主體內容教學的設計

  這是本節課要解決的第一個問題,如何解決?自己先研究研究,也可以小組研究,確定解決問題的思路.

  學生或獨立研究,或合作研究,教師巡視指導.

  經過一定時間的研究,教師組織開展集體討論.首先讓學生陳述解決思路或解決方案:

  思路一:…

  思路二:…

  ……

  教師組織評價,確定最優方案(其它待課下研究)如下:

  按斜率是否存在,任意直線 的位置有兩種可能,即斜率 存在或不存在.

  當 存在時,直線 的截距 也一定存在,直線 的方程可表示為 ,它是二元一次方程.

  當 不存在時,直線 的方程可表示為 形式的方程,它是二元一次方程嗎?

  學生有的認為是有的認為不是,此時教師引導學生,逐步認識到把它看成二元一次方程的合理性:

  平面直角坐標系中直線 上點的坐標形式,與其它直線上點的坐標形式沒有任何區別,根據直線方程的概念,方程 解的形式也是二元方程的解的形式,因此把它看成形如 的二元一次方程是合理的.

  綜合兩種情況,我們得出如下結論:

  在平面直角坐標系中,對于任何一條直線,都有一條表示這條直線的關于 、 的二元一次方程.

  至此,我們的問題1就解決了.簡單點說就是:直線方程都是二元一次方程.而且這個方程一定可以表示成 或 的形式,準確地說應該是“要么形如 這樣,要么形如 這樣的方程”.

  同學們注意:這樣表達起來是不是很啰嗦,能不能有一個更好的表達?

  學生們不難得出:二者可以概括為統一的形式.

  這樣上邊的結論可以表述如下:

  在平面直角坐標系中,對于任何一條直線,都有一條表示這條直線的形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程.

  啟發:任何一條直線都有這種形式的方程.你是否覺得還有什么與之相關的問題呢?

  【問題2】任何形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程都表示一條直線嗎?

  不難看出上邊的結論只是直線與方程相互關系的一個方面,這個問題是它的另一方面.這是顯然的嗎?不是,因此也需要像剛才一樣認真地研究,得到明確的結論.那么如何研究呢?

  師生共同討論,評價不同思路,達成共識:

  回顧上邊解決問題的思路,發現原路返回就是非常好的思路,即方程 (其中 、 不同時為0)系數 是否為0恰好對應斜率 是否存在,即

  (1)當 時,方程可化為

  這是表示斜率為 、在 軸上的截距為 的直線.

  (2)當 時,由于 、 不同時為0,必有 ,方程可化為

  這表示一條與 軸垂直的直線.

  因此,得到結論:

  在平面直角坐標系中,任何形如 (其中 、 不同時為0)的二元一次方程都表示一條直線.

  為方便,我們把 (其中 、 不同時為0)稱作直線方程的一般式是合理的.

  【動畫演示】

  演示“直線各參數”文件,體會任何二元一次方程都表示一條直線.

  至此,我們的第二個問題也圓滿解決,而且我們還發現上述兩個問題其實是一個大問題的兩個方面,這個大問題揭示了直線與二元一次方程的對應關系,同時,直線方程的一般形式是對直線特殊形式的抽象和概括,而且抽象的層次越高越簡潔,我們還體會到了特殊與一般的轉化關系.

  (三)練習鞏固、總結提高、板書和作業等環節的設計

  略

高中數學教案10

  一、預習目標

  預習《平面向量應用舉例》,體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具,建立實際問題與向量的聯系。

  二、預習內容

  閱讀課本內容,整理例題,結合向量的運算,解決實際的幾何問題、物理問題。另外,在思考一下幾個問題:

  1、例1如果不用向量的方法,還有其他證明方法嗎?

  2、利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是什么?

  3、例3中,

  ⑴為何值時,|F1|最小,最小值是多少?

  ⑵|F1|能等于|G|嗎?為什么?

  三、提出疑惑

  同學們,通過你的自主學習,你還有哪些疑惑,請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容。

  課內探究學案

  一、學習內容

  1、運用向量的有關知識(向量加減法與向量數量積的運算法則等)解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的.平行、垂直、相等、夾角和距離等問題。

  2、運用向量的有關知識解決簡單的物理問題。

  二、學習過程

  探究一:

  (1)向量運算與幾何中的結論"若,則,且所在直線平行或重合"相類比,你有什么體會?

  (2)舉出幾個具有線性運算的幾何實例。

  例1、證明:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和。

  已知:平行四邊形ABCD。

  求證:

  試用幾何方法解決這個問題,利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”?

  (1)建立平面幾何與向量的聯系,

  (2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,

  (3)把運算結果“翻譯”成幾何關系。

  例2,如圖,平行四邊形ABCD中,點E、F分別是AD、DC邊的中點,BE、BF分別與AC交于R、T兩點,你能發現AR、RT、TC之間的關系嗎?

  探究二:兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力。在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力。這些力的問題是怎么回事?

  例3,在日常生活中,你是否有這樣的經驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上作引體向上運動,兩臂的夾角越小越省力。你能從數學的角度解釋這種現象嗎?

  請同學們結合剛才這個問題,思考下面的問題:

  ⑴為何值時,|F1|最小,最小值是多少?

  ⑵|F1|能等于|G|嗎?為什么?

  例4如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度m,一艘船從A處出發到河對岸。已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,問行駛航程最短時,所用的時間是多少(精確到0。1min)?

  變式訓練:兩個粒子A、B從同一源發射出來,在某一時刻,它們的位移分別為,(1)寫出此時粒子B相對粒子A的位移s;(2)計算s在方向上的投影。

  三、反思總結

  結合圖形特點,選定正交基底,用坐標表示向量進行運算解決幾何問題,體現幾何問題。

  代數化的特點,數形結合的數學思想體現的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運算簡練標致,又體現了數學的美。有關長方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法。

  本節主要研究了用向量知識解決平面幾何問題和物理問題;掌握向量法和坐標法,以及用向量解決實際問題的步驟。

高中數學教案11

  1.1.1 任意角

  教學目標

  (一) 知識與技能目標

  理解任意角的概念(包括正角、負角、零角) 與區間角的概念.

  (二) 過程與能力目標

  會建立直角坐標系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合;掌握區間角的集合的書寫.

  (三) 情感與態度目標

  1. 提高學生的推理能力;

  2.培養學生應用意識. 教學重點

  任意角概念的理解;區間角的集合的書寫. 教學難點

  終邊相同角的集合的表示;區間角的集合的書寫.

  教學過程

  一、引入:

  1.回顧角的定義

  ①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.

  ②角的第二種定義是角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.

  二、新課:

  1.角的有關概念:

  ①角的定義:

  角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.

  ②角的名稱:

  ③角的分類: A

  正角:按逆時針方向旋轉形成的角 零角:射線沒有任何旋轉形成的角

  負角:按順時針方向旋轉形成的角

  ④注意:

  ⑴在不引起混淆的情況下,“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”;

  ⑵零角的終邊與始邊重合,如果α是零角α =0°;

  ⑶角的概念經過推廣后,已包括正角、負角和零角.

  ⑤練習:請說出角α、β、γ各是多少度?

  2.象限角的概念:

  ①定義:若將角頂點與原點重合,角的始邊與x軸的.非負半軸重合,那么角的終邊(端點除外)在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.

  例1.在直角坐標系中,作出下列各角,并指出它們是第幾象限的角.

  ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°;

  答:分別為1、2、3、4、1、2象限角.

  3.探究:教材P3面

  終邊相同的角的表示:

  所有與角α終邊相同的角,連同α在內,可構成一個集合S={ β | β = α +

  k·360° ,

  k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整個周角的和. 注意: ⑴ k∈Z

  ⑵ α是任一角;

  ⑶ 終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無限個,它們相差

  360°的整數倍;

  ⑷ 角α + k·720°與角α終邊相同,但不能表示與角α終邊相同的所有角.

  例2.在0°到360°范圍內,找出與下列各角終邊相等的角,并判斷它們是第幾象限角.

  ⑴-120°;

  ⑵640°;

  ⑶-950°12’.

  答:⑴240°,第三象限角;

  ⑵280°,第四象限角;

  ⑶129°48’,第二象限角;

  例4.寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}.

  例5.寫出終邊在y?x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來.

  4.課堂小結

  ①角的定義;

  ②角的分類:

  正角:按逆時針方向旋轉形成的角 零角:射線沒有任何旋轉形成的角

  負角:按順時針方向旋轉形成的角

  ③象限角;

  ④終邊相同的角的表示法.

  5.課后作業:

  ①閱讀教材P2-P5;

  ②教材P5練習第1-5題;

  ③教材P.9習題1.1第1、2、3題 思考題:已知α角是第三象限角,則2α,

  解:??角屬于第三象限,

  ? k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z)

  因此,2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°(k∈Z) 即(2k +1)360°<2α<(2k +1)360°+180°(k∈Z)

  故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角. 又k·180°+90°<

  各是第幾象限角?

  <k·180°+135°(k∈Z) .

  <n·360°+135°(n∈Z) ,

  當k為偶數時,令k=2n(n∈Z),則n·360°+90°<此時,

  屬于第二象限角

  <n·360°+315°(n∈Z) ,

  當k為奇數時,令k=2n+1 (n∈Z),則n·360°+270°<此時,

  屬于第四象限角

  因此

  屬于第二或第四象限角.

  1.1.2弧度制

  (一)

  教學目標

  (二) 知識與技能目標

  理解弧度的意義;了解角的集合與實數集R之間的可建立起一一對應的關系;熟記特殊角的弧度數.

  (三) 過程與能力目標

  能正確地進行弧度與角度之間的換算,能推導弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式,并能運用公式解決一些實際問題

  (四) 情感與態度目標

  通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進,培養學生求異創新的精神;通過對弧度制與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比,讓學生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美. 教學重點

  弧度的概念.弧長公式及扇形的面積公式的推導與證明. 教學難點

  “角度制”與“弧度制”的區別與聯系.

  教學過程

  一、復習角度制:

  初中所學的角度制是怎樣規定角的度量的? 規定把周角的作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制.

  二、新課:

  1.引 入:

  由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的, 角度制的度量是60進制的,運用起來不太方便.在數學和其他許多科學研究中還要經常用到另一種度量角的制度—弧度制,它是如何定義呢?

  2.定 義

  我們規定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角;用弧度來度量角的單位制叫做弧度制.在弧度制下, 1弧度記做1rad.在實際運算中,常常將rad單位省略.

  3.思考:

  (1)一定大小的圓心角?所對應的弧長與半徑的比值是否是確定的?與圓的半徑大小有關嗎?

  (2)引導學生完成P6的探究并歸納: 弧度制的性質:

  ①半圓所對的圓心角為

  ②整圓所對的圓心角為

  ③正角的弧度數是一個正數.

  ④負角的弧度數是一個負數.

  ⑤零角的弧度數是零.

  ⑥角α的弧度數的絕對值|α|= .

  4.角度與弧度之間的轉換:

  ①將角度化為弧度:

  ②將弧度化為角度:

  5.常規寫法:

  ① 用弧度數表示角時,常常把弧度數寫成多少π 的形式, 不必寫成小數.

  ② 弧度與角度不能混用.

  弧長等于弧所對應的圓心角(的弧度數)的絕對值與半徑的積.

  例1.把67°30’化成弧度.

  例2.把? rad化成度.

  例3.計算:

  (1)sin4

  (2)tan1.5.

  8.課后作業:

  ①閱讀教材P6 –P8;

  ②教材P9練習第1、2、3、6題;

  ③教材P10面7、8題及B2、3題.

高中數學教案12

  1.課題

  填寫課題名稱(高中代數類課題)

  2.教學目標

  (1)知識與技能:

  通過本節課的學習,掌握......知識,提高學生解決實際問題的能力;

  (2)過程與方法:

  通過......(討論、發現、探究),提高......(分析、歸納、比較和概括)的能力;

  (3)情感態度與價值觀:

  通過本節課的學習,增強學生的學習興趣,將數學應用到實際生活中,增加學生數學學習的樂趣。

  3.教學重難點

  (1)教學重點:本節課的知識重點

  (2)教學難點:易錯點、難以理解的知識點

  4.教學方法(一般從中選擇3個就可以了)

  (1)討論法

  (2)情景教學法

  (3)問答法

  (4)發現法

  (5)講授法

  5.教學過程

  (1)導入

  簡單敘述導入課題的方式和方法(例:復習、類比、情境導出本節課的課題)

  (2)新授課程(一般分為三個小步驟)

  ①簡單講解本節課基礎知識點(例:奇函數的定義)。

  ②歸納總結該課題中的重點知識內容,尤其對該注意的一些情況設置易錯點,進行強調。可以設計分組討論環節(分組判斷幾組函數圖像是否為奇函數,并歸納奇函數圖像的特點。設置定義域不關于原點對稱的函數是否為奇函數的易錯點)。

  ③拓展延伸,將所學知識拓展延伸到實際題目中,去解決實際生活中的問題。

  (在新授課里面一定要表下出講課的大體流程,但是不必太過詳細。)

  (3)課堂小結

  教師提問,學生回答本節課的收獲。

  (4)作業提高

  布置作業(盡量與實際生活相聯系,有所創新)。

  6.教學板書

  2.高中數學教案格式

  一.課題(說明本課名稱)

  二.教學目的(或稱教學要求,或稱教學目標,說明本課所要完成的教學任務)

  三.課型(說明屬新授課,還是復習課)

  四.課時(說明屬第幾課時)

  五.教學重點(說明本課所必須解決的關鍵性問題)

  六.教學難點(說明本課的學習時易產生困難和障礙的知識傳授與能力培養點)

  七.教學方法要根據學生實際,注重引導自學,注重啟發思維

  八.教學過程(或稱課堂結構,說明教學進行的內容、方法步驟)

  九.作業處理(說明如何布置書面或口頭作業)

  十.板書設計(說明上課時準備寫在黑板上的內容)

  十一.教具(或稱教具準備,說明輔助教學手段使用的工具)

  十二.教學反思:(教者對該堂課教后的感受及學生的收獲、改進方法)

  3.高中數學教案范文

  【教學目標】

  1.知識與技能

  (1)理解等差數列的定義,會應用定義判斷一個數列是否是等差數列:

  (2)賬務等差數列的通項公式及其推導過程:

  (3)會應用等差數列通項公式解決簡單問題。

  2.過程與方法

  在定義的理解和通項公式的推導、應用過程中,培養學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力,體驗從特殊到一般,一般到特殊的認知規律,提高熟悉猜想和歸納的能力,滲透函數與方程的思想。

  3.情感、態度與價值觀

  通過教師指導下學生的自主學習、相互交流和探索活動,培養學生主動探索、用于發現的求知精神,激發學生的學習興趣,讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中,使學生養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好習慣。

  【教學重點】

  ①等差數列的概念;

  ②等差數列的通項公式

  【教學難點】

  ①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義;

  ②等差數列的通項公式的推導過程.

  【學情分析】

  我所教學的學生是我校高一(7)班的學生(平行班學生),經過一年的高中數學學習,大部分學生知識經驗已較為豐富,他們的智力發展已到了形式運演階段,具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力,但也有一部分學生的基礎較弱,學習數學的興趣還不是很濃,所以我在授課時注重從具體的生活實例出發,注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理發展特點,從而促進思維能力的進一步發展。

  【設計思路】

  1、教法

  ①啟發引導法:這種方法有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點,突破難點;有利于調動學生的主動性和積極性,發揮其創造性.

  ②分組討論法:有利于學生進行交流,及時發現問題,解決問題,調動學生的積極性.

  ③講練結合法:可以及時鞏固所學內容,抓住重點,突破難點.

  2、學法

  引導學生首先從三個現實問題(數數問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數組特點并抽象出等差數列的概念;接著就等差數列概念的特點,推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法.

  【教學過程】

  一、創設情境,引入新課

  1、從0開始,將5的倍數按從小到大的順序排列,得到的數列是什么?

  2、水庫管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境,用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個水庫的水位為18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m.那么從開始放水算起,到可以進行清理工作的那天,水庫每天的水位(單位:m)組成一個什么數列?

  3、我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利,即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元錢,年利率是0.72%,那么按照單利,5年內各年末的本利和(單位:元)組成一個什么數列?

  教師:以上三個問題中的數蘊涵著三列數.

  學生:

  ①0,5,10,15,20,25,….

  ②18,15.5,13,10.5,8,5.5.

  ③10072,10144,10216,10288,10360.

  (設置意圖:從實例引入,實質是給出了等差數列的現實背景,目的是讓學生感受到等差數列是現實生活中大量存在的數學模型.通過分析,由特殊到一般,激發學生學習探究知識的自主性,培養學生的歸納能力.

  二、觀察歸納,形成定義

  ①0,5,10,15,20,25,….

  ②18,15.5,13,10.5,8,5.5.

  ③10072,10144,10216,10288,10360.

  思考1上述數列有什么共同特點?

  思考2根據上數列的共同特點,你能給出等差數列的一般定義嗎?

  思考3你能將上述的文字語言轉換成數學符號語言嗎?

  教師:引導學生思考這三列數具有的共同特征,然后讓學生抓住數列的特征,歸納得出等差數列概念.

  學生:分組討論,可能會有不同的答案:前數和后數的差符合一定規律;這些數都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定.

  教師引導歸納出:等差數列的定義;另外,教師引導學生從數學符號角度理解等差數列的定義.

  (設計意圖:通過對一定數量感性材料的觀察、分析,提煉出感性材料的本質屬性;使學生體會到等差數列的規律和共同特點;一開始抓住:“從第二項起,每一項與它的前一項的差為同一常數”,落實對等差數列概念的準確表達.)

  三、舉一反三,鞏固定義

  1、判定下列數列是否為等差數列?若是,指出公差d.

  (1)1,1,1,1,1;

  (2)1,0,1,0,1;

  (3)2,1,0,-1,-2;

  (4)4,7,10,13,16.

  教師出示題目,學生思考回答.教師訂正并強調求公差應注意的問題.

  注意:公差d是每一項(第2項起)與它的前一項的差,防止把被減數與減數弄顛倒,而且公差可以是正數,負數,也可以為0.

  (設計意圖:強化學生對等差數列“等差”特征的理解和應用).

  2、思考4:設數列{an}的通項公式為an=3n+1,該數列是等差數列嗎?為什么?

  (設計意圖:強化等差數列的'證明定義法)

  四、利用定義,導出通項

  1、已知等差數列:8,5,2,…,求第200項?

  2、已知一個等差數列{an}的首項是a1,公差是d,如何求出它的任意項an呢?

  教師出示問題,放手讓學生探究,然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示.根據學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導,總結推導方法,體會歸納思想以及累加求通項的方法;讓學生初步嘗試處理數列問題的常用方法.

  (設計意圖:引導學生觀察、歸納、猜想,培養學生合理的推理能力.學生在分組合作探究過程中,可能會找到多種不同的解決辦法,教師要逐一點評,并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創新的品質,激發學生的創造意識.鼓勵學生自主解答,培養學生運算能力)

  五、應用通項,解決問題

  1、判斷100是不是等差數列2,9,16,…的項?如果是,是第幾項?

  2、在等差數列{an}中,已知a5=10,a12=31,求a1,d和an.

  3、求等差數列3,7,11,…的第4項和第10項

  教師:給出問題,讓學生自己操練,教師巡視學生答題情況.

  學生:教師叫學生代表總結此類題型的解題思路,教師補充:已知等差數列的首項和公差就可以求出其通項公式

  (設計意圖:主要是熟悉公式,使學生從中體會公式與方程之間的聯系.初步認識“基本量法”求解等差數列問題.)

  六、反饋練習:教材13頁練習1

  七、歸納總結:

  1、一個定義:

  等差數列的定義及定義表達式

  2、一個公式:

  等差數列的通項公式

  3、二個應用:

  定義和通項公式的應用

  教師:讓學生思考整理,找幾個代表發言,最后教師給出補充

  (設計意圖:引導學生去聯想本節課所涉及到的各個方面,溝通它們之間的聯系,使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念,并靈活運用基本概念.)

  【設計反思】

  本設計從生活中的數列模型導入,有助于發揮學生學習的主動性,增強學生學習數列的興趣.在探索的過程中,學生通過分析、觀察,歸納出等差數列定義,然后由定義導出通項公式,強化了由具體到抽象,由特殊到一般的思維過程,有助于提高學生分析問題和解決問題的能力.本節課教學采用啟發方法,以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑,以相互補充展開教學,總結科學合理的知識體系,形成師生之間的良性互動,提高課堂教學效率.

高中數學教案13

  教學目標1.進一步理解線性規劃的概念;會解簡單的線性規劃問題;

  2.在運用建模和數形結合等數學思想方法分析、解決問題的過程中;提高解決問題的能力;

  3.進一步提高學生的合作意識和探究意識。

  教學重點:線性規劃的概念及其解法

  教學難點

  代數問題幾何化的過程

  教學方法:啟發探究式

  教學手段運用多媒體技術

  教學過程:1.實際問題引入。

  問題一:小王和小李合租了一輛小轎車外出旅游.小王駕車平均速度為每小時70公里,平均耗油量為每小時6公升;小李駕車平均速度為每小時50公里,平均耗油量為每小時4公升.現知道油箱內油量為60公升,兩人駕車時間累計不能超過12小時.問小王和小李分別駕車多少時間時,行駛路程最遠?

  2.探究和討論下列問題。

  (1)實際問題轉化為一個怎樣的數學問題?

  (2)滿足不等式組①的條件的點構成的區域如何表示?

  (3)關于x、y的一個表達式z=70x+50y的幾何意義是什么?

  (4)z的幾何意義是什么?

  (5)z的最大值如何確定?

  讓學生達成以下共識:小王駕車時間x和小李駕車時間y受到時間(12小時)和油量(60公升)的限制,即

  x+y≤12

  6x+4y≤60 ①

  x≥0

  y≥0

  行駛路程可以表示成關于x、y的一個表達式:z=70x+50y 由數形結合可知:經過點B(6,6)的直線所對應的z最大.

  則zmax=6×70+6×50=720

  結論:小王和小李分別駕車6小時時,行駛路程最遠為720公里.

  解題反思:

  問題解決過程中體現了那些重要的數學思想?

  3.線性規劃的有關概念。

  什么是“線性規劃問題”?涉及約束條件、線性約束條件、目標函數、線性目標函數、可行解、可行域和最優解等概念.

  4.進一步探究線性規劃問題的解。

  問題二:若小王和小李駕車平均速度為每小時60公里和40公里,其它條件不變,問小王和小李分別駕車多少時間時,行駛路程最遠?

  要求:請你寫出約束條件、目標函數,作出可行域,求出最優解。

  問題三:如果把不等式組①中的兩個“≤”改為“≥”,是否存在最優解?

  5.小結。

  (1)數學知識;(2)數學思想。

  6.作業。

  (1)閱讀教材:P.60-63;

  (2)課后練習:教材P.65-2,3;

  (3)在自己生活中尋找一個簡單的線性規劃問題,寫出約束條件,確定目標函數,作出可行域,并求出最優解。

  《一個數列的研究》教學設計

  教學目標:

  1.進一步理解和掌握數列的有關概念和性質;

  2.在對一個數列的探究過程中,提高提出問題、分析問題和解決問題的能力;

  3.進一步提高問題探究意識、知識應用意識和同伴合作意識。

  教學重點:

  問題的提出與解決

  教學難點:

  如何進行問題的探究

  教學方法:

  啟發探究式

  教學過程:

  問題:已知{an}是首項為1,公比為 的無窮等比數列。對于數列{an},提出你的問題,并進行研究,你能得到一些什么樣的結論?

  研究方向提示:

  1.數列{an}是一個等比數列,可以從等比數列角度來進行研究;

  2.研究所給數列的項之間的關系;

  3.研究所給數列的`子數列;

  4.研究所給數列能構造的新數列;

  5.數列是一種特殊的函數,可以從函數性質角度來進行研究;

  6.研究所給數列與其它知識的聯系(組合數、復數、圖形、實際意義等)。

  針對學生的研究情況,對所提問題進行歸類,選擇部分類型問題共同進行研究、分析與解決。

  課堂小結:

  1.研究一個數列可以從哪些方面提出問題并進行研究?

  2.你最喜歡哪位同學的研究?為什么?

  課后思考題: 1.將{an}推廣為一般的無窮等比數列:1,q,q2,…,qn-1,… ,上述一些研究結論會有什么變化?

  2.若將{an}改為等差數列:1,1+d,2+d,…,1+(n-1)d,… ,是否可以進行類比研究?

  開展研究性學習,培養問題解決能力

  一、對“研究性學習”和“問題解決”的認識 研究性學習是一種與接受性學習相對應的學習方式,泛指學生主動探究問題的學習。研究性學習也可以說是一種學習活動:學生在教師指導下,在自己的學習生活和社會生活中選擇課題,以類似科學研究的方式去主動地獲取知識、應用知識、解決問題。

  “問題解決”(problem solving)是美國數學教育界在二十世紀八十年代的主要口號,即認為應當以“問題解決”作為學校數學教育的中心。

  問題解決能力是一種重要的數學能力,其核心是“創新精神”與“實踐能力”。在數學教學活動中開展研究性學習是培養問題解決能力的主要途徑。

  二、“問題解決”課堂教學模式的建構與實踐 以研究性學習活動為載體,以培養問題解決能力為核心的課堂教學模式(以下簡稱為“問題解決”課堂教學模式)試圖通過問題情境創設,激發學生的求知欲,以獨立思考和交流討論的形式,發現、分析并解決問題,培養處理信息、獲取新知、應用知識的能力,提高合作意識、探究意識和創新意識。

  (一)關于“問題解決”課堂教學模式

  通過實施“問題解決”課堂教學模式,希望能夠達到以下的功能目標:學習發現問題的方法,開掘創造性思維潛力,培養主動參與、團結協作精神,增進師生、同伴之間的情感交流,形成自覺運用數學基礎知識、基本技能和數學思想方法分析問題、解決問題的能力和意識。

  (二)數學學科中的問題解決能力的培養目標

  數學問題解決能力培養的目標可以有不同層次的要求:會審題,會建模,會轉化,會歸類,會反思,會編題。

  (三)“問題解決”課堂教學模式的教學流程

  (四)“問題解決”課堂教學評價標準

  1. 教學目標的確定;

  2. 教學方法的選擇;

  3. 問題的選擇;

  4. 師生主體意識的體現;

  5.教學策略的運用。

  (五)了解學生的數學問題解決能力的途徑

  (六)開展研究性學習活動對教師的能力要求

高中數學教案14

  教學目標:

  1.結合實際問題情景,理解分層抽樣的必要性和重要性;

  2.學會用分層抽樣的方法從總體中抽取樣本;

  3.并對簡單隨機抽樣、系統抽樣及分層抽樣方法進行比較,揭示其相互關系.

  教學重點:

  通過實例理解分層抽樣的方法.

  教學難點:

  分層抽樣的步驟.

  教學過程:

  一、問題情境

  1.復習簡單隨機抽樣、系統抽樣的概念、特征以及適用范圍.

  2.實例:某校高一、高二和高三年級分別有學生名,為了了解全校學生的視力情況,從中抽取容量為的樣本,怎樣抽取較為合理?

  二、學生活動

  能否用簡單隨機抽樣或系統抽樣進行抽樣,為什么?

  指出由于不同年級的學生視力狀況有一定的差異,用簡單隨機抽樣或系統抽樣進行抽樣不能準確反映客觀實際,在抽樣時不僅要使每個個體被抽到的機會相等,還要注意總體中個體的層次性.

  由于樣本的容量與總體的個體數的`比為100∶2500=1∶25,

  所以在各年級抽取的個體數依次是,,,即40,32,28.

  三、建構數學

  1.分層抽樣:當已知總體由差異明顯的幾部分組成時,為了使樣本更客觀地反映總體的情況,常將總體按不同的特點分成層次比較分明的幾部分,然后按各部分在總體中所占的比進行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣,其中所分成的各部分叫“層”.

  說明:①分層抽樣時,由于各部分抽取的個體數與這一部分個體數的比等于樣本容量與總體的個體數的比,每一個個體被抽到的可能性都是相等的;

  ②由于分層抽樣充分利用了我們所掌握的信息,使樣本具有較好的代表性,而且在各層抽樣時可以根據具體情況采取不同的抽樣方法,所以分層抽樣在實踐中有著非常廣泛的應用.

  2.三種抽樣方法對照表:

  類別

  共同點

  各自特點

  相互聯系

  適用范圍

  簡單隨機抽樣

  抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的

  從總體中逐個抽取

  總體中的個體數較少

  系統抽樣

  將總體均分成幾個部分,按事先確定的規則在各部分抽取

  在第一部分抽樣時采用簡單隨機抽樣

  總體中的個體數較多

  分層抽樣

  將總體分成幾層,分層進行抽取

  各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統

  總體由差異明顯的幾部分組成

  3.分層抽樣的步驟:

  (1)分層:將總體按某種特征分成若干部分.

  (2)確定比例:計算各層的個體數與總體的個體數的比.

  (3)確定各層應抽取的樣本容量.

  (4)在每一層進行抽樣(各層分別按簡單隨機抽樣或系統抽樣的方法抽取),綜合每層抽樣,組成樣本.

  四、數學運用

  1.例題.

  例1(1)分層抽樣中,在每一層進行抽樣可用_________________.

  (2)①教育局督學組到學校檢查工作,臨時在每個班各抽調2人參加座談;

  ②某班期中考試有15人在85分以上,40人在60-84分,1人不及格.現欲從中抽出8人研討進一步改進教和學;

  ③某班元旦聚會,要產生兩名“幸運者”.

  對這三件事,合適的抽樣方法為()

  A.分層抽樣,分層抽樣,簡單隨機抽樣

  B.系統抽樣,系統抽樣,簡單隨機抽樣

  C.分層抽樣,簡單隨機抽樣,簡單隨機抽樣

  D.系統抽樣,分層抽樣,簡單隨機抽樣

  例2某電視臺在因特網上就觀眾對某一節目的喜愛程度進行調查,參加調查的總人數為12000人,其中持各種態度的人數如表中所示:

  很喜愛

  喜愛

  一般

  不喜愛

  2435

  4567

  3926

  1072

  電視臺為進一步了解觀眾的具體想法和意見,打算從中抽取60人進行更為詳細的調查,應怎樣進行抽樣?

  解:抽取人數與總的比是60∶12000=1∶200,

  則各層抽取的人數依次是12.175,22.835,19.63,5.36,

  取近似值得各層人數分別是12,23,20,5.

  然后在各層用簡單隨機抽樣方法抽取.

  答用分層抽樣的方法抽取,抽取“很喜愛”、“喜愛”、“一般”、“不喜愛”的人

  數分別為12,23,20,5.

  說明:各層的抽取數之和應等于樣本容量,對于不能取整數的情況,取其近似值.

  (3)某學校有160名教職工,其中教師120名,行政人員16名,后勤人員24名.為了了解教職工對學校在校務公開方面的某意見,擬抽取一個容量為20的樣本.

  分析:(1)總體容量較小,用抽簽法或隨機數表法都很方便.

  (2)總體容量較大,用抽簽法或隨機數表法都比較麻煩,由于人員沒有明顯差異,且剛好32排,每排人數相同,可用系統抽樣.

  (3)由于學校各類人員對這一問題的看法可能差異較大,所以應采用分層抽樣方法.

  五、要點歸納與方法小結

  本節課學習了以下內容:

  1.分層抽樣的概念與特征;

  2.三種抽樣方法相互之間的區別與聯系.

高中數學教案15

  教學目標

  (1)了解算法的含義,體會算法思想。

  (2)會用自然語言和數學語言描述簡單具體問題的算法;

  (3)學習有條理地、清晰地表達解決問題的步驟,培養邏輯思維能力與表達能力。

  教學重難點

  重點:算法的含義、解二元一次方程組的算法設計。

  難點:把自然語言轉化為算法語言。

  情境導入

  電影《神槍手》中描述的凌靖是一個天生的狙擊手,他百發百中,最難打的位置對他來說也是輕而易舉,是香港警察狙擊手隊伍的第一神槍手、作為一名狙擊手,要想成功地完成一次狙擊任務,一般要按步驟完成以下幾步:

  第一步:觀察、等待目標出現(用望遠鏡或瞄準鏡);

  第二步:瞄準目標;

  第三步:計算(或估測)風速、距離、空氣濕度、空氣密度;

  第四步:根據第三步的結果修正彈著點;

  第五步:開槍;

  第六步:迅速轉移(或隱蔽)

  以上這種完成狙擊任務的方法、步驟在數學上我們叫算法。

  課堂探究

  預習提升

  1、定義:算法可以理解為由基本運算及規定的運算順序所構成的完整的解題步驟,或者看成按照要求設計好的有限的確切的計算序列,并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問題。

  2、描述方式

  自然語言、數學語言、形式語言(算法語言)、框圖。

  3、算法的要求

  (1)寫出的算法,必須能解決一類問題,且能重復使用;

  (2)算法過程要能一步一步執行,每一步執行的操作,必須確切,不能含混不清,而且經過有限步后能得出結果。

  4、算法的特征

  (1)有限性:一個算法應包括有限的操作步驟,能在執行有窮的操作步驟之后結束。

  (2)確定性:算法的計算規則及相應的計算步驟必須是唯一確定的。

  (3)可行性:算法中的每一個步驟都是可以在有限的時間內完成的基本操作,并能得到確定的結果。

  (4)順序性:算法從初始步驟開始,分為若干個明確的步驟,前一步是后一步的前提,后一步是前一步的后續,且除了最后一步外,每一個步驟只有一個確定的后續。

  (5)不唯一性:解決同一問題的算法可以是不唯一的

  課堂典例講練

  命題方向1對算法意義的理解

  例1、下列敘述中,

  ①植樹需要運苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟;

  ②按順序進行下列運算:1+1=2,2+1=3,3+1=4,…99+1=100;

  ③從青島乘動車到濟南,再從濟南乘飛機到倫敦觀看奧運會開幕式;

  ④3x>x+1;

  ⑤求所有能被3整除的正數,即3,6,9,12。

  能稱為算法的個數為(  )

  A、2

  B、3

  C、4

  D、5

  【解析】根據算法的含義和特征:①②③都是算法;④⑤不是算法、其中④,3x>x+1不是一個明確的步驟,不符合明確性;⑤的步驟是無窮的,與算法的有限性矛盾。

  【答案】B

  [規律總結]

  1、正確理解算法的概念及其特點是解決問題的'關鍵、

  2、針對判斷語句是否是算法的問題,要看它的步驟是否是明確的和有效的,而且能在有限步驟之內解決這一問題、

  【變式訓練】下列對算法的理解不正確的是________

  ①一個算法應包含有限的步驟,而不能是無限的

  ②算法可以理解為由基本運算及規定的運算順序構成的完整的解題步驟

  ③算法中的每一步都應當有效地執行,并得到確定的結果

  ④一個問題只能設計出一個算法

  【解析】由算法的有限性指包含的步驟是有限的故①正確;

  由算法的明確性是指每一步都是確定的故②正確;

  由算法的每一步都是確定的,且每一步都應有確定的結果故③正確;

  由對于同一個問題可以有不同的算法故④不正確。

  【答案】④

  命題方向2解方程(組)的算法

  例2、給出求解方程組的一個算法。

  [思路分析]解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法,這兩種方法沒有本質的差別,為了適用于解一般的線性方程組,以便于在計算機上實現,我們用高斯消元法(即先將方程組化為一個三角形方程組,再通過回代方程求出方程組的解)解線性方程組、

  [規范解答]方法一:算法如下:

  第一步,①×(-2)+②,得(-2+5)y=-14+11

  即方程組可化為

  第二步,解方程③,可得y=-1,④

  第三步,將④代入①,可得2x-1=7,x=4

  第四步,輸出4,-1

  方法二:算法如下:

  第一步,由①式可以得到y=7-2x,⑤

  第二步,把y=7-2x代入②,得x=4

  第三步,把x=4代入⑤,得y=-1

  第四步,輸出4,-1

  [規律總結]1、本題用了2種方法求解,對于問題的求解過程,我們既要強調對“通法、通解”的理解,又要強調對所學知識的靈活運用。

  2、設計算法時,經常遇到解方程(組)的問題,一般是按照數學上解方程(組)的方法進行設計,但應注意全面考慮方程解的情況,即先確定方程(組)是否有解,有解時有幾個解,然后根據求解步驟設計算法步驟。

  【變式訓練】

  【解】算法如下:S1,①+2×②得5x=1;③

  S2,解③得x=;

  S3,②-①×2得5y=3;④

  S4,解④得y=;

  命題方向3篩選問題的算法設計

  例3、設計一個算法,對任意3個整數a、b、c,求出其中的最小值、

  [思路分析]比較a,b比較m與c―→最小數

  [規范解答]算法步驟如下:

  1、比較a與b的大小,若a

  2、比較m與c的大小,若m

  [規律總結]求最小(大)數就是從中篩選出最小(大)的一個,篩選過程中的每一步都是比較兩個數的大小,保證了篩選的可行性,這種方法可以推廣到從多個不同數中篩選出滿足要求的一個。

  【變式訓練】在下列數字序列中,寫出搜索89的算法:

  21,3,0,9,15,72,89,91,93

  [解析]1、先找到序列中的第一個數m,m=21;

  2、將m與89比較,是否相等,如果相等,則搜索到89;

  3、如果m與89不相等,則往下執行;

  4、繼續將序列中的其他數賦給m,重復第2步,直到搜索到89。

  命題方向4非數值性問題的算法

  例4、一個人帶三只狼和三只羚羊過河,只有一條船,同船可以容一個人和兩只動物,沒有人在的時候,如果狼的數量不少于羚羊的數量,狼就會吃掉羚羊。

  (1)設計安全渡河的算法;

  (2)思考每一步算法所遵循的共同原則是什么?

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